任意角的三角函数(2课时)

1、任意角的三角函数任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到属于天文学。直到14641464年，德国数学家雷基奥年，德国数学家雷基奥蒙坦著蒙坦著论各种三角形论各种三角形，才独立于天文学之，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；外对三角知识作了较系统的阐说；14-1614-16世纪，世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主

2、要内容，研究三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。导等等。16311631年，三角学输入中国，三角学在年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是中国早期比较通行的名称是“八线八线”和和“三三角角”。“八线八线”是指在单位圆上的八种三角函是指在单位圆上的八种三角函数线：数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的、正矢线、余矢线。随着科学

3、的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。学工程和无线电学中有着广泛的应用。sinBCAAB tanBCAAC cosACAAB cotACABC ACB对对边边邻边邻边斜边斜边p局限：局限：n定义依赖于直角三角形定义依赖于直角三角形n只能表示锐角的三角函数只能表示锐角的三角函数n不利于引入坐标运算解决问题不利于引入坐标运算解决问题下面利用平面直角坐标系，研究任意角的三角函数。下面利用平面直角坐标系，研究任意角的三角函数。那么：那么：原点的距

4、离是原点的距离是，它与坐标，它与坐标的坐标为的坐标为的终边上任意一点的终边上任意一点_ (P), yx 02222yxyxr|xyxyooP(x,y)P(x,y);sin,sinryry 即即的正弦，记作的正弦，记作叫做叫做比值比值(1);cos,cosrxrx 即即的余弦，记作的余弦，记作叫做叫做比值比值(2);tan,tanxyxy 即即的正切，记作的正切，记作叫做叫做比值比值(3);cot,cotyxyx 即即的余切，记作的余切，记作叫做叫做比值比值(4);sec,secxrxr 即即的正割，记作的正割，记作叫做叫做比值比值(5);csc,cscyryr 即即的余割，记作的余割，记作叫做

5、叫做比值比值(6)xyxyooP(x,y)P(x,y)xoP(x,y)yrxryxxyrxrycsc sec cottan cos sinp思考：思考：n1、对于确定的角、对于确定的角，比值，比值(如果有的话如果有的话)与与P点在点在终边上的位置有无关系？终边上的位置有无关系？n2、三角函数作为一个函数？怎么对应？、三角函数作为一个函数？怎么对应？n3、对于、对于6种三角函数的定义，任意的角种三角函数的定义，任意的角都是有意都是有意义的吗？义的吗？n4、不同象限上的符号如何？、不同象限上的符号如何？统称三角函数p由相似三角形的性质可知：对于确定的角由相似三角形的性质可知：对于确定的角，比值，比

6、值(如如果有的话果有的话)与与P点在点在终边上的位置无关系终边上的位置无关系p因此有课本给出的三角函数定义：因此有课本给出的三角函数定义：p设设是一个任意角是一个任意角,它的终边与单位圆交于点它的终边与单位圆交于点P(x,y)则则:y 叫叫的正弦的正弦x叫叫的余弦的余弦siny cosx tanyx yxO( , )P x y叫叫的正切的正切xy，又又如如何何？：若若圆圆心心为为思思考考又又如如何何？：若若半半径径为为思思考考用用三三角角函函数数表表示示坐坐标标可可以以作作用用：单单位位圆圆上上的的点点的的),(,),sin,(cosbarP21 角角（其弧度数等于这个实数）（其弧度数等于这个

7、实数）三角函数值三角函数值（实（实 数）数）实实 数数,(, 11,),(, 11,)kZkZkZkZ R-1，1R-1，1|k +R2|kR|k +2|k函数函数 解析式解析式 定义域定义域 值域值域余弦余弦正切正切余切余切正弦正弦正割正割余割余割yrxryxxyrxry cscseccottancossin yrxryxxyrxry cscseccottancossin 的的结结论论？你你能能否否由由此此推推出出更更一一般般有有什什么么关关系系？的的正正弦弦、余余弦弦、正正切切值值与与的的正正弦弦、余余弦弦、正正切切值值，求求角角的的终终边边经经过过角角的的正正弦弦、余余弦弦、正正切切值值

8、求求67653432351 .),(.P终边相同终边相同)(tan)tan(cos)cos(sin)sin(zkkkk 222点的坐标相同点的坐标相同同一函数值相同同一函数值相同你记住了吗？你记住了吗？度度弧弧度度0003004506009001200135015001800270036006432233456322 sin cos tan cot2123333212333321233332123333112222112222001001001001010当角当角的终边不在坐标轴上时，我们的终边不在坐标轴上时，我们把把OM、MP看成带有方向的线段，看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫这种带方

9、向的线段叫由正由正弦、余弦、正切函数的定义有：弦、余弦、正切函数的定义有： OMMPyyry1sinOMxxrx1cosATOAATOMMPxytanyxO 的终边的终边MPAT正弦线余弦线正切线当角的终边不在第一象限时，你知道相应的三角函数线在哪里吗？xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()思考：当思考：当的终边在的终边在x轴或轴或y轴上时，三角函数线情况如何？轴上时，三角函数线情况如何？_534P(-321 D 552C 55 B 51 A) (2223D 13133 213B 13132sinA) (P(2,

10、3)1的值为的值为，则，则，且，且的终边经过的终边经过、等于等于上，则上，则的终边在直线的终边在直线、若角、若角、，则有，则有的终经过点的终经过点、角、角bbxyC cos),sintansincosCC3别漏了别多了00000570420D )(-740 C 160B sin(-660 A) (6D C B A) (054cos)sin(costan),tansin_cossin、，取负值的是，取负值的是、下列各三角函数值中、下列各三角函数值中、第一或第四象限、第一或第四象限、第二或第三象限、第二或第三象限第四象限第四象限、第一象限、第一象限的终边在的终边在则则、若、若上，则上，则的终边在的

11、终边在、已知角、已知角 xy2DB._cos,sin.tan,cos,sin.tan,sin,cos),(.cossin)(,(.mmmmmxyaPaaaP都都有有意意义义，则则若若求求上上，的的终终边边在在直直线线类类似似题题：若若角角求求，且且的的终终边边过过点点类类似似题题：若若角角的的值值求求，的的坐坐标标为为的的终终边边上上有有一一个个点点角角524532353820341 先定象限再求值.,)cos(sin)sin(cos.)cot(cos)tan(sin.,coscos.cotcottantancoscossinsin.围围并用图形表示其取值范并用图形表示其取值范所在的象限所在的

12、象限指出指出类似题：若类似题：若的符号的符号是第二象限角，判断是第二象限角，判断若若是第几象限角？是第几象限角？则角则角是第二象限角，且是第二象限角，且若若的值域是？的值域是？函数函数303233212 xxxxxxxxy.cossintancos)(.sectancossin)(.sintancos)(.cottan)().sin(cossincostan)(.cossintan)(41723531636133463134512611511253114942625623352113250275045040512222222222 nmnmrqpnm求下列各式的值：求下列各式的值：.tan,sin,.coscos)( ;tantan)( ;sinsin)(.三者的大小三者的大小时，比较时，比较当当与与与与与与列各组数的大小：列各组数的大小：利用三角函数线比较下利用三角函数线比较下 20254323543225