大学物理第5章刚体

1、 刚体的平动可视为刚体的平动可视为质点质点的平动问题。的平动问题。1 1 刚体的定义刚体的定义刚体是一个刚体是一个质点系质点系，其内部，其内部任意两点之间距离任意两点之间距离在运动中始终在运动中始终不会不会改变改变。（有形状而无形变、理想模型。（有形状而无形变、理想模型、质点、质点）3 3 刚体的平动：内部两点间连线方向始终刚体的平动：内部两点间连线方向始终 不发生改变不发生改变刚体上所有的质点均绕同一直线做圆周运动，刚体上所有的质点均绕同一直线做圆周运动，则称刚体在则称刚体在转动转动，该直线称为，该直线称为转轴转轴。如果转。如果转轴固定，则称为轴固定，则称为定轴转动定轴转动。4 4 刚体的定

2、轴转动刚体的定轴转动2 2 刚体运动的基本形式：刚体运动的基本形式：平动和转动平动和转动，其他，其他形式的运动可看做是平动和转动的叠加形式的运动可看做是平动和转动的叠加 刚体在做定轴转动时，处于同一转动平面上的质点均刚体在做定轴转动时，处于同一转动平面上的质点均绕转心绕转心做做圆周圆周运动运动，且运动状态完全相同：角位移、角速度和角加速度。且运动状态完全相同：角位移、角速度和角加速度。所以所以角角量描述量描述适合于刚体的定轴转动。适合于刚体的定轴转动。rovrararvnt23 3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动ro转动平面转动平面转心转心 vararvntro4 4 角速度矢量和角加速度矢量角

3、速度矢量和角加速度矢量zzzz 刚体转动的角速度和角加速度不仅有大小还有方向，实际上是刚体转动的角速度和角加速度不仅有大小还有方向，实际上是一个一个矢量矢量。（角速度方向与直观的转动方向构成右手螺旋）。（角速度方向与直观的转动方向构成右手螺旋）角量和线量的关系也可以利用矢量关系来定义。角量和线量的关系也可以利用矢量关系来定义。 对定轴的力矩对定轴的力矩力矩是引起物体力矩是引起物体转动状态转动状态(用角动量描述用角动量描述)发生变化的原因。发生变化的原因。一、力矩 力力F 可以分解为平行于转轴的力可以分解为平行于转轴的力F F/和在转和在转动平面内的力动平面内的力F F，分力，分力F F/对刚体

4、的转动没对刚体的转动没有贡献，只有分力有贡献，只有分力F F才对刚体的转动状态才对刚体的转动状态有影响。有影响。写成矢量式子写成矢量式子( (只讨论定轴转动只讨论定轴转动) )sinrFhFMFrM力矩是矢量。在定轴转动中，力矩的方向总是沿着转轴，由力矩是矢量。在定轴转动中，力矩的方向总是沿着转轴，由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。 力矩沿着转动轴的方向，有正负之分，力矩沿着转动轴的方向，有正负之分，正力矩表示此力矩使刚体正力矩表示此力矩使刚体绕轴做逆时针方向转动绕轴做逆时针方向转动； 刚体受到多个力时的合外矩；刚体受到多个力时的合外矩； M = M1 + M2 + M = M1 + M2

5、 + . .具体计算采用标量式子具体计算采用标量式子 注意：合力矩不等于合力的力矩。注意：合力矩不等于合力的力矩。 作用力与反作用力的力矩之和为零；作用力与反作用力的力矩之和为零；推论：刚体内力矩之和为零。推论：刚体内力矩之和为零。讨论对点的力矩和对转动轴力矩的关系。讨论对点的力矩和对转动轴力矩的关系。力矩的说明力矩的说明 刚体在定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运刚体在定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。每一个动。每一个质点对轴的角动量质点对轴的角动量实际上就是实际上就是对转心的角动量对转心的角动量。即。即该质点该质点相对于转心的相对于转心的位置矢量与动量的矢量积

6、位置矢量与动量的矢量积。二、刚体对定轴的角动量vmrprL角动量的角动量的大小：大小：方向：方向： 右手螺旋定则右手螺旋定则 只有两个方向只有两个方向 L0, 0, L00sinsinrmvprLzLprdr刚体对定轴的角动量，就是刚体（质点系）每一个质点对轴的角刚体对定轴的角动量，就是刚体（质点系）每一个质点对轴的角动量的矢量和。动量的矢量和。iiLL 刚体的刚体的定轴角动量定轴角动量，大小等于，大小等于刚体的转动惯量与角速度的乘积刚体的转动惯量与角速度的乘积，方向，方向与角速度方向一致。与角速度方向一致。定义刚体的定义刚体的转动惯量转动惯量iiLL2iiiiiiiimrrmrvmrLozr

7、imivi)()(22iiiiiirmrmL)(2iiirmJJL vmp 三、转动惯量1 1、定义、定义 刚体的转动惯量等于刚体上各质点刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。乘积之和。2 2、说明、说明 转动惯量是转动惯量是标量标量； 转动惯量有可加性（广延量、强度量）；转动惯量有可加性（广延量、强度量）； 单位：单位：kgkgm m2 2 3 3、转动惯量的计算、转动惯量的计算若质量连续分布若质量连续分布dmrJ2iiirmJ2若质量离散分布若质量离散分布 y rix z yi xi mi 3 3、转动惯量的计算、转动惯量的计算

8、若质量连续分布若质量连续分布dmrJ2刚体对轴转动惯量的大小决定于刚体对轴转动惯量的大小决定于三个因素：即刚体的质量、质量对轴三个因素：即刚体的质量、质量对轴的分布情况和转轴的位置的分布情况和转轴的位置。一维一维dldm二维二维dSdm三维三维dVdmdmdl线密度线密度面密度面密度体密度体密度dlrJ2dSrJ2dVrJ2 例例1 1求长为求长为L L、质量为、质量为m m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：解：取如图坐标，取如图坐标，dm= dx12/2222mLdxxJLLC3/202mLdxxJLA例例2 2求质量为求质量

9、为m m、半径为、半径为R R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。直并通过圆心。ROdm222mRdmRdmRJ解：解： 例例3 3求长求质量为求长求质量为m m、半径为、半径为R R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。直并通过盘心。解：解：取取半径为半径为r宽为宽为dr 的薄圆环的薄圆环rdrdm2drrdmrdJ322403212RdrrdJJR2Rm221mRJ Rrdr 4 4、平行轴定理、平行轴定理( (了解内容了解内容) )假设刚体对过质心假设刚体对过质心C的转动轴的转动轴Zc有转动惯量有转

10、动惯量Jc 则则刚体对刚体对另一与另一与Zc平行且相距为平行且相距为d的轴的轴Z的的转转动惯量动惯量J为为2mdJJczCdczz说明说明：1)1)通过质心的轴线的转动惯量最小；通过质心的轴线的转动惯量最小；2)2)平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量，比平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量，比如考察棍子绕过质心和端点转动轴的转动惯量如考察棍子绕过质心和端点转动轴的转动惯量L/2czz2121mLJc2231)2(mLLmJJcz 四、转动定律dtLdM外JM 转动定律：转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的

11、转动惯量成反比。矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。说明：说明：1)1)合外力矩和转动惯量合外力矩和转动惯量都是相对于都是相对于同一转轴同一转轴而言的；而言的；2)2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定 轴转动问题的基本方程。轴转动问题的基本方程。JLJdtdJdtJddtLdM)(外 题目类型：题目类型：已知两个量求另一个量，比如已知外力矩已知两个量求另一个量，比如已知外力矩M M和转动惯量和转动惯量J J，求角加，求角加速度；或者反过来。速度；或者反过来。解题步骤：解题步骤：分析受力情况，力矩情况。分析受力情况

12、，力矩情况。设定转动方向，比如可设顺时针方向转动为正。设定转动方向，比如可设顺时针方向转动为正。列出转动定律，约定在这一章我们带入的公式字母都是指数值。列出转动定律，约定在这一章我们带入的公式字母都是指数值。注意：注意：1.1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2.2.要选定要选定转轴的正方向，转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；的正负；3.3.系统中有转动和平动，系统中有转动和平动， 转动物体转动物体转动定律转动定律 平动物体平动物体牛顿定律牛顿定律 例例1 1一根长为一根长为l、质量为、质量为m 的

13、均匀细直棒，其一端有一固定的光滑的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆它由此下摆角时的角加速度。角时的角加速度。解：解：棒下摆为加速过程，外力矩为棒下摆为加速过程，外力矩为重力对重力对O 的力矩。的力矩。 重力矩为：重力矩为：231mlJ XOx(dm)gdmcos21mglM lgmlmglJM2cos331cos212 例例2 2一为了测量半径一为了测量半径R=0.5mR=0.5m的飞轮对其转轴的转动惯量，采用如图的飞轮对其转轴的转动惯量，采用如图所示的装置，在飞轮上绕

14、以细绳，绳的末端系一质量为所示的装置，在飞轮上绕以细绳，绳的末端系一质量为m1=8kg m1=8kg 的重的重物，让其从高度物，让其从高度h=2mh=2m处竖直下落，测得下落时间为处竖直下落，测得下落时间为t t1 1=16s=16s。为了消去。为了消去轴承摩擦力的影响，再用一质量为轴承摩擦力的影响，再用一质量为m2=4kgm2=4kg的重物做第二次实验，测得的重物做第二次实验，测得从同一高度下落的时间为从同一高度下落的时间为t t2 2=25s=25s，假定摩擦力矩是常数，与重物的质，假定摩擦力矩是常数，与重物的质量无关，求飞轮的转动惯量。量无关，求飞轮的转动惯量。定轴定轴ORthmv0=0

15、绳绳分析分析受力和力矩受力和力矩情况，建立坐标系情况，建立坐标系 解：解：11JMRT摩擦2121)(RTTJ定轴定轴ORthmv0=0绳绳22JMRT摩擦11Ra 22Ra 1111amTgm2222amTgm211121tah 222221tah 首先消掉摩擦力矩首先消掉摩擦力矩221222111)()(Raaamgmamgm然后带入角加速度和拉力然后带入角加速度和拉力角加速度可以直接计算角加速度可以直接计算 解：解：合合外力矩为摩擦力对外力矩为摩擦力对O 的力矩，怎么计算的力矩，怎么计算drdgrrgdmdM2)(例题例题3. 有一匀质圆盘半径为有一匀质圆盘半径为R，质量为，质量为m，在

16、水平桌面上绕过圆心的，在水平桌面上绕过圆心的垂轴垂轴O转动。若圆盘的初角速度为转动。若圆盘的初角速度为0 而桌面的摩擦系数为而桌面的摩擦系数为 ，求圆盘，求圆盘停止下来所需要的时间以及停转过程中的角位移？停止下来所需要的时间以及停转过程中的角位移？OxrdrddS圆盘的每一质点受到摩擦力的圆盘的每一质点受到摩擦力的力臂不一力臂不一样样，只能用，只能用微元微元的方法求解。的方法求解。建立如图所示坐标系，取面积元建立如图所示坐标系，取面积元dS 分析分析力矩力矩圆盘均匀，质量密度为：圆盘均匀，质量密度为：2Rm面积元面积元dS质量：质量：rdrddSdm可直接写出面积元的摩擦力矩：可直接写出面积元

17、的摩擦力矩： 整个圆盘受到的摩擦力矩为整个圆盘受到的摩擦力矩为：Rg34t0203023232mgRRgdrrdgdMMRrr22132mRmgR 转动定律转动定律盘的角加速度为常量。再由匀角加速度运动公式盘的角加速度为常量。再由匀角加速度运动公式 得到转动时间得到转动时间而转动角位移为而转动角位移为gRt43000gRtt83212020 tLtLMdtdLLLJJ 0000刚体定轴转动的角动量定理：刚体定轴转动的角动量定理： 定轴转动刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。定轴转动刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律MJ 0如果那么恒矢量

18、当刚体所受的的当刚体所受的的合外力矩为零，合外力矩为零，或者不受合外力的作用，或者不受合外力的作用，则刚体的角动量则刚体的角动量保持不变。保持不变。这一定律不仅对刚体适用，对可以变形的物体也同样成立。这一定律不仅对刚体适用，对可以变形的物体也同样成立。 冰上舞蹈的角动量守恒冰上舞蹈的角动量守恒 ( L=const )角动量守恒的两种情况：角动量守恒的两种情况： 1) 如果如果转动惯量转动惯量( J )不变，刚体作匀速转动不变，刚体作匀速转动(w=const)； 2) 如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯

19、量变大时，量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转动惯量变小时，角速度变大。角速度变小；当转动惯量变小时，角速度变大。 儒可夫斯基凳儒可夫斯基凳 解：解：如果选取如果选取z为定轴，那么杆子在碰撞时力矩为定轴，那么杆子在碰撞时力矩为零，满足为零，满足角动量守恒角动量守恒。例题例题1. 如图所示，一长度为如图所示，一长度为l，质量为，质量为m的细杆在光滑水平面内沿杆的的细杆在光滑水平面内沿杆的垂向以速度垂向以速度v平动。杆的一端与定轴平动。杆的一端与定轴z相碰撞后杆将绕相碰撞后杆将绕z轴转动，求杆转轴转动，求杆转动的角速度。动的角速度。 碰撞前的角动量：碰撞前的角动量：m

20、vlL2角动量守恒，有角动量守恒，有v可求出转动角速度可求出转动角速度z碰撞后的角动量：碰撞后的角动量：231mlJL23121mlmvl lv23 解：解：分析受力和力矩情况，角动量守恒吗？分析受力和力矩情况，角动量守恒吗？例题例题2. 如图所示如图所示,一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度v0射入一静止悬于顶端射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后，棒开始摆动的角速，求子弹穿出后，棒开始摆动的角速度。已知棒长为度。已知棒长为l，质量为，质量为M 。碰撞前的角动量：碰撞前的角动量：lmvL0角动量守恒，有角动量守恒，有可求出转

21、动角速度可求出转动角速度碰撞后的角动量碰撞后的角动量(杆和子弹的角动量和杆和子弹的角动量和）：）：lvmMlmvlJL43102Mlmv4900vOMvllvmMllmv431020 例题例题3. 如图所示，质量为如图所示，质量为m1半径为半径为r 的定滑轮的定滑轮A绕有轻绳，定滑轮看成均绕有轻绳，定滑轮看成均匀圆盘，轻绳绕过滑轮后挂有物体匀圆盘，轻绳绕过滑轮后挂有物体B和和C，质量分别为，质量分别为m2和和m3，忽略轮轴，忽略轮轴摩擦，求物体摩擦，求物体B由静止下落由静止下落t 时间后的速度。时间后的速度。r分析受力和力矩情况分析受力和力矩情况ABC 解：解：由由ABC和绳子组成系统为研究对

22、象，分析受力和力矩情况。和绳子组成系统为研究对象，分析受力和力矩情况。系统受到的合力矩：系统受到的合力矩：grmgrmM32分别计算，有分别计算，有联立以上方程，可求联立以上方程，可求出出t时刻的下落速度时刻的下落速度vrmvrmrmLLLLCBA3221)21(对整个系统列出角动量定理积分形式对整个系统列出角动量定理积分形式00LLMdttttgrmgrmMdtt)(12000Lrv 绳子不可伸长绳子不可伸长3213222)(2mmmgtmmv 力矩做功本质上是力矩做功本质上是力对作用点上的质点做功力对作用点上的质点做功。我们首先分析元位移内。我们首先分析元位移内的的元功元功一、力矩做功力力

23、FsincosFrdFdsrdFdA角位移角位移d元位移大小元位移大小rdds 元功为元功为MddA AMd 0说明：说明：力矩作功的实质仍然是力作功。力矩作功的实质仍然是力作功。对于刚体转动的情况对于刚体转动的情况，用力矩的角，用力矩的角位移来表示。位移来表示。在某一个过程中，力矩做功为：在某一个过程中，力矩做功为：M为为F对对O点的力矩。点的力矩。 说明：说明：合外力矩作功等于合外力矩作功等于各外力矩做功各外力矩做功之和，也即总功。之和，也即总功。一对内力的力矩一对内力的力矩等值反向，所以它们的等值反向，所以它们的总功为零总功为零。力矩的功率力矩的功率 (单位时间内力矩对刚体转动做的功单位

24、时间内力矩对刚体转动做的功) 它衡量了做功的快慢，实际上就是它衡量了做功的快慢，实际上就是外力的功率外力的功率。MdtMddtdAPiMM0) (212121dMMdMMdAAiiiAdMMdA 利用转动过程中角量与线量关系利用转动过程中角量与线量关系二、转动动能iirv 221iikikvmEE刚体的转动动能公式可以和质点动能公式类比。刚体的转动动能公式可以和质点动能公式类比。刚体的转动动能，就是组成刚体各个质点的动能之和。刚体的转动动能，就是组成刚体各个质点的动能之和。2222)21(21iiiikrmrmE用刚体转动惯量可以表示为用刚体转动惯量可以表示为221JEk 三、定轴转动的动能定

25、理dtdJdddtdJdJdMA外我们计算一下我们计算一下外力矩在刚体转动状态变化过程中做功外力矩在刚体转动状态变化过程中做功与转动动能之与转动动能之间的关系。间的关系。12kkEEA2122212121JJdJ刚体绕定轴转动的动能定理：刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体的功等于刚体的转动动能的增量转动动能的增量。（内力矩做功之和为零）（内力矩做功之和为零） 。 四、刚体的重力势能与机械能守恒定律刚体没有形变，所以常常只考虑重力势能就可以了，而且重力势能刚体没有形变，所以常常只考虑重力势能就可以了，而且重力势能可以简化为在质心处

26、的质点的势能。可以简化为在质心处的质点的势能。cpmghE 刚体是质点系，所以遵从一般的刚体是质点系，所以遵从一般的质点系的机械能守恒定律质点系的机械能守恒定律。如果系统中没有非保守力做功如果系统中没有非保守力做功(只有外力和保守力做功只有外力和保守力做功），系），系统的机械能守恒。统的机械能守恒。constEEpk 212JEk 例题例题1. 如图所示，定滑轮如图所示，定滑轮A绕有轻绳，绳绕过另一滑轮绕有轻绳，绳绕过另一滑轮B后挂一物体后挂一物体C，两滑轮看成均匀圆盘，半径分别是两滑轮看成均匀圆盘，半径分别是R1和和R2，质量为，质量为m1和和m2，C的质的质量为量为m3，忽略轮轴摩擦，求物

27、体，忽略轮轴摩擦，求物体C由静止下落由静止下落h时的速度。时的速度。hR2R1CAB分析分析受力和力矩受力和力矩情况情况 解：解：如果选取绳子、如果选取绳子、A、B、C和地球为系统一起考虑，和地球为系统一起考虑，只有重力（保守只有重力（保守内力）做功内力）做功，可以列出系统的机械能守恒。以，可以列出系统的机械能守恒。以C下落下落h后的高度为重力后的高度为重力零势能面。假设零势能面。假设A和和B的角速度：的角速度：其中圆盘转动惯量为其中圆盘转动惯量为2332222113212121vmJJghm可求出物体可求出物体C的末速度的末速度绳子在某一时刻是不能拉伸的：绳子在某一时刻是不能拉伸的：2111

28、21RmJ 222221RmJ 22113RRv3213322mmmghmv 例题例题2. 如图所示，一均匀细棒，长为如图所示，一均匀细棒，长为l，质量为，质量为m，可绕过棒端且垂直，可绕过棒端且垂直于棒的光滑水平固定轴于棒的光滑水平固定轴O在竖直平面内转动，棒被拉到水平位置从静在竖直平面内转动，棒被拉到水平位置从静止开始下落，当它转到竖直位置时，与放在地面上一静止的质量亦为止开始下落，当它转到竖直位置时，与放在地面上一静止的质量亦为m的小滑块碰撞，碰撞时间极短，小滑块与地面间的摩擦系数为的小滑块碰撞，碰撞时间极短，小滑块与地面间的摩擦系数为，碰后滑块移动距离碰后滑块移动距离S后停止，而棒继续

29、沿原转动方向转动，直到达到后停止，而棒继续沿原转动方向转动，直到达到最大摆角。求：碰撞后棒的中点最大摆角。求：碰撞后棒的中点C离地面的最大高度离地面的最大高度h。 分析：本题有三个物理过程：分析：本题有三个物理过程：过程过程：棒由水平转到竖直的过程，这个过程中，：棒由水平转到竖直的过程，这个过程中，对棒和地球对棒和地球 系统，外力（轴对棒）不作功，仅有保守内力作功，系统，外力（轴对棒）不作功，仅有保守内力作功， 机械能守恒机械能守恒。过程过程：棒与滑块碰撞过程。碰撞过程中棒与滑块的位移都可：棒与滑块碰撞过程。碰撞过程中棒与滑块的位移都可 忽略不计；由于碰撞时间极短，并且外力为恒力，因忽略不计；由于碰撞时间极短，并且外力为恒力，因 此在碰撞过程中外力对轴此在碰撞过程中外力对轴O的冲量矩可忽略，可近似的冲量矩可忽略，可近似 地用对地用对O轴的角动量守恒定律求解。轴的角动量守恒定律求解。过程过程III：碰撞之后，棒继续上摆，棒、地系统机械能守恒，滑：碰撞之后，棒继续上摆，棒、地系统机械能守恒，滑块在水平面上运动。块在水平面上运动。 解：解：过程过程：棒下落过程，棒、地球系统，：棒下落过程，