高等代数(张禾瑞版)教案-第3章行列式

1、3.3 n 阶 行 列 式教学目的：1、 理解和掌握n阶行列式的定义和性质。2、 能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式。教学内容：1、 行列式的定义：任意取n个数a（i=1,2,n;j=1,2,n）,排成以下形式： a a a a a a(1) .a a a.考察位于（1）的不 同的行与不同的列上的 n个元素的乘积。这种乘积可以写成下面的形式：a a a,（2）这里下标j,j,.,j是1，2，n这n个数码的一个排列。反过来，给了n个数码的任意一 个排列，我们也能得出这样的一个乘积。因此，一切位于（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n!个。 我们用符号p(j jj

2、)表示排列j jj的序数。 定义 用符号 表示的 n阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积a aa.项a aa符号为（-1） ,也就是说，当j jj是偶排列时，这一项的符号为正，当j jj是奇排列时，这一项的符号为负。 一个n阶行列式正是前面所说的二阶和三阶行列式的推广。特别，当n=1时，一阶行列式|a|就是数a.例1 我们看一个四阶行列式 D=.根据定义，D是一个4！=24项的代数。然而在这个行列式里，除了acfh,bdeg,bcfg这四项外，其余的项都至含有一个因子0，因而等于0。与上面四项对应的排列依次是1234，1324，432

3、1，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个和第四个是奇排列。因此D=acfh-adeh+bdeg-bcfg.2、 转置行列式： 设 D=.如果把D的行变为列，就得到一个新的行列式D=D叫做D的转置行列式。 引理 3.3.1 从n阶行列式的第i,i,i行和第j,j,.,j列取出元素作乘积aaa, (3)这里iii和jj.j都是1,2,n这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是（-1）,s=p( iii),t=p( jj.j).证 如果交换乘积（3）中某个因子的位置，那么（3）的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换。假定经过这样一次对换后所得的两个反序分别为s和t，那

4、么由定理3.2.2，s-s和t-t都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以（s+s）-(s+t)=(s-s)+(t-t)是一个偶数。因此s+t与s+t同时是偶数或同时是奇数，从而（-1） =（-1）. 另一方面，由定理3.2.1，排列iii总可以经过若干次对换变为12n.因此，经过若干次变换因子的次序，乘积（3）可以变为（4） aaa,这里kkk是n个数码的一个排列。根据行列式的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符号是（-1） 。然而p（12n）=0.由上面的讨论可知（-1）=（-1）=（-1）。引理被证明。 现在设 aaa是n阶行列式D的任意一项。这一项的元素位于D的不同的行和 不同的列，

5、所以位于D的转置行列式D的不同的行和不同的列，因而也是D的一项。由引理3.3.1，这一项在D里和 在D里的符号都 是（-1）。反过来，D的任意一项也是D的一项，并且D中不同的两项显然也是D中不同的两项。因为D与D的项数都是n！，所以D与D是带有相同符号的相同项的代数和，既D=D。于是有 命题 3.3.2 行列式与它的转置行列式相等。 命题 3.3.3 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。 证 设给定行列式 D=交换D的第I行与第j行得 D=(旁边的i和j表示行的序数)。D的每一项可以写成 aaaa. (5)因为这一项的元素位于D的不同的行和不同的列，所以它也是D的一项。反过来，D的

6、每一项也是D的一项，并且D的不同项对应着D的不同项。因此D与D含有相同的项。D中的符号是（-1）。然而在D中，原行列式的第 i行变成第j行，第j行变成第i行,而列的次序并没有改变。所以由引理3.3.1，并注意到p（1jin）是一奇数，（5）在D中的符号是 （-1）=（-1）因此（5）在D和D中的符号相反。所以D与D的符号相反。 交换行列式两列的情形，可以利用命题3.3.2归结到交换两行的情形。 推论 3.3.4 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。 命题 3.3.5 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘这个行列式。 证 设把行列式D的第i行的

7、元素a,a,a乘以k而得到行列式D。那么D的第i行的元素是 ka,ka,ka.D的每一项可以写作 aaa. (6)D中对应的项可以写作 a（ka）a= k aaa. (7) (6)在 D中的符号与（7）在D中的符号都是（-1）。因此，D=kD. 推论 3.3.6 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 推论 3.3.7 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。 推论 3.3.8 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。 证 设行列式D的第i行与第j行（ij）的对应元素成比例。那么这两行的对应元素只差同一个因子k，即

8、 a=ka,a=ka,a=ka.因此D= = 由推论 3.3.6，可以把公因子k提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推论 3.3.4 ，这个行列式等于零。命题 3.3.9 设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和： D= 那么D等于两个行列式D与D的和，其中D的第i行的元素是b,b,b,D的第i行的元素是c,c,c，而D与D的其它各行都和D的一样。 同样的性质对于列来说也成立。 证 D的每一项可以写成 a(b+c)anjn的形式，它的符号是（1）p（j1j2jn）.去掉括弧，得a1j1（bij1+cij1）anjn=a1j1bijianjn+a1j1cijianj

9、n.但一切项a1j1bijicnjn附以原有符号后的和等于行列式D1= ，一切项aca附以原有符号后的和等于行列式D= .因此 D=D+D.命题 3.3.9 显然可以推广到第i行（列）的元素是m项的和的情形（m2）.命题 3.3.10 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。证 设给定行列式 D= ,把D的第j行的元素乘以同一数k后，加到第i行(ij)的对应元素上，我们得到行列式 D= .由命题 3.3.9 D=D+D此处 D= .D的第i行与第j列成比例；由推论 3.3.8 ， D=0。所以D=D.我们给出两个利用行列式的性质来简化行列式计算的例子。

10、 例 2 计算行列式 D = 根据命题3.3.10,从D的第二列和第三列的元素减去第一还不错的对应的元素(即把D的第一列的元素同乘以-1后加到第二列和第三列的对应元素上),得 D = 这个行列式有两列车员成比例,所以根据推论3.3.8, D=0.例 3 计算n阶行列式 D = 我们看到,D的每一列的元素的和都是n-1.把第二,第三,第n行都加到第一行上,得 D = 根据推论3.3.6,提出第一行的公因子n-1,得 D=( n - 1 ) 由于某种原因第二,第三,第n行减去第一行,得 D= ( n - 1 ) 由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积(-1)n-1.所以 D=(-1)n

11、-1(n-1)3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开教学目的：1. 掌握计算行列 式的能力2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧教学内容:1. 子式和余子式: 定义1 在一个n阶行列式D中任意取定k行k列.位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式. 例1 在四阶行列式 D=中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式 M= 定义2 n(n1)阶行列式 D= 的某一元素余子式指的是在D中划去所在的行和列后所余下的n-1阶子式.例2 例子的四阶行列式的元素 = 定义 3 n阶行列式D

12、的元素的余子式附以符号后,叫做元素的代数余子式.元素的代数余子式用符号来表示:=.例3 例1中的四阶行列式D的元素的余子式是=-=- 现在先看一个特殊的情形，就是一个n阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情形。定理3.4.1若在一个n阶行列式 D= 中，第I行（或第j列）的元素除a外都是零，那么这个行列式等于a与它代数余子式A的乘积：D= aA证 我们只对行来证明这个定理。1） 先假定D的第一行的元素除a外都是零。这时 D=我们要证明， D=aA= a（-1）M= aM，也就是说， D= a（1）子式M的每一项都可以写作aaa，此处j，j，j是2，3，n这n-1个数码的一个排列。我们

13、看项（1）与元素a的乘积 a aaa，这一乘积的元素位在D的不同的行与不同的列上，因此它是D的一项。反过来，由于行列式D的每一项都含有第一列的一 个元素，而第一行的元素除a外都零，因此D的每一项都可以写成（2）的形式，这就是说，D的每一项都是a与它的子式M的某一项的乘积，因此D与aM有相同的项，乘积（2）在D的符号是 （-1）=（-1）另一方面，乘积（2）在aM中的符号就是（1）在M中的符号。乘积（1）的元素既然位在D 的第2，3，n行与第j，j，j列，因此它位在M的第1，2，n-1行与j-1，j-1，j-1列，所以（1）在M中的符号应该是（-1）。显然，（jj）=（j-1）（j-1）。这样，

14、乘积这（2）在aM中的符号与D中的符号一致。所以 D= aM现在我们来看一般的情形。设D=我们变动行列式D的行列，使a位于第一行与第一列，并且保持a的余子式不变。为了达到这一目的，我们把D的第I行依次与第I-1，I-2，2，1行变换，这样，一共经过了I-1次交换两行步骤，我们就把D的第I行换到第一行的位置。然后在把第j列依次与j-1，j-2，2，1列交换，一共经过j-1次交换两列的步骤，a就被换到第一行与第一列的位置上，这时，D 变为下面形式的行列式： D=是由D经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的.由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,行列式改变符号.因此 D=.在中,位在

15、第一行与第一列,并且第一行的其余元素都是零;由1), D= =因此 D=.这样,定理得到证明. 定理 3.4.2 行列式D等于它任意一行(列)的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和.换句话说,行列式有依行或依列的展开式:D=(I=1,2,，n)， （ 3）D=(j=1,2,，n)。 （4）在证明这一定理这前，我们先注意以下事实：设 = ，= 是两个N阶行列式，在这两个行列式中除去第I行外，其余的相应行都不得相同。那么，的第I行的对应元素有相同的代数余子式。事实上，的子式是划去的第I行第J列后所得的N-1阶行列式。由于与只有第I行不同，所以划去这两个行列式的第I行和第J列，我们得到同一的行列

16、式。因此与的子式相同，而它们的代数余子式也相同。显然对列来说，也有同样的事实。现在我们来证明定理3.4.2.我们只对行来证明,换句话说,只证明公式(3).公式(4)的证明是完全类似的.先把行列式D写成以下形式: D= 也就是说,把D的第I行的每一元素写成N项的和.根据命题3.3.9,D等于个行列式的和: D= + + .在这N个行列式的每一个中,除了第I行外,其余的行都不得与D的相应行相同。因此，每一行列式的第行的元素代数余子式与D的第行的对应元素的代数余子式相同。这样，由定理3.4.1， 以下定理在某种意义下和定理3.4.2平行。定理3.4.3 行列式 的某一行（列）的元素与另外一行（列）的

17、对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。换句话说： （5） （6） 证 我们只证明等式（5）。看行列式 的第行与第行完全相同，所以。另一方面，与D仅有第行不同，因此的第行的元素的代数余子式与D的第行的对应元素的代数余子式相同。把依第行展开，得 因而 例4 计算四阶行列式 在这个行列式里，第三行已有一个元素是零。由第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得 根据定理3.4.1 把所得三阶行列式的第一行加到第二行，得 所以D=40。例5 计算阶行列式 按第一列展开，得这里的第一个阶行列式和有相同的形式，把它记作；第二个阶行列式等于。所以 这个式子对于任何都成立。因此有 但。所以例6 计算行列

18、式这个行列式叫做一个阶范得蒙（Vandermonde）行列式。由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以，得根据定理3.4.1提出每一列的公因子后，得最后的因子是一个阶的范得蒙行列式，我们用代表它：同样得此处是一个阶的范得蒙行列式。如此继续下去，最后得3.5 克 莱 姆 规 则教 学 目 的：1 理解克莱姆法则的条件，及应用范围。2 应用克莱姆法则解线性方程组。教 学 内 容： 设给定了一个含有n个未知量n个方程的线性方程组ax+ax+ax=b，ax+ax+ax=b， ax+ax+ax=b. 利用方程组的系数可以构成一个n阶行列式 D （1）这个行列式叫做方程组（1）系数的行列式. 定理3

19、.5.1(克莱姆(Cramer)规则) 一个含有n个未知量n个方程的线性方程组当它的行列式D0时,有且仅有一个解 x= , x=,，x=， （2）此处D是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项b，b，b.而得到的n阶行列式 证 n=1时是明显的.设n1.令j是整数1,2,，n中的任意一个.分别以A,A,A乘方程组（1）的第一，第二，第n个方程然后相加，得 （a A+ a A+ a A）x + +（a A+a A+ a A）x + +（a A+ a A+ a A x= b A+ b A+ b A由定理3.4.2和3.4.3, x的系数等于D而x(ij)的系数都是零；因此等式左端等于D x，而等式右端刚好是n阶行列式 D=这样，我们得到 D x= D .令j=1,2,，n我们得到方程组 D x =D ，D x=D，D x=D.