微分近似计算、中值定理

1、医用高等数学医用高等数学Differential Calculus of One Variable数学教研室数学教研室 徐清华徐清华第二节第二节 导数的运算导数的运算复习：复习：2.2.隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导3.3.对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数0),(yxF1.1.复合函数求导法则复合函数求导法则ddddddyyuxux链式法则链式法则第三节第三节 函数的微分函数的微分复习：复习：4.4.微分的定义微分的定义 ()yAxx

2、 函数是可微的函数是可微的dyAx函数的微分函数的微分( )可可导导可可微微，且且 Afx dxx 自变量的微分自变量的微分d( )dyfxxd( )dyfxx2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则()d uvdudv()d CuCdu 2( )uvduudvdvv ()d uvvduudv第三节第三节 函数的微分函数的微分三、三、微分的几何意义微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,

3、MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 R） 四、四、复合函数的微分复合函数的微分( (微分形式的不变性微分形式的不变性) )是是自自变变量量(1)(1) 若若时时) ), ,( (; ;xdyfx dx (2)(2) 若若时时, ,即即另另一一变变量量的的可可微微函函数数( ),( ), 则则是是中中间间变变量量txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(dxdtt ( ( ) ). .dyfx dx 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)

4、(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 例例5sincos ,xyex求求d . y解：解：dy cos xxdxedxxexxsincossinsin2dxexxxsin2)sin(coscosxsinxdesincosxedxsinsinxedxsinsinxxedx()d uvvduudv练习练习解解2 21 1设设, , 求求. .xxyedy 2 21212(1)(1)xxdyedxxxdx(12 )(12 )2 21 1(21)(21)xxxedxxxe2 21 1（一）计算函数增量的近似值一）计算函数增量的近似值若若在在点点处处的的导导数数且且很很小小时时

5、00( )()0,yf xxfxx 补例补例1 1?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2rA 设设.05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rrrrdAA205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 五、微分在近似计算中的作用五、微分在近似计算中的作用补例补例2 在一直径为在一直径为10cm10cm的金属球表面上镀铜，的金属球表面上镀铜，铜的厚度为铜的厚度为0.005cm0.005cm，问约需用铜多少克？，问约需用铜多少克？（铜的比重为铜的比重为8.98.9克克/cm/c

6、m3 3) )32324 4半半径径为为 的的球球的的体体积积而而4 43 3解解从从,.RVRVR RRRVdVV 24 所以铜的体积为：所以铜的体积为：571005051434005052., VRR代入，得代入，得将将（克）（克）于是镀球需用的铜约为于是镀球需用的铜约为9731398571. （二）计算函数的近似值（二）计算函数的近似值;)(. 10附附近近的的近近似似值值在在点点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf ( (很很小小时时) )x 补例补例3 3计计算算s si in n3 31 1 的的近近似似值值. .o解解

7、000000利利用用sin()sincossin()sincosxxxxx 0 03 30 0, ,1 10 0. .0 01 17 74 45 5, ,6 61 18 80 0 xx sin 31sincos0.5151sin 31sincos0.51516618066180o;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在点点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式( (很很小小时时) )x为为弧弧度度为为弧弧度度（）(1)1;(2)ln(1).(3)sin();(4)tan();(5) 11;xexxxx

8、x xxx xxx 证明证明设设（）(5)( )1,f xx 1( )(1),fxx (0)1,(0).ff xffxf)0()0()( 1. x (P44)计计算算补补例例4 4 1.051.05解解1.051+0.051.051+0.05 由由（1 1）1,1,有有：xx 1 11 10 05 51 1 0 00 05 5 1 10 00 05 52 2 1 10 02 25 5. 利利用用计计算算器器 1.051.0246951.051.024695 比比1 1小得多小得多补例补例5 5.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 .

9、110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 9.995 x( (想想利利用用（1 1）1)1)xx 另解另解335 . 110005 .998)1( .995. 9 0.03(2) e .97. 0 332111000( 1.5)31000 1100.0153x1 13 3( )()f xx 1xex10.03 .)()()(000 xxfxfxxf 0000( )()fxxff 0 00 0 xxxxydy 0()fxx0 00 00 0()() ()( )f xfxxf xx 近似计算的基本公式近似计算的基本公式当

10、当很很小小时时,x 0 0当当 很很小小时时,0,0 xx 000()()()f xxf xfxx第四节第四节 导数的应用导数的应用一、一、 中值定理中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理罗尔定理1AB1C2Cyabx2)(xfy o 若若函函数数满满足足 在在闭闭区区间间上上连连续续 在在开开区区间间可可导导 则则在在内内有有一一点点使使得得至至少少( )1,2( , )3( )( )( , )( )0f xa baRollebf af ba bf 定理2（）（），（）,（）,，一、一、 中值定理中值定理水平切线 注（注（1）: 若罗尔定理的三个条件中有一个若罗尔定理的三个条件中有

11、一个不满足，其结论可能不成立不满足，其结论可能不成立, 2,2yx x ,0,1yx x 条件条件(2)(2)不满足不满足(0)(1)ff0 x 不可导，不可导，没有水平切线没有水平切线，条件，条件(3)(3)不满足不满足没有水平切线没有水平切线sin, yx x 0 x 不可导，不可导，有水平切线有水平切线条件条件(2)(2)不满足不满足注（注（2）：罗尔定理中三个条件是充分而不必要的罗尔定理中三个条件是充分而不必要的 若若函函数数满满足足 在在闭闭区区间间上上连连续续 在在开开区区间间可可导导 则则在在内内有有一一点点使使得得至至少少( )1,2( , )3( )( )( , )( )0f

12、 xa baRollebf af ba bf 定理2（）（），（）,（）,，因因定定理理的的结结论论是是: : 在在内内至至少少有有方方程程0 0的的一一个个根根. .故故常常用用定定理理来来讨讨论论方方程程的的根根的的范范围围. .( , )( )Rollea bfxRolle 只强调存在性 ( )(1)(2)(5)(6)f xxxxx例如，例如，2( )23,( )=0f xxxfx 设设函函数数判判断断有有几几个个根根, ,并并求求出出根根. .(3)(1)xx补例补例1,3 , 1上上连连续续在在 ( 1,3), 在在可可导导( 1)(3)0,ff ( )2(1),fxx )3 , 1

13、(1( , 1 取取( )0f 有有解解2( )23f xxx由由罗罗尔尔定定理理，至至少少有有一一个个（- -），有有1,3( )0f 至多有一个根，至多有一个根， 所以恰有一个根所以恰有一个根类似类似( )(1)(2)(5)(6)(7)f xxxxxx1AB1C2Cyabx2)(xfy oyxoA1Cab1)(xfy 22CB 若若函函数数满满足足 在在闭闭区区间间上上连连续续 在在开开区区间间上上可可导导则则在在内内有有至至少少一一点点使使得得( )1,2( , )( , )( )( )( )f xa ba ba bf bf afbaLagrange 定理1（）（），（）,， ( )(

14、)( )() ( )( )( )()或或 f bf afba 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 几何意义几何意义:连续连续光滑光滑的曲线段一定存在平行于弦的切线的曲线段一定存在平行于弦的切线物理意义物理意义:变速直线运动的物体，至少某一时刻的瞬时变速直线运动的物体，至少某一时刻的瞬时)()(vs等于某时间段的平均速度等于某时间段的平均速度 ( )( ).s bs aba速度速度 ( )( )( )f bf afba 若若函函数数满满足足 在在闭闭区区间间上上连连续续 在在开开区区间间上上可可导导则则在在内内有有至至少少一一点点使使得得( )1,2( , )( , )( )( )( )f xa

15、ba ba bf bf afbaLagrange 定理1（）（），（）,， ( )( )( )() ( )( )( )()或或 f bf afba ,),()(内内可可导导在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成有限增量公式有限增量公式如如果果函函数数在在内内可可导导，且且 0 0，则则. .推推论论1 1 ( )( , )( )( )f xa bfxf xC 如如果果函函数数在在内内可可导导, , 推推论论2 2 且且 则则有有 ( ( 为为常常数数).).( ), ( )( , )( )(

16、),( )( )f xg xa bfxg xf xg xC C 例例1 1).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证) 1 , 1(,arccosarcsin)(xxxxf设)11(11)(22xxxf . 0 ) 1 , 1(,)(xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx.1时，等式成立当x例例2 2.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当 若若函函数数满满足足 在在闭闭区区间间上上连连续续 在在开开区区间间上上可可导导则则在在内内有有至至少少一一点点使使得得( )1,2( , )( , )( )( )( )f xa ba ba bf bf afbaLagrange 定理1（）（），（）,， ( )( )( )() ( )( )( )()或或 f bf afba 例例2 2.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设( )0, ,f xx在在上上满满足足LagrangeLagrange定定理理的的条条件件)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1