多元函数的基本概念极限和连续性

1、 )(0oPPUPP 00一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集点集, ),(0PPU称为点称为点 P0 的的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU( (圆邻域圆邻域) )在空间中在空间中, , ),(),(0zyxPU( (球邻域球邻域) )说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成. )(0PU点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域, ,平面上的方邻域为平面上的方邻域为 (),(),0yxPU

2、。0P因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含. .,0 xxyy02. 区域区域(1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E , 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E = , 若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P) 既含既含 E中的内点也含中的内点也含 E则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点 ;则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 . .的外点的外点 ,显然显然, E 的内点必属于的内点必属于 E , E 的外

3、点必不属于的外点必不属于 E , E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E . PE(2) (2) 聚点聚点若对任意给定的若对任意给定的 , ,点点P P 的去心的去心),PU(E邻域邻域内总有内总有E E 中的点中的点 , , 则则称称P P 是是E E 的的聚点聚点. .聚点可以属于聚点可以属于E E , , 也可以不属于也可以不属于E E ( (因为聚点可以为因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为E E 的的导集导集 . .E E 的边界点的边界点 ) ) 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；（孤立点是边界点，但不边界

4、点可能是聚点；（孤立点是边界点，但不是聚点）是聚点） 若点若点 的某一个邻域内除点的某一个邻域内除点 外其余各点都不属外其余各点都不属于于E E，则称，则称 为点集为点集E E的的孤立点孤立点。0 x0 x0 x1| ),(22 yxyx例如例如边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合10| ),(22 yxyx例如例如(0,0)(0,0)既是既是边界点也是聚点但不属于集边界点也是聚点但不属于集合合D(3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集； 若点集若点集 E E , 则称则称 E 为为闭集闭集； 若集若

5、集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相的折线相连连 , 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. .则称则称 D 是连通的是连通的 ; 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域 ,简称简称区域区域 ; E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界, 记作记作 E ;例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域开区域闭区域闭区域 xyOxy21OxyOxy21O 整个平面整个平面 点集点集 1),(xyx是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域 ,

6、也是最大的闭域也是最大的闭域 ;但非区域但非区域 .11 对区域对区域 D , 若存在正数若存在正数 K , 使一切点使一切点 P D 与某定点与某定点 A 的距离的距离 AP K , 则称则称 D 为为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为否则称为无无xyO（4）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为;nR n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平

7、面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为二二 、二元函数的定义、二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数,( , ),( , )Dx yzz zf x yx yD点集 称为函数的定义域，称为自变量， 称为因变量，数集称为值域。例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(

8、yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD （6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.22222(2)z xyzxy例 描绘下列函数的图形(1) =xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:三、多元函数的极限三、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任

9、意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其

10、中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在（2） 找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定

11、极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. .四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义定义3 3例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0

12、, 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最

13、大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数

14、在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的

15、性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）五、小结五、小结多元函数的定义多元函数的定义 若若点点),(yx沿沿着着无无数数多多条条平平面面曲曲线线趋趋向向于于点点),(00yx时时，函函数数),(yxf都都趋趋向向于于 A，能能否否断断定定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf

16、 .41yxyxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,1练习练习00ln(1)1.limxyxyxxy是否存在？解解: 利用所以极限不存在.333,0,ln(1) ( , )(0,0)xyxyx yyxxyxyx)1ln(lim00yxx22002.lim()xyxyxy求2222ln()0000lim()limxyxyxyxxyyxye解220ln()xyxy又2222ln()2xyxy22,xyt令( , )(0,0)x y 当时0t 有，0lim lnttt又0lnlim1/ttt0lim()0tt0lim ln0ttt所以222200limln()02xyxyx

17、y即2200limln()0 xyxyxy从而，22000lim()1xyxyxye故一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 则则 ),(yxf_. .函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_. .练练 习习 题题 6 6、函函数数yxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _

18、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、函函数数xyzarcsin 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 8 8、函函数数xyxyz2222 的的间间断断点点是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 求求下下列列各各极极限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .三三、 证证明明：0lim2200 yxxyyx. .四四、 证证明明极极限限yxxyyx 11lim00不不存存在在 . .一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4,