2019中考数学压轴题

1、2019中考数学压轴题52（2017内蒙古赤峰市，第21题，10分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边ABC（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点P（，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当PAD与OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明【答案】（1）；（2）P（，1）在反比例函数图象上【分析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在RtAOB中，利用三角函数定义可求得BAO=30，且可求得AB的长，从而可求得CAOA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例

2、函数解析式；（2）分PADABO和PADBAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可【解析】（1）在中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，A（，0），B（0，1），tanBAO=，BAO=30，ABC是等边三角形，BAC=60，CAO=90，在RtBOA中，由勾股定理可得AB=2，AC=2，C（，2），点C在反比例函数的图象上，k=2=，反比例函数解析式为；（2）P（，m）在第一象限，AD=ODOA=，PD=m，当ADPAOB时，则有，即，解得m=1，此时P点坐标为（，1）；当PDAAOB时，则有，即，解得m=3，此时P点坐标为（

3、，3）；把P（，3）代入可得3，P（，3）不在反比例函数图象上，把P（，1）代入反比例函数解析式得1=，P（，1）在反比例函数图象上；综上可知P点坐标为（，1）点睛：本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键，注意分两种情况本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中考点：反比例函数综合题；分类讨论；综合题53（2017内蒙古赤峰市，第26题，14分）如图，二次函数（a0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0）

4、，顶点C的坐标为（1，4）（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使BDQ中BD边上的高为若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由【答案】（1），y=x+3；（2）；（3）Q（1，0）或（4，5）【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QGy轴，交BD于点G，过Q

5、和QHBD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标【解析】（1）抛物线的顶点C的坐标为（1，4），可设抛物线解析式为y=a（x1）2+4，点B（3，0）在该抛物线的图象上，0=a（31）2+4，解得a=1，抛物线解析式为y=（x1）2+4，即，点D在y轴上，令x=0可得y=3，D点坐标为（0，3），可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=1，直线BD解析式为y=x+3；（2）设P点横坐标为m（m0），则P（m，m+3），M（m，m2+2m+3），PM=m2+2m+3（m+3）=m2+

6、3m=，当m=时，PM有最大值；点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题54（2017内蒙古通辽市，第26题，12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点A（2，0），B（2，2），与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在抛物线的对称轴上，求ACD的周长的最小值

7、；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP是直角三角形若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，P（1，1）或（1，3）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标【解析】（1）把点A（2，0），B（2，2）代入抛物线中，得：，解得：，抛物线函数表达式为：；（2）=，对称轴是：直线x=1，如图1，过B作BEx

8、轴于E，C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，C与B关于x=1对称，CD=BD，连接AB交对称轴于点D，此时ACD的周长最小，BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，AB=，AC=，ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=答：ACD的周长的最小值是；（3）存在，分两种情况：当ACP=90时，ACP是直角三角形，如图2，过P作PDy轴于D，设P（1，y），则CGPAOC，CG=1，OG=21=1，P（1，1）；当CAP=90时，ACP是直角三角形，如图3，设P（1，y），则PEAAOC，PE=3，P（1，3）；综上所述，ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1

9、，1）或（1，3）点睛：本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第3问采用了分类讨论的思想，与三角形相似结合，列比例式可解决问题考点：二次函数综合题；最值问题；分类讨论；存在型；压轴题55（2017吉林省，第23题，8分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，ABD=30，AD=1将BCD沿射线BD方向平移到BCD的位置，使B为BD中点，连接AB，CD，AD，BC，如图（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）四边形ABCD的周长为 ；（3）将四边形ABCD沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出

10、所有可能拼成的矩形周长【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6+或2+3【分析】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可；（2）先判定四边形ABCD是菱形，再根据边长AB=AD=，即可得到四边形ABCD的周长为；（3）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长【解析】（1）BD是矩形ABCD的对角线，ABD=30，ADB=60，由平移可得，BC=BC=AD，DBC=DBC=ADB=60，ADBC四边形ABCD是平行四边形，B为BD中点，RtABD中，AB=BD=DB，又ADB=60，ADB是等边三角形，AD=AB，四边形ABCD是菱形；（2）由平移可得，AB=CD，ABD

11、=CDB=30，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，由（1）可得，ACBD，四边形ABCD是菱形，AB=AD=，四边形ABCD的周长为，故答案为：；（3）将四边形ABCD沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：矩形周长为6+或2+3点睛：本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形考点：菱形的判定与性质；矩形的性质；图形的剪拼；平移的性质；操作型；分类讨论56（2017吉林省，第25题，10分）如图，在RtABC中，ACB=90，A=45，AB=4cm点P从点A出发，以

12、2cm/s的速度沿边AB向终点B运动过点P作PQAB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ设正方形DEFQ与ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为 cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0x2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围【答案】（1）x；（2）x=；（3）；（4）1x【分析】（1）国际已知条件得到AQP=45，求得PQ=AP=2x，由于D为PQ中点，于是得到DQ=x；（2）如图，

13、延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，由于D为PQ中点，得到DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到结论；（3）如图，当0x时，根据正方形的面积公式得到y=x2；如图，当x1时，过C作CHAB于H，交FQ于K，则CH=2，根据正方形和三角形面积公式得到y的解析式；如图，当1x2时，PQ=42x，根据三角形的面积公式得到结论；（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，得到x=1，当Q为BC的中点时，BQ=，得到x的值，于是得到结论【解析】（1）ACB=90，A=45，PQAB，AQP=45，PQ=AP=2x，D为PQ中点，DQ=x，故答案为：x；（2）如图，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，

14、D为PQ中点，DQ=x，GP=2x，2x+x+2x=4，x=；（3）如图，当0x时，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，；如图，当x1时，过C作CHAB于H，交FQ于K，则CH=AB=2，PQ=AP=2x，CK=22x，MQ=2CK=44x，FM=x（44x）=5x4，y=S正方形DEFQSMNF=DQ2FM2，y=x2（5x4）2， ；如图，当1x2时，PQ=42x，DQ=2x，y=SDEQ=DQ2，y=（2x）2， ；综上所述：（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，即2x=2，x=1，当Q为BC的中点时，BQ=，PB=1，AP=3，2x=3，x=，边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取

15、值范围为：1x点睛：本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，图形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键考点：四边形综合题；动点型；分类讨论；分段函数；压轴题57（2017吉林省，第26题，10分）函数的图象与性质拓展学习片段展示：【问题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= 【操作】将图中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图直接写出图象G对应的函数解析式【探究】在图中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图求图象G在直线l上方的部分对应

16、的函数y随x增大而增大时x的取值范围【应用】P是图中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE直接写出PDE的面积不小于1时m的取值范围【答案】【问题】：；【操作】：；【探究】：当1x2或x2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m2或m2+【分析】【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h1；分三部分进行讨论：当P在

17、C的左侧或F的右侧部分时，设Pm，根据h1，列不等式解出即可；如图，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4【解析】【问题】抛物线经过原点O，a=，故答案为：；【操作】：如图，抛物线：，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：，如图，图象G对应的函数解析式为：；【探究】：如图，由题意得：当y=1时，=0，解得：x1=2+，x2=2，C（2，1），F（2+，1），当y=1时，解得：x1=3，x2=1，D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1x2或x2+时，函数y随x增大而增大；【

18、应用】：D（1，1），E（3，1），DE=31=2，SPDE=DEh1，h1；当P在C的左侧或F的右侧部分时，设Pm，h=11，（m2）210，m2或m2，m2+或m2；如图，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，H（2，），HM=1=1，当点P不可能在DE的上方；MN=1，且O（0，0），a（4，0），P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4；综上所述，PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m2或m2+点睛：本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、对称性、二次函数的性质、图形和坐标特点、折叠的性质；运用了数形结合的思想和分类讨论的思想

19、，应用部分有难度，根据面积的条件，先求出底边的长和确定高的取值是关键考点：二次函数综合题；翻折变换（折叠问题）；分类讨论；阅读型；压轴题58（2017吉林省长春市，第23题，10分）如图，在RtABC中，C=90，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线ABBC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止设点P运动的时间为t秒（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）连结PQ，当PQ与ABC的一边平行时，求t的值；（3）如图，过点P作P

20、EAC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF设矩形PEQF与ABC重叠部分图形的面积为S当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值【答案】（1）AQ=8t（0t4）；（2）t=s或3s；（3）；t=s或s【分析】（1）利用勾股定理先求出AC，根据AQ=ACCQ即可解决问题；（2）分两种情形列出方程求解即可；（3）分三种情形a、如图1中，当0t时，重叠部分是四边形PEQFb、如图2中，当t2时，重叠部分是四边形PNQEC、如图3中，当2t3时，重叠部分是五边形MNPBQ分别求解即可；分两种情形a、

21、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2分别列出方程即可解决问题；【解析】（1）在RtABC中，C=90，AB=10，BC=6，AC= =8，CQ=t，AQ=8t（0t4）（2）当PQBC时，t=s当PQAB时，t=3综上所述，t=s或3s时，当PQ与ABC的一边平行（3）如图1中，a、当0t时，重叠部分是四边形PEQFS=PEEQ=3t（84tt）=b、如图2中，当t2时，重叠部分是四边形PNQES=S四边形PEQFSPFN=（16t224t） 5t（8t）5t（8t0=C

22、如图3中，当2t3时，重叠部分是五边形MNPBQS =S四边形PBQF -SFNM=t63（t2）t4（t2） t4（t2）= 综上所述： ；a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2则有（44t）：（4t）=1：2，解得t=s；b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2DE：DQ=NE：FQ=1：3，（4t4）：（4t）=1：3，解得t=s综上所述，当t=s或s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2点睛：本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，解

23、题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题考点：相似三角形的判定与性质；四边形综合题；分段函数；分类讨论；动点型；压轴题59（2017吉林省长春市，第24题，12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x0时，它们对应的函数值互为相反数；当x0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数y=x1，它的相关函数为（1）已知点A（5，8）在一次函数y=ax3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；当3x3时，求函数的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐

24、标系中，点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连结MN直接写出线段MN与二次函数的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围【答案】（1）1；（2）m=2或m=2+或m=2；最大值为，最小值为；（3）3n1或1n【分析】（1）函数y=ax3的相关函数为，将然后将点A（5，8）代入y=ax+3求解即可；（2）二次函数的相关函数为，分为m0和m0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；当3x0时，然后可 此时的最大值和最小值，当0x3时，函数，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当3x3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值

25、，然后结合函数图象可确定出n的取值范围【解析】（1）函数y=ax3的相关函数为，将点A（5，8）代入y=ax+3得：5a+3=8，解得：a=1当3x0时，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，此时y的最大值为当0x3时，函数，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为，当x=2时，有最大值，最大值y=综上所述，当3x3时，函数的相关函数的最大值为，最小值为；（3）如图1所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点所以当x=2时，y=1，即4+8+n=1，解得n=3如图2所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点抛物线与y轴交点纵坐标为1，n=1，解得：n

26、=1，当3n1时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点如图3所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点抛物线经过点（0，1），n=1如图4所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点抛物线经过点M（，1），+2n=1，解得：n=，1n时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点综上所述，n的取值范围是3n1或1n点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键考点：二次函数综合题；新定义；二次函数

27、的最值；最值问题；分类讨论；压轴题60（2017四川省内江市，第28题，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使MBN为直角三角形若存在，求出t值；若不存在，请说明理由【

28、答案】（1）；（2）S=，运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）t=或t=【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒利用三角形的面积公式列出SMBN与t的函数关系式利用二次函数的图象性质进行解答；（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案【解析】（1）点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1，A（2，0），把点A（2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入（a0），得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：；（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，MB=63t由题

29、意得，点C的坐标为（0，3）在RtBOC中，BC=5如图1，过点N作NHAB于点H，NHCO，BHNBOC，即，HN=t，SMBN=MBHN=（63t）t，即S= =，当PBQ存在时，0t2，当t=1时，SPBQ最大=答：运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）如图2，在RtOBC中，cosB=设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，MB=63t当MNB=90时，cosB=，即，化简，得17t=24，解得t=；当BMN=90时，cosB=，化简，得19t=30，解得t=综上所述：t=或t=时，MBN为直角三角形点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析

30、式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题61（2017四川省南充市，第25题，10分）如图1，已知二次函数（a、b、c为常数，a0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为，直线l的解析式为y=x（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l，l与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CEx轴于点E，把BCE沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上点E时（图2），求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，l与y轴交于点N

31、，把BON绕点O逆时针旋转135得到BON，P为l上的动点，当PBN为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标【答案】（1）；（2）y=x3；（3）P坐标为（0，3）或（，）或（，）【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，），设抛物线的解析式为，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题；（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，），B（，0），由E、B关于对称轴对称，可得 =2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可当P1与N重合时，P1BN是等腰三角形，此时P1（0，3）当N=NB时，设P（m，m3），列出方程解方程即可；【解析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，），设抛物线的解析式为，

32、把（0，0）代入得到a=，抛物线的解析式为，即（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，），B（，0），E在抛物线上，E、B关于对称轴对称， =2，解得m=1或6（舍弃），B（3，0），C（1，2），直线l的解析式为y=x3（3）如图2中，当P1与N重合时，P1BN是等腰三角形，此时P1（0，3）当N=NB时，设P（m，m3），则有，解得m=或，P2（，），P3（，）综上所述，满足条件的点P坐标为（0，3）或（，）或（，）点睛：本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会根据方程，属于中考压轴题考点：二次函数综合题；几何变换综合题；分类讨论；压轴题62（2017四川省宜宾市，第24题，12分）如图，抛物线与x轴分别交于A（1，0），B（5，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将RtACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）