金融博弈论第一章2

1、-“囚徒困境囚徒困境” 两个犯罪嫌疑人被捕并受到指控，但除非两个犯罪嫌疑人被捕并受到指控，但除非至少一个人招人犯罪，警方并无充足证据将其至少一个人招人犯罪，警方并无充足证据将其按罪判刑按罪判刑. 警方把他们关入不同的牢室，并对他警方把他们关入不同的牢室，并对他们说明不同行动带来的后果们说明不同行动带来的后果. 如果两个人都不坦如果两个人都不坦白，将均被判为轻度犯罪，入狱一个月；如果白，将均被判为轻度犯罪，入狱一个月；如果两人都坦白招认，都将被判入狱两人都坦白招认，都将被判入狱6个月；最后，个月；最后，如果一人招认而另一人拒不坦白，招认的一方如果一人招认而另一人拒不坦白，招认的一方将马上获释，而

2、另一人将判入狱将马上获释，而另一人将判入狱9个月个月.博弈论经典例子博弈论经典例子第第1章章 完全信息静态博弈完全信息静态博弈( Static Games of Complete Information )第第1章章 完全信息静态博弈完全信息静态博弈一个博弈由三部分构成一个博弈由三部分构成 : : 参与者参与者 , ,参与者的参与者的 战略（空间）战略（空间），参与者的收益参与者的收益构成构成. .动动)构成的集合构成的集合. 参与参与者的收益是参与者在博者的收益是参与者在博弈中的弈中的 参与者的战略参与者的战略空间是参与者可选择空间是参与者可选择的的战战略略(行行 得益得益.参与者的参与者的

3、“共同知识共同知识 ” ”. .完全信息是指完全信息是指: 所有参与者的收益函数是每个所有参与者的收益函数是每个 静态博弈静态博弈 是指所有参与者是指所有参与者同时同时选择行动或战选择行动或战略略. 同时同时:(彼此没有信息交流彼此没有信息交流). 假设每个参与者假设每个参与者选选 择且仅选择一次战略（择且仅选择一次战略（行动行动）. 参与者是参与者是理性理性的的. 参与者是参与者是理性理性的是指的是指 参与者参与者总是总是追求收益最大追求收益最大（参与者唯一的目标）（参与者唯一的目标）. 1.1A 博弈的标准式表述博弈的标准式表述 经典例子经典例子；“囚徒困境囚徒困境”( (prisoner

4、,s dilemma) 囚徒囚徒1 1-6 -6-6 -60 -90 -9-9 0 -9 0 -1 -1-1 -1 沉默沉默 招认招认 囚徒囚徒2 2沉默沉默 招认招认 在此博弈中在此博弈中, ,每个囚徒有两个可供选择的每个囚徒有两个可供选择的战略战略: 坦白坦白, 沉默沉默. 在一组特定的战略被选定后，两人的收益由上表在一组特定的战略被选定后，两人的收益由上表中的数字给出，习惯上横行代表的参与者中的数字给出，习惯上横行代表的参与者1的收益的收益 在两个数字中放在在两个数字中放在前面前面，列代表的参与者，列代表的参与者2 的收益的收益放在后面放在后面 . .一般情况下，博弈的标准式包括一般情况

5、下，博弈的标准式包括 ：（1）博弈的参与者，博弈的参与者，（2）每一参与者的战略集每一参与者的战略集 ，（3）针对针对所有参与者可能选择所有参与者可能选择的战略组合，的战略组合，每一个参与者获得的收益每一个参与者获得的收益. 一般来讲一般来讲, , 我们只考虑我们只考虑n 个参与者的博弈个参与者的博弈, ,其其 中参与者从中参与者从1到到n 排序排序, , 设其中任一参与者的序号设其中任一参与者的序号 为为i , , 令令Si 代表参与者代表参与者i 可以选择的战略集合可以选择的战略集合(称为称为 i 的的战略空间战略空间),),其中任意一个特定的战略用其中任意一个特定的战略用si 表示表示

6、iiSs 表示战略表示战略si 是战略集是战略集Si中的要素）中的要素） ( 有时写成有时写成 ),(21nsss 令令后形成的后形成的战战略组合略组合. . 间间，表示为，表示为 .21nSSSS),(21niisssuu定义定义 在一个在一个n 人博弈的标准表达式中人博弈的标准表达式中, ,参与者参与者 的战略空间为的战略空间为 ,21nSSS我们用我们用 ,21nuuunnuuuSSSG,;,2121表示此博弈表示此博弈.表示每个参与者选定一个战略表示每个参与者选定一个战略 所有战略组合所有战略组合构成构成战略组合空战略组合空 iu表示表示第第i个个参与者选参与者选 择战略择战略si 时

7、，时，i 的收益函数，即的收益函数，即 ),(iiissu收益函数为收益函数为 注意注意: : 参与者参与者同时选择战略同时选择战略( (行动行动) )并不意味着并不意味着各方各方行动必须是同时的行动必须是同时的, , 只要每一个参与者在选只要每一个参与者在选择行动时择行动时没有信息交流没有信息交流即可即可. .参与者参与者永远是理性的！永远是理性的！博弈模型已经构建，博弈模型已经构建，我们的任务是我们的任务是 如何预知如何预知 博弈的结果博弈的结果(?) ,(?) , 换言之，换言之，如何寻找如何寻找博弈的解博弈的解. 11B 重复剔除严格劣战略重复剔除严格劣战略 定义在标准式的博弈定义在标

8、准式的博弈nnuuuSSSG,;,2121中中, ,令令 和和 代表参与者代表参与者 的两个可行战略的两个可行战略, ,如果如果iis is对其他参与者对其他参与者每一个可能的战略组合每一个可能的战略组合, , 参与者参与者i 或者或者 相对与相对与 是是严严 is is选择选择 的收益的收益都小于都小于其选择其选择 的收益的收益, , 则称战略则称战略 isis isis 相对于相对于 是是严格劣战略，严格劣战略，格占优战略格占优战略，即：，即：),(1121niiiissssssu),(1121niiiissssssu ( DS )每一每一组可能的战略组合组可能的战略组合 都成立都成立.

9、.),(111niissss对其他参与者在其战略空间对其他参与者在其战略空间niiSSSS,111中的中的 理由：理由：理性的参与者不可能选择严格劣战略，理性的参与者不可能选择严格劣战略， “囚徒困境囚徒困境”( (prisoner,s dilemma) 囚徒囚徒1 1-6 -6-6 -60 -90 -9-9 0 -9 0 -1 -1-1 -1 沉默沉默 招认招认 囚徒囚徒2 2沉默沉默 招认招认 用重复剔除严格劣战略方法解决用重复剔除严格劣战略方法解决 “囚徒困境囚徒困境” 不难验证，不难验证，在囚徒困境中，对每一个参与者，在囚徒困境中，对每一个参与者，沉默和招认相比是沉默和招认相比是 严格

10、劣战略严格劣战略. 因此每一个囚徒都因此每一个囚徒都 会选择招认会选择招认. 故故“囚徒困境囚徒困境”博弈的博弈的重复剔除严格劣重复剔除严格劣 战略解是战略解是 （招认，招认）（招认，招认）. 下面再看一个二人博弈的例子：下面再看一个二人博弈的例子： 参与人参与人1 2 ，00 ，10 ，30 ，1 1 ，21 ，0左左 中中 右右上上下下参与人参与人 2 图图1.1.1参与人参与人1 1有两个可选战略，参与人有两个可选战略，参与人2 有三个有三个 可选战略可选战略 S1=上上, ,下下 ，S2=左左, 中，右中，右， 如果如果2选择左，上优于下选择左，上优于下(1大于大于0)，但如果，但如果

11、2选择右，下就会优于上选择右，下就会优于上(因为因为20). 但对参与人但对参与人2来讲，右严格劣于中来讲，右严格劣于中(21且且10)，因此理性的参，因此理性的参与者与者2不会选择右的不会选择右的. 那么那么如如果果参与人参与人1 知道参与知道参与 人人2是理性的，他就可以把右是理性的，他就可以把右从参与人从参与人2的战略空的战略空 间中剔除掉，即如果参与人间中剔除掉，即如果参与人1知道参与人知道参与人2是理性是理性 的，他就可以把图的，他就可以把图1.1.1所示博弈视同为图所示博弈视同为图112所所 示的博弈示的博弈: :1，01，20，30，1 参与人参与人2 左左 中中参与人参与人1上

12、上 下下图图112在图在图112112中中, ,对于参与人对于参与人1 1来讲，下就成了上的来讲，下就成了上的严严 格劣格劣战略战略, ,于是如果参与人于是如果参与人1 1是理性的是理性的,(,(并且并且参与参与 人人1知道知道参与人参与人2是理性的，这样才能把原是理性的，这样才能把原博弈化博弈化 为图为图1.1.2所所示的博弈示的博弈) )，参与人，参与人1 1就可以就可以把下从参把下从参 与人与人1的战略空的战略空间中剔除，余下图间中剔除，余下图113所示博弈所示博弈. 但这时对参与人但这时对参与人2, 左又成为中的严格左又成为中的严格劣战略，参劣战略，参 与人与人2可以剔除左，得可以剔除

13、左，得博博弈的解弈的解为为 (上，中上，中).1，01，2 参与人参与人2 2左左 中中参与人参与人1 上上图图113上面的过程可称为上面的过程可称为“重复剔除严格劣战略重复剔除严格劣战略”. .战略战略的原则之上，但它仍有两个缺陷：的原则之上，但它仍有两个缺陷：注意此过程建立在理性参与者不会选择严注意此过程建立在理性参与者不会选择严格劣格劣 第一第一 每一步剔除都需要参与者间相互了解每一步剔除都需要参与者间相互了解的的 意多步就需意多步就需要假定要假定“参与者是理性参与者是理性”是共同知识是共同知识. . 的还要假定所有参与的还要假定所有参与人都知道所有参与人是理性人都知道所有参与人是理性更

14、进一更进一步假设，如果我们要把这一过程应用到任步假设，如果我们要把这一过程应用到任 这意味着，我们不这意味着，我们不仅需要假定所有参与人是理性仅需要假定所有参与人是理性 的如此等等，以至无穷的如此等等，以至无穷. 第二第二 对博弈预测的结果经常是不精确的对博弈预测的结果经常是不精确的. .或者此方或者此方法根本不能使用法根本不能使用. . 例如：例如： 6 6，6 63 3，5 53 3，5 55 5，3 30 0，4 44 4，0 05 5，3 34 4，0 00 0，4 4左左 中中 右右上上 中中 下下 此博弈就不能用以上方法求解此博弈就不能用以上方法求解. . 由此引出由此引出纳纳 什

15、均衡什均衡的概念的概念. .纳什均衡概念是纳什均衡概念是博弈理论的基石博弈理论的基石! 它为博弈理它为博弈理论提供了分析框架论提供了分析框架. . 它的思想是它的思想是: :设想在博弈论预测的设想在博弈论预测的博弈结果中博弈结果中, ,给每个参与给每个参与 者选定各自的战略者选定各自的战略, 为使该预测是正确的，必须使为使该预测是正确的，必须使 参与者参与者自愿选择自愿选择理论给它推导出理论给它推导出的战略的战略. . 这这样每一样每一 个参与者要选择的战略必须是针对个参与者要选择的战略必须是针对其他其他参与者选择参与者选择 战略的战略的最优反应最优反应, 这种理论推测的结果可以这种理论推测的

16、结果可以叫做叫做 “战略稳定战略稳定”或或“自动实施自动实施”的的,因为没有参与者愿意因为没有参与者愿意 独自离弃他所选定的战略独自离弃他所选定的战略, , 这一状态这一状态称做称做纳什均衡纳什均衡 （Nash Equilibrium）. nnuuuSSSG,;,2121定义定义: :在在n 个参与者的标准式博弈个参与者的标准式博弈中中, ,如果战略组合如果战略组合 ),(21nsss满足对每一个参满足对每一个参 与与者者i , , 是是(至少不劣于至少不劣于)他针对其他他针对其他(n-1)个参与个参与 is者所者所选战略选战略 ),(111niissss的的最优反应战最优反应战 略略，则称战

17、，则称战略组合略组合 ),(21nsss是该博弈的一个是该博弈的一个 纳什均衡纳什均衡(纯战纯战略略).).即：即：),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu对所有对所有 中的中的 都成立，都成立，isiS( NE )is亦即亦即 是以下是以下最优化问题最优化问题 的解：的解：niiiiSssssssuii,max111关于纳什均衡解求解方法的说明：关于纳什均衡解求解方法的说明： 纳什均衡纳什均衡(纯战纯战略略) )的定义提供好了求解纳什的定义提供好了求解纳什均衡的思路：均衡的思路：niiiiSssssssuii,max1111. 假如最优化问题假如最优化问题 对每一

18、个参与者对每一个参与者i 都有都有最大值点最大值点 ,is, 2, 1ni则则 is为其他参与者选定战略的函数，即为其他参与者选定战略的函数，即 is),(1121niiissssss, 2, 1ni这样就会得到这样就会得到n 个等式或方程，个等式或方程，2. 解以上解以上n 个方程联立的方程组，个方程联立的方程组，3. 如果以上方程组有解如果以上方程组有解， 即得纳什均衡解即得纳什均衡解. 反之，反之，不是不是针对其他参与人战略选针对其他参与人战略选 不是博弈不是博弈 ),(21nsssSi中存在另外一个战略中存在另外一个战略 ),(111niissssis 使得使得 如果战略组合如果战略组

19、合G 的纳什均衡，的纳什均衡，就意味着就意味着至少存在一个参与人至少存在一个参与人 i， is参与人参与人 i 的战略选择的战略选择的最优反应战略的最优反应战略, , 即在即在 择择 ),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu 如果博弈论提供的战略组合解如果博弈论提供的战略组合解 ),(21nsss不是纳什均衡的解，不是纳什均衡的解，离理论离理论的预测，的预测，则至少有一个参与者有动因偏则至少有一个参与者有动因偏 使得博弈进行和理论预测不一致使得博弈进行和理论预测不一致. 和纳什均衡推导密切相关的是协议的理念：和纳什均衡推导密切相关的是协议的理念： 如果如果参与者之间

20、要商定一个协议决定博弈如参与者之间要商定一个协议决定博弈如何何 进行，进行， 那么一个有效的协议中的战略组合必须是纳那么一个有效的协议中的战略组合必须是纳 议议. .什均衡的略组合，什均衡的略组合， 否则至少有一个参与者不遵守协否则至少有一个参与者不遵守协 看下面看下面几个例子：几个例子：例一例一 “ “囚徒困境囚徒困境” -1， -1 -9， 0 0， -9 -6， -6 囚徒囚徒2 沉默沉默 招认招认 囚徒囚徒1 1沉默沉默招认招认对于囚徒对于囚徒1 1来讲，如果囚徒来讲，如果囚徒2 2选择战略选择战略“沉默沉默”, ,那么，囚徒那么，囚徒1选择选择“沉默沉默”的收益为的收益为-1,-1,

21、选择选择“招认招认” 的收益为的收益为0, 当然当然选择选择“招认招认”. .同理可得囚徒同理可得囚徒2的的战战略选择也是略选择也是“招认招认”.因此，此博弈的因此，此博弈的纳什均衡纳什均衡解解为为 (招认，招认招认，招认). 此时双方的收益为此时双方的收益为 (-6, -6), 很明显很明显(-1, -1) 的收益好于的收益好于(-6, -6). 但但纳什均衡纳什均衡 的结果是达不到的的结果是达不到的，此所谓的，此所谓的“囚徒困境囚徒困境”. . 这也正是博弈论的有趣之处这也正是博弈论的有趣之处, , 均衡均衡的结果的结果告诉我们一个很重要的结论告诉我们一个很重要的结论: : “囚徒困境囚徒

22、困境”纳什纳什 个体理性和集体理性的矛盾个体理性和集体理性的矛盾,每个个体都追求个体收益最优每个个体都追求个体收益最优, 其结果可能是其结果可能是 都达不到最优都达不到最优, ,相反相反, 集体利益可能也受到损害集体利益可能也受到损害.注注: :亚当亚当. .斯密斯密: : 每个个体追求最优每个个体追求最优, ,结果集体结果集体最优最优. 影响影响.纳什纳什认为亚当认为亚当. 斯密忽略了个体选择时的相互斯密忽略了个体选择时的相互 6 6 ，6 63 3 ，5 53 3 ，5 55 5 ，3 30 0 ，4 44 4 ，0 05 5 ，3 34 4 ，0 00 0 ，4 4 左左 中中 右右 上

23、上 中中 下下例例2 2对于参与者对于参与者1,1,如果参与者如果参与者2 2选择左选择左, ,则参与者则参与者1 1选择选择中中(4(43 30),0),此时参与者此时参与者1 1的收益为的收益为4,4,在在4下面划下面划 一横线一横线, 同理可以求出参与者同理可以求出参与者2 2选择中选择中、右时、右时, 1的的 选择和收益选择和收益. 对于参与者对于参与者2 2可用同样的可用同样的方法求解方法求解. 格格 子内数字都划线的对应的双方的战略组合子内数字都划线的对应的双方的战略组合(下，中下，中) 即为博弈的即为博弈的纳什均衡解纳什均衡解. 1 1， 2 2 0 , 0 0 ,02 2 ,

24、, 1 1 帕特帕特歌剧歌剧 拳击拳击克里斯克里斯歌剧歌剧 拳击拳击例例3性别战博弈性别战博弈易知此博弈有易知此博弈有两个两个纳什均衡纳什均衡, ,( (歌剧歌剧, , 歌剧歌剧); ); （拳击（拳击, 拳击拳击)结果到底是那一个呢结果到底是那一个呢? ? 不得而知不得而知. .此此 为为纳什均衡解的纳什均衡解的多重性，是纳什多重性，是纳什均衡的缺陷之一均衡的缺陷之一, , 也是博弈论的一大难题也是博弈论的一大难题.此博弈无纳什均衡此博弈无纳什均衡（纯战略）（纯战略）. .例例4 猜硬币博弈猜硬币博弈 -1 -1 ， 1 1 1 1 ，-1-11 1 ， -1-1 -1 -1 ，1 1 参与

25、人参与人2 2正面正面 反面反面参与人参与人1 1正面正面 反面反面例例5 博弈双方博弈双方1和和2就如何分就如何分100元钱进行讨价元钱进行讨价 还价还价. . 假设确定了以下规则：假设确定了以下规则：双方同时提出自己的要求的数额双方同时提出自己的要求的数额 和和 1s,2s,100,021ss如果如果 , 则博弈双方的则博弈双方的 10021 ss要求都能得到满要求都能得到满足足, 即分别得到即分别得到 和和 但如果但如果 1s,2s则该则该笔钱就被没收笔钱就被没收. 求该博弈的求该博弈的纳什纳什 ,10021ss为什么？为什么？ 均衡均衡, ,若你是其中一个博弈方若你是其中一个博弈方,

26、你会选择什么数额你会选择什么数额, 解解 根据题意，参与者根据题意，参与者1, 2 要求的份额分别为要求的份额分别为 ,21ss因此，参与者因此，参与者1, 2 的战略空间都为的战略空间都为 .1, 021 SS参与者参与者1的收益函数为的收益函数为 212111101sssssu当当当当因此因此, ,参与者参与者1的的最优反应函数最优反应函数是是 ,121ss由对由对 称性称性2的最优反应函数为的最优反应函数为 ,112ss双方的反应函双方的反应函 方程方程 121 ss有无数解，有无数解， 所以该博所以该博 数完全相同，数完全相同，弈有弈有无数个纯战略纳什均衡无数个纯战略纳什均衡 ),(2

27、1ss21,ss其中其中121 ss解解. . 为方程为方程 另外，当参与者另外，当参与者1均衡解是均衡解是 11s. 1,021ss时，时，参与者参与者2 的一个的一个均衡解为均衡解为1，但是，依照题意，当但是，依照题意，当 121ss时，时，, 02u依照纳什均衡解的定义，依照纳什均衡解的定义， 此时参与者此时参与者也是也是纳什均衡解纳什均衡解. 参与者参与者2 的收益的收益 所以，当参与者所以，当参与者1均衡均衡 11s时，时，2 战略战略 于是，于是，121 ss),(21ss, 1,021ss以及以及 ),1, 1 (解是解是 该博弈的该博弈的所有所有的所有解的所有解 如果我是其中的

28、一个参与者如果我是其中的一个参与者, ,我会选择得到我会选择得到50 . 因为因为在该博弈的无穷个纳什均衡中在该博弈的无穷个纳什均衡中, ,(50, 50)是比较是比较 称为称为“聚点聚点”均衡均衡. .公平容易被双方接受的公平容易被双方接受的.11s纳什均衡解为纳什均衡解为满足方程满足方程 例例6 考虑一个有考虑一个有 N 个人参加的游戏个人参加的游戏: :每个人可每个人可以放最多以放最多100元钱到一部可以生钱的机器里元钱到一部可以生钱的机器里, 机器机器 把所有把所有人放进去的钱的总和增加到原来的人放进去的钱的总和增加到原来的3倍，然倍，然 后再平均分后再平均分给这给这N 个人个人. 求

29、此博弈的纳什求此博弈的纳什均衡均衡. 解解: :容易得出当容易得出当N =1, 2 时时, ,此博弈有唯一的此博弈有唯一的纳什纳什 均衡均衡. 双方都放进双方都放进100元钱元钱, 即即(100, 100)为纳什均衡为纳什均衡. .3 , 2 , 1.)(33ipnmpnmui当当N =3时的情况如何时的情况如何? ? 参与者参与者i 的收益函数为的收益函数为其中其中m, n, p分别为三个参与者放进机器里的钱数，分别为三个参与者放进机器里的钱数， m为参与者为参与者i 放进机器里的钱数，放进机器里的钱数，n, p分别为其他分别为其他 两个参与者放进机器里的钱数，两个参与者放进机器里的钱数，

30、由由 可以看出可以看出, , i 的最优选择是的最优选择是: :iu.1000 m中的任意中的任意一个数一个数. .同理可分析另外两个参与者的同理可分析另外两个参与者的 选择选择. 当当N=4时情况如何时情况如何? ? 因此因此博弈有无数个纳什均衡博弈有无数个纳什均衡.mQpnmui)(43i参与者参与者 的收益函数为的收益函数为:.41)(43mQpn其中其中m, n, p, Q 分别为四个参与者放进机器里的钱分别为四个参与者放进机器里的钱 数，数，m为参与者为参与者i 放进机器里的钱数，放进机器里的钱数，n, p, Q 分别分别 其他三个参与者放进机器里的钱数其他三个参与者放进机器里的钱数

31、. 由于由于,041m所以参与者所以参与者i 的最优选择是的最优选择是: 所以任何一个参与者都不放钱到机器里所以任何一个参与者都不放钱到机器里. .此时此时博弈博弈).0, 0, 0, 0(m =0.有有唯一的纳什均衡唯一的纳什均衡: : 例例7 “智猪博弈智猪博弈” 猪圈里有两头猪猪圈里有两头猪. 一头大猪，一头小猪，猪圈一头有一头大猪，一头小猪，猪圈一头有一个猪食槽，另一头安装一个按钮控制着猪食的供应一个猪食槽，另一头安装一个按钮控制着猪食的供应. 按按一下按钮会有一下按钮会有10个单位的猪食进槽，但谁按按钮谁需要付个单位的猪食进槽，但谁按按钮谁需要付出出2个单位的的成本个单位的的成本.

32、若大猪先到，大猪吃到若大猪先到，大猪吃到9个单位，小个单位，小猪只能吃到猪只能吃到1个单位；若同时到，大猪吃个单位；若同时到，大猪吃7个单位个单位,小猪吃小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃个单位；若小猪先到，大猪吃6个单位，小猪吃个单位，小猪吃4个单位个单位. 求此博弈的纳什均衡求此博弈的纳什均衡. 解解 5，14，49，-10，0 小猪小猪 按按 等待等待大猪大猪按按等待等待此博弈的收益矩阵：此博弈的收益矩阵：容易求出此博弈的纳什均衡为容易求出此博弈的纳什均衡为:（按，等待按，等待）. 此此 纳什均衡显然是不合理的纳什均衡显然是不合理的. 例如：股份公司中，股东承担着监督经理的例如：股份公司

33、中，股东承担着监督经理的 职能，但股东中有大股东和小股东之分，他们从职能，但股东中有大股东和小股东之分，他们从 现实中类似的现象现实中类似的现象. 监督中得到的收益并不一样，因监督经理是要有监督中得到的收益并不一样，因监督经理是要有 成本的成本的. 在监督成本相同的情况下，大股东从监督在监督成本相同的情况下，大股东从监督 中得到的收益显然小于小股东中得到的收益显然小于小股东. 大股东类似于大股东类似于“大大 猪猪”，小股东类似于，小股东类似于“小猪小猪”. 纳什均衡是纳什均衡是，大股东担当起监督经理的责任，大股东担当起监督经理的责任， 小股东则小股东则搭大股东的便车搭大股东的便车. 股票市场上

34、炒股票的大户和小户的关系，市场股票市场上炒股票的大户和小户的关系，市场 上大企业和小企业的关系也是如此上大企业和小企业的关系也是如此. 命题命题1 在在n个参与者的标准式博弈个参与者的标准式博弈nnuuSSG,;,11中中, ,如果重复剔除严格劣战略剔除掉除如果重复剔除严格劣战略剔除掉除 ),(21nsss外的所有战略，那么这一战略组外的所有战略，那么这一战略组合为该博弈的合为该博弈的唯一唯一 纳什均衡纳什均衡. 两个重要的命题：两个重要的命题：命题命题2 在在n个参与者的标准式博弈个参与者的标准式博弈中，中，如果战略组合如果战略组合 ),(21nsss那么它那么它一定不会一定不会被重复剔除严

35、格劣战略所剔除被重复剔除严格劣战略所剔除. nnuuSSG,;,11是一个纳什均衡，是一个纳什均衡，证明：证明： 首证命题首证命题2 假设战略组合假设战略组合 (反证法反证法). 是标准式博弈是标准式博弈 nnuuSSG,;,11),(21nsss的一个纳什均衡的一个纳什均衡, 且假设且假设被剔除掉了，被剔除掉了，),(21nsss该战略组合中一定有该战略组合中一定有 由重复剔除严格劣战略过程，由重复剔除严格劣战略过程，一个战略一个战略 首先首先被剔除，被剔除， 不妨假设第不妨假设第i个战略个战略is首先首先被被 剔除，剔除， 则在第则在第i个参与者的战略空间个参与者的战略空间 iS中一定存在

36、中一定存在 另一个尚未被剔除的战略另一个尚未被剔除的战略 is严格优于严格优于 . . is代如代如(DS) 公式，得到公式，得到 （111）),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu对每一个其他参与者尚未被剔除的战略空间中可能对每一个其他参与者尚未被剔除的战略空间中可能 形成的战略组合形成的战略组合 ),(111niissss都成立都成立.是纳什均衡是纳什均衡战略战略 is由于由于中中第一个被剔除第一个被剔除的战的战 ),(21nsss略，略，以上纳什均衡战略组合以上纳什均衡战略组合中中其它参与人其它参与人的战略尚的战略尚 未被剔除，未被剔除， 于是上面不等式的于是

37、上面不等式的特例特例，下式成立，下式成立. 但是但是（112）和公式和公式（NE）显然显然是矛盾的是矛盾的. . ),(111niiiisssssu（112）),(111niiiisssssu根据根据(NE), 必须是针对必须是针对 的最优的最优 is),(111niissss反应反应, ,这一矛盾证明了原命题成立这一矛盾证明了原命题成立. .isis 那么就那么就不可能不可能存在一个战略存在一个战略 严格优于严格优于 下证命题下证命题1,1,在证命题在证命题2的过程中的过程中,实际上已证明实际上已证明了了1 1的一部分的一部分. .所需证明的只是如果重复剔除严格所需证明的只是如果重复剔除严格

38、劣战略剔除了除劣战略剔除了除 之外的所有战略，之外的所有战略，),(21nsss该战略组合是纳什均衡该战略组合是纳什均衡. 由命题由命题2任何其它纳什均衡任何其它纳什均衡 必定同样未被剔除，这已证明了在该博弈中必定同样未被剔除，这已证明了在该博弈中均衡均衡 的唯一性的唯一性. 下面只需证明余下的战略组合是下面只需证明余下的战略组合是纳什均纳什均 衡即可衡即可. 为简单为简单假设博弈假设博弈G 是是有限博弈有限博弈. . 用反证法用反证法 假设通过重复剔除严格劣战略剔除掉除假设通过重复剔除严格劣战略剔除掉除 ),(21nsss外的所有战略，该战略不是纳什均外的所有战略，该战略不是纳什均 衡，那么

39、一定有某一参与者衡，那么一定有某一参与者i , ,在他的战略集在他的战略集中存中存 is在在 使公式使公式（NE）不成立，但同时不成立，但同时 又必须是在又必须是在 is剔除过程中某一阶段的严格剔除过程中某一阶段的严格劣战略劣战略. 上述两点的正规表述为：上述两点的正规表述为：iSis中存在中存在 使得使得 （113）),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu并且在参与者并且在参与者i 的战略集中存在的战略集中存在 , ,在剔除过程中在剔除过程中is的某一阶段有的某一阶段有 ),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu（114）对所有其他参与者

40、在该阶段剩余战略可能的战略对所有其他参与者在该阶段剩余战略可能的战略 组合组合 ),(11niissss由于其他参与由于其他参与 都成立都成立.),(11niissss始终未被剔除，于始终未被剔除，于 是是下式下式作为作为(114)的一个特例成立的一个特例成立: ),(111niiiisssssu),(111niiiisssssu（1.1.5）如果如果 ,iissisis(即即 是是 的严格占优战略的严格占优战略), 则则(115)和和(113)相互矛盾相互矛盾，此时证明结束，此时证明结束. . 如果如果,iissis由于由于 在最终被剔除掉了，则在最终被剔除掉了，则 者的战略者的战略一定有其

41、他战略一定有其他战略 在其后在其后严格优于严格优于 . .is is等式等式（114）和和(115)中，分别用中，分别用 isis 这样在不这样在不 和和后不等式仍然成立后不等式仍然成立. . isis换下换下和和明结束，明结束，, iiss再一次，如果再一次，如果则证则证 否则还可构建两个相似的不等式否则还可构建两个相似的不等式. 是是Si中唯一未被剔除的战略，中唯一未被剔除的战略，is由于由于重复这一论证过程重复这一论证过程 （在一个有限的博弈中在一个有限的博弈中）最终一定能完成证明）最终一定能完成证明. 奥古斯汀奥古斯汀古诺古诺(Augustin Cournot)是是19世纪世纪著名的法

42、国经济学著名的法国经济学. .法国经济学强调以数理方法法国经济学强调以数理方法对经济事实进行抽象，这与传统的英国学派重对经济事实进行抽象，这与传统的英国学派重视经验事实视经验事实, ,主张从事实中进行归纳的经验论风主张从事实中进行归纳的经验论风格迥然不同的格迥然不同的. .古诺可以说是法果经济学派的开古诺可以说是法果经济学派的开山鼻祖山鼻祖. .他在他在1838年发表的年发表的对财富理论的数学对财富理论的数学原理的研究原理的研究 (Researches into theMatheMatical Principles of the Theory of wealth), 给出了两个给出了两个企业的

43、博弈均衡的经典式证明，直到今天仍具企业的博弈均衡的经典式证明，直到今天仍具生命力生命力.（平新桥（平新桥微观经济学微观经济学18讲讲167页）页）古诺均衡古诺均衡12 应用举例应用举例 古诺古诺(1838)提出了纳什所定义的均衡提出了纳什所定义的均衡( (但只但只是是在特定的双头垄断模型中在特定的双头垄断模型中)，但是他并没有从理，但是他并没有从理论上系统的定义均衡的意义论上系统的定义均衡的意义. 古诺的研究被为是古诺的研究被为是最早的博弈论的经典文献之一最早的博弈论的经典文献之一.此模型告诉我们；此模型告诉我们； （1）如何对如何对一个问题的非正式描述转化为一一个问题的非正式描述转化为一 个

44、个博弈的标准式表述；博弈的标准式表述；（2）如何通过计算解出博弈的纳什均衡；如何通过计算解出博弈的纳什均衡； （3）重复剔除严格劣战略的步骤重复剔除严格劣战略的步骤. . 古诺的双头垄断模型古诺的双头垄断模型. 令令 和和 分别表示企业分别表示企业1, 2生产的同质的产品生产的同质的产品 1q2q的产的产量，市场中该产品的总供给为量，市场中该产品的总供给为 21qqQQaQP)(令令 表示市场的出清时的价格表示市场的出清时的价格. . 更为精确更为精确一点的表述为当一点的表述为当 时时, ,aQ QaQP)(当当 时，时，aQ , 0)(QP为为 , , iiicqqC)(产每单位品的边际成本

45、为常数产每单位品的边际成本为常数c，这里假设，这里假设 . ac 设企业设企业i 生产生产qi 的总成本的总成本即企业不存在固定成本，且生产即企业不存在固定成本，且生产根据古诺的假定，两个企业同时进行产量决根据古诺的假定，两个企业同时进行产量决 策策. 下面将此问题化为标准式博弈：下面将此问题化为标准式博弈：三个要素三个要素 （1）参与人（企业参与人（企业1 1和企业和企业2）；）；（2）参与人可以选择的战略参与人可以选择的战略,0iiqS（3）针对每一个可能出现的参与人的战略组针对每一个可能出现的参与人的战略组 合，合，每一个参与人的收益每一个参与人的收益. 企业企业 的收益是自己所选战略与

46、其它企业所的收益是自己所选战略与其它企业所 i选战略选战略的函数的函数, ,假定企业假定企业 的收益就是其利润为的收益就是其利润为 i,)(),(),(cqqaqqqssujiijiijii).1, 2(2, 1jiji一对战略一对战略 如是纳什均衡如是纳什均衡, ,则对每个参则对每个参与与 ),(21ss者者 ， 应满足应满足: :iis),(),(jiijiissussu（NE）),(maxjiiSsssuii),(max0jiqqqi上式对上式对 中每一个可选战略中每一个可选战略 都成立，这一条件都成立，这一条件 iSis等价于等价于: : 对每个参与者对每个参与者 , , 必须是下面最

47、优化问必须是下面最优化问 iis题的解题的解,)(max0cqqaqjiiqi最优化问题的一阶条件是对收益函数关于最优化问题的一阶条件是对收益函数关于 求求iiq导，并令其等于零，其解为导，并令其等于零，其解为 )(21cqaqji（121）那么那么, ,如果产量组合如果产量组合 要成为纳什均衡，要成为纳什均衡， ),(21qq企业企业产量选择必须满足：产量选择必须满足：),(2121cqaq)(2112cqaq解这一对方程组得解这一对方程组得 321caqq均衡解小于均衡解小于 , , 满足上面的假设满足上面的假设. . 且两个企业且两个企业 ca 的利润为的利润为 9221)(ca 另外，

48、每家企业当然另外，每家企业当然都希望成为市场的垄断者都希望成为市场的垄断者. .于于 是双方是双方有可能有可能结成联盟！结成联盟！事实上，该博弈的纳什均衡事实上，该博弈的纳什均衡未必立刻未必立刻形成！形成！那么，双方的联盟那么，双方的联盟(双头垄断双头垄断)能否结成呢？能否结成呢？ 设想设想两者达成共同利润最大化和平分市场的两者达成共同利润最大化和平分市场的)(QcaQ协协议议. . 容易求出容易求出利润最大化时利润最大化时的产量为：的产量为：设设Q 为两者的产量和为两者的产量和. 总利润为总利润为 2)(caQ此时两个企业的此时两个企业的最优产量最优产量都为：都为：.21 qqm此时两个企业

49、的利润都为：此时两个企业的利润都为：8)(221ca,4)(21caqq已经求出古诺模型时利润为已经求出古诺模型时利润为 9)(221ca显然，垄断状态时的显然，垄断状态时的产量产量低于低于古诺模型时的古诺模型时的产量，产量，而而利润利润高于高于古诺模型时的利润古诺模型时的利润.但这种安排存在一个问题，但这种安排存在一个问题，有动机偏离它有动机偏离它, ,就是每家企业都就是每家企业都 因为垄断产量较低因为垄断产量较低, 相应的产品相应的产品 的市场出清价格的市场出清价格)(mqp就比较高就比较高. 在这一价格下在这一价格下, 的增加会降低市场出清价格的增加会降低市场出清价格. .每家企业都会倾

50、向于提高产量，每家企业都会倾向于提高产量，而不顾这种产量而不顾这种产量也就是说，也就是说，这种结这种结 盟不能形成！盟不能形成！前提是：前提是：双方都按照垄断产量生产产品双方都按照垄断产量生产产品.因为双方联盟因为双方联盟(双头垄断双头垄断)能结成的能结成的双方是否都会按照垄断产量生产产品呢？或双方是否都会按照垄断产量生产产品呢？或者说双方是否都会遵守协议呢？者说双方是否都会遵守协议呢？下面分析两者是下面分析两者是否会遵守协议决策否会遵守协议决策, , 两者有两种两者有两种战略选择：战略选择：遵守协议遵守协议和和不遵守协议不遵守协议. . 此时，此时，双方又要进双方又要进行博弈行博弈. . 若

51、企业若企业1遵守协议遵守协议, 选择产量选择产量 ,4)(ca2不遵守协议不遵守协议.而企业而企业 根据利润最大化的一阶条件：根据利润最大化的一阶条件：02)4)(222qcacaq企业企业2的产量选择为的产量选择为 ,8)(3ca则企业则企业1和企业和企业2 的的利润分别为利润分别为 和和 ; ;同理同理 32)(32ca 6492)(ca 可得企可得企业业2遵守协议而企业遵守协议而企业1不遵守协议时的利润不遵守协议时的利润于是可建立下列博弈模型：于是可建立下列博弈模型：博弈模型：博弈模型：遵守遵守 不遵守不遵守遵守遵守不遵守不遵守8)(,8)(22caca32)(3,64)(922caca

52、9)(,9)(22caca64)(9,32)(322caca容易求出此博弈的纳什均衡为：容易求出此博弈的纳什均衡为： (不遵守不遵守, 不遵守不遵守). 协议无效协议无效.下面介绍推广的古诺模型下面介绍推广的古诺模型. . 将古诺模型推广到将古诺模型推广到n个企业的情形个企业的情形. . 存在存在n个企业条件下的古诺均衡个企业条件下的古诺均衡. .如果一个行业中存在如果一个行业中存在n个相同的企业，并且个相同的企业，并且 第第(n+1)个个企业会被行业有效地排斥在外，每一企业会被行业有效地排斥在外，每一 个现存企业的成本个现存企业的成本函数相同，即成本为函数相同，即成本为 )0( ),2, 1

53、()(cnjqcqCjj(1)设市场需求（函数）为设市场需求（函数）为 0,0)(1baqbapnjj(2)当然当然 （否则会有问题，后面可以看到）由（否则会有问题，后面可以看到）由ca (1)与与(2)两式易知企业两式易知企业j 的利润为的利润为 所谓所谓古诺均衡古诺均衡, ,便是存在一个产量便是存在一个产量 ),(21nqqq使得每个企业的利润都达使得每个企业的利润都达到最优到最优.jjnjjnjqcqqbaqqq)(),(121（3）)(kjqj必须使必须使(3)式最式最 即当所有别的即当所有别的 kkqq企业的产量企业的产量 时，时，), 2 , 1( , 0njqjj于是有于是有02

54、1cqbbqanjkkj(4)即即., 2, 11njqbcabqnkkj(5)大化大化. 于是令于是令 将这将这n 个式子相加得个式子相加得) 1()(1nbcanqnjjnjjnjjqnbcanqb11)(行业的总产量为行业的总产量为注意到注意到(5)式在均衡时每个企业的产量相等，于是式在均衡时每个企业的产量相等，于是在均衡时每个企业的产量为在均衡时每个企业的产量为 ,) 1(bncaqj价格为价格为 ,) 1()(anbcanap每个企业的利润每个企业的利润 为为 j) 1()() 1()(nbcacncanajjqcp.) 1()(22nbca注意注意: :古诺均衡时古诺均衡时价格和边

55、际成本的差为价格和边际成本的差为：. 0limjn于是于是每个企业的利润每个企业的利润为零为零.也就是说，当企业个数很大时也就是说，当企业个数很大时, 01) 1()(ncancancacp所以所以. 0)(limcpn说明当企业个数无穷多时，即价格会接近说明当企业个数无穷多时，即价格会接近边际边际 成本，成本，也即，当企业个数无穷多时也即，当企业个数无穷多时, , 市场结构会市场结构会 趋于趋于完全竞争完全竞争. .12B 贝特兰德的双头垄断模型贝特兰德的双头垄断模型 贝特兰德贝特兰德(1883)提出企业在竞争时选择提出企业在竞争时选择的是的是产品价格，而古诺模型中选择产量产品价格，而古诺模

56、型中选择产量. 贝特兰德的贝特兰德的双头垄断模型和古诺的双头垄断是两个不同的模双头垄断模型和古诺的双头垄断是两个不同的模型型. 体现在：参与者的战略空间不同，收益函数体现在：参与者的战略空间不同，收益函数不同，并且两个模型中企业的行为不同不同，并且两个模型中企业的行为不同.考虑两种考虑两种同类但不同质同类但不同质的产品（古诺模型中的产品（古诺模型中两个企业的产品完全相同）两个企业的产品完全相同）. . 如果企业如果企业1和企业和企业2 分别选择价格分别选择价格p1和和p2, 消费者对企业消费者对企业i 的产品的需的产品的需 求为求为 ,),(jijiibppappq其中其中 , 0b即只限于即

57、只限于 求函数在现实中并不存在，因为只要企业求函数在现实中并不存在，因为只要企业j的产品的产品企业企业i的产品为企业的产品为企业j产品的替代品的情况产品的替代品的情况(这个需这个需 品的需求都是正的品的需求都是正的). 下面将会看到只有在下面将会看到只有在 价格足够高，无论企业价格足够高，无论企业i 要多高的价格，对其产要多高的价格，对其产 时问题才有意义时问题才有意义). 2b假定企业生产没假定企业生产没有固定成本，有固定成本， 行动（选择各自行动（选择各自的价格）的价格）. ac 并且边际成本为常数并且边际成本为常数c，两个企业是同时两个企业是同时 每个企业的战略空间每个企业的战略空间 ,

58、 0 iS为为其中企业其中企业i 的一个典型的一个典型战略战略si 是所选是所选 择的价格择的价格pi . 每个企业每个企业的收益函数等于其利润额，的收益函数等于其利润额，当企业当企业 i 选择价格选择价格pi 时，其竞争对手选择价格时，其竞争对手选择价格pj 时，企业时，企业i 的利润为：的利润为：)(,(),(cpppqppijiijii那么，价格组合那么，价格组合 ),(jipp业业i ， ip)(cpbppaiji若是纳什均衡，对每个企若是纳什均衡，对每个企 应是以下最优化问题的解：应是以下最优化问题的解：),(max0jiipppi)()(max0cpbppaijipi对企业对企业i 求此最优化问题的解是：求此最优化问题