八上平面几何难题集锦

1、八年级平面几何难题集锦1.如图，已知等边ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM. 2.点C为线段AB上一点，ACM, CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证：（1）AN=MB.（2）将ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。 3.已知，如图所示，在和中，且点在一条直线上，连接分别为的中点（1）求证：；CENDABM图CAEMBDN图（2）在图的基础上，将绕点按顺时针方

2、向旋转，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ以下五个结论：ABCEDOPQ AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60° CP=CQ CPQ为等边三角形共有2对全等三角形 CO平分AOP CO平分BCD恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 5.已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接（1）求证：；（2）过点作，交于点

3、，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论AGFCBDE6.如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由7.在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECFADBECFABCDEF8.如图所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE9.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），

4、另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F. 如图141，当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想. 如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明10.已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予

5、证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明11.已知AC/BD,CAB和DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E.求证:AB=AC+BD.12.等边ABC，D为ABC外一点，BDC=120°，BD=DCMDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系13.如图1，BD是等腰的角平分线，.

6、（1）求证BC=AB+AD；（2）如图2，于F，交延长线于E，求证：BD=2CE；ABCDFE图214.已知，如图1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求证：BAD+BCD=180°。15.如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，则B与ADC互补.为什么？DBEAC16.如图4，在ABC中，BD=CD，ABD=ACD,求证AD平分BAC. ABCD17.如图，在ABC中ABC,ACB的外角平分线交P.求证:AP是BAC的角平分线EBAC图2D18.如图在四边形ABCD中，AC平分BAD，ADCABC180度，CEAD于E，猜想

7、AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想，19.如图，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD20.如图所示，已知在AEC中，E=90°，AD平分EAC，DFAC，垂足为F，DB=DC，求证：BE=CF21.如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；OPAMNEBCDFACEFBD

8、图图图（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。22.已知：如图，BFAC于点F，CEAB于点E，且BD=CD，求证：（1）BDECDF （2） 点D在A的平分线上23.如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC24.已知：如图，ABC中，ABC=45°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。 (!)求证：BF=AC； (2)求证：CE=BF； (3)CE与BC的大小关系如何

9、？试证明你的结论。25.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分线，AFDC，连接AC、CF，求证：CA是DCF的平分线。26.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如

10、果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图327.ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。28.问题背景，如下命题： 如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角ACK的平分线,若ANM=60°,则AN=NM 如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点

11、，CM为正方形外角DCK的平分线，若ANM=90°，则AN=NM 如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角DCK的平分线,若ANM=108°,则AN=NM任务要求： 请你证明以上三个命题； 请你继续完成下面的探索： 如图4,在正（3）边形ABCDEF中,N为BC边上任一点,CM为正边形外角DCK的平分线,问当ANM等于多少度时,结论AN=NM成立（不要求证明）. 如图5,在梯形ABCD中,ADBC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为DCN的平分线,若ANM=ABC,请问AN=NM是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.

12、29.如图，在ABC中，A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PEBD，PFAC，E、F为垂足求证：PE+PF=AB30.如图，已知ABC中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，点D为AB的中点（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿AB

13、C三边运动，则经过 后，点P与点Q第一次在ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）31.已知：在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角ADE，解答下列各题：如果AB=AC，BAC=90°（i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？32.已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60°，连接

14、CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系DCBAEH33.在ABC中，ADBC, BEAC, D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=AD.求证：BH=AC BEAD 34.如图14-1，在ABC中，BC边在直线l上，ACBC，且AC = BCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（

15、1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由35.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：AF=DE；AFDE.(不需要证明)(1)如图2，若点E、F不

16、是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.36.如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC，若AB=CD，试说明BD平分EF；若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。37.如图，ABC中，ACB90°，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为

17、F，过B作BDBC交CF的延长线于D求证：（1）AECD； （2）若AC12 cm，求BD的长 38.如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，DEA=ACB=90°，DAE=ABC=30°，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由39.已知BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系40.在RtABC中，ACBC，ACB90°，D是AC的中点，DGAC交AB于点G.（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段

18、DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H求证：DG=DC判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）41.如图，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF42.直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若，则 （填“”，“”或“

19、”号）；如图2，若，若使中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明ABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图343.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分ÐBAD，CEAB 于E，且ÐB+ÐD=180°，求证：AE=AD+BE 44.操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明45.如图，已知E

20、是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAE=FAE求证：AF=AD-CF46.如图所示，已知ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB，求证：AC=BE+BC47.在ABC中，BD=DC，EDDF求证：BECFEF48.已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即ADCE，BECE，（1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：ADCCEB；（2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD；（3）如图3，当CE在ABC的外部时，试猜想

21、ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想49.如图1、图2、图3，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90º，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？ （3）若COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？50.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ

22、、CP，则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明51.将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片和且。将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点当旋转至如图位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 当继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与DO存在怎样的数量关系？请说明理由52. 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 53.已知

23、四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）54.已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.55.在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动

24、时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示） FEDCABGH56.如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。求证： BCGDCE BHDE57

25、.（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；CBOD图7AEBAODCE图8（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.58.如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90°，求五边形ABCDE的面积 59.（1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，

26、并说明理由（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明60.、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证： 61.如图，正方形中，求证： 62.如图，在等腰中，是的中点，过作，且求证：63.如图，在ABC中，AB=AC，D，E分别是腰AB，AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G，求证：DG=EG A B C D G E 64.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）A300B300或1500 C1200或1500 D30

27、0或1200或150065.如图，在ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则CF的长为_ A B D M F C 66.如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFE A B D C F 67.如图，ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB+BD=CD B A C D 68.如图，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形 A C E N M B D 69.如图，MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ） AA5 BA6 CA7 DA8A A1 N M A2 A3 (第69题) 70.如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，过M作MEAD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=(AB+AC) A B D M C F E 71.如图，A=120°，且1=2=3和4=5=6，则BDE=（）A60° B