z变换的收敛域A

1、 7.3 z7.3 z变换的收敛域变换的收敛域 主要内容主要内容收敛域的定义收敛域的定义两种正项级数收敛性的判别方法两种正项级数收敛性的判别方法几种常见序列的几种常见序列的z z变换收敛域问题变换收敛域问题一、收敛域的定义一、收敛域的定义收敛的所有收敛的所有z z 值之集合为收敛域。（值之集合为收敛域。（Region of convergence简称简称ROC） nnznxzX)()(对于任意给定的序列对于任意给定的序列x(n)x(n)，能使，能使与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换与拉氏变换的情况类似，对于单边变换，序列与变换式惟一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换式惟一对应

2、，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同一个变换式。下面举例说明以上情况。一个变换式。下面举例说明以上情况。例例1 1：已知两序列分别为：已知两序列分别为x x1 1(n)=a(n)=an nu(n)u(n)，x x2 2(n)=-(n)=-a an nu(-n-1)u(-n-1)，分别求它们的，分别求它们的z z变换，并确定它们变换，并确定它们的收敛域。的收敛域。如果如果|z|a, |z|a, 则上面的级数收敛，这样得到则上面的级数收敛，这样得到1101( )1nnnzX za zzaazza1101()

3、nnnnna za z 1111zzaa z za解：解：011)()(nnnzanxZTzX122)()()(nnnzanxZTzX 由上可知，不同的由上可知，不同的x(n)x(n)的的z z变换，由于收敛域不同，变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的可能对应于相同的z z 变换，故在确定变换，故在确定z z变换时，必须指变换时，必须指明收敛域。在收敛域内，明收敛域。在收敛域内，z z变换及它的各阶导数是连续变换及它的各阶导数是连续函数。也就是说，函数。也就是说，z z变换函数是收敛域内每一点上的解变换函数是收敛域内每一点上的解析函数。析函数。 根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满根据级数

4、的理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即要求足绝对可和条件，即要求 可以用两种方法求级数的收敛域可以用两种方法求级数的收敛域比值判定比值判定法和根值判定法。法和根值判定法。nnznx|)(|1 1）比值判定法）比值判定法nnnaa1lim。不能肯定不能肯定级数发散级数发散级数收敛级数收敛, 1, 1, 1 所谓比值判定法就是说若有一个正项级所谓比值判定法就是说若有一个正项级数数 ，令它的后项与前项的比值等于，令它的后项与前项的比值等于 ，即，即nna 二、两种正项级数收敛性的判别方法二、两种正项级数收敛性的判别方法nnnalim2) 2) 根值判定法根值判定法。不能肯定不能肯定级数发散

5、级数发散级数收敛级数收敛, 1, 1, 1 所谓根值判定法，是令正项级数一般项的所谓根值判定法，是令正项级数一般项的n n次次根等于根等于下面利用上述判定法讨论几类序列的下面利用上述判定法讨论几类序列的z z变换收敛域问题变换收敛域问题1 1、 有限长序列（有始有终序列）有限长序列（有始有终序列）这类序列只在有限的区间具有非零的有限值这类序列只在有限的区间具有非零的有限值 此此时时z z变换为变换为12()n n n 当当 时，时，收敛域为收敛域为120,0nn0z当当 时，时，收敛域为收敛域为120,0nnz 当当 时，时，收敛域为收敛域为 120,0nn0z nn2n1x nXX三、几类序

6、列的收敛域三、几类序列的收敛域2121)()(nnnznxzXnnnn 2 2、右边序列、右边序列: :只在只在 区间内，有非零的有限值的区间内，有非零的有限值的序列序列1nn )(nxnnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx其中其中 为收敛半径为收敛半径. .可见可见, ,右边序列的收敛域是半右边序列的收敛域是半径径 的圆外部分。的圆外部分。 1xR1xR(1) n(1) n1 10 0 0 n n2 2=1xRz 1xzRnnznxzXnnn11)()(1xRz 因果序列是一种特殊的右边序列，收敛域为因果序列是一种特殊的右边序列，收敛域为1

7、xzR 3 3、左边序列：只在、左边序列：只在 区间内，有非零的有限值区间内，有非零的有限值的序列的序列2nn )(nx22)()(nnznxzXnnn22)()()(nnnmnnmmnmznxzmxzX2)(lim1)(lim1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx可见，左边序列的收敛域是半径为可见，左边序列的收敛域是半径为R Rx2x2的圆内部分。的圆内部分。 (1)n(1)n1 1=-=- n n2 200(2)n(2)n1 1=-=- n n2 20a, b0, a0ba, b0, a0）。）。解：解：12 1 nnx na u nb u nx nx n 11( ) ()nnzX zx n zzaza22( ) ()nnzX zx n zzbz b由例由例1 1的结果可直接得到：的结果可直接得到：因为因为ba, ba, 这样得到这样得到122 ()2( )( )( )()()a bz zzzX zX zXzzaz bza z bazb2 ()2( )()()a bz zX zz a z bazbRe(z)Re(z)jIm(z)jIm(z)ab思考题思考题 1. 1. 不