概率论与数理统计(2.3 随机变量的分布函数与连续型随机变量

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一1第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 与连续型随机变量与连续型随机变量分布函数的定义及其性质分布函数的定义及其性质连续型随机变量的定义及其概率密度的性质连续型随机变量的定义及其概率密度的性质几种重要的连续型随机变量几种重要的连续型随机变量 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一2一、分布函数的定义及性质由于1221()()()P xXxP XxP Xx为此我们引入随机变量的分布函数的概念如下：定义： 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数( )()F xP Xx称为随机变量X的分布函数分布函数。从而1

2、221()()()P xXxP XxP Xx21()()F xF x也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意一个区间的概率。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一3不加证明地给出分布函数的一些性质:(1)(单调性) 对于任意实数 ，有1212,()x xxx12()()F xF x(2)(有界性)0( )1, lim( )0, lim( )1xxF xF xF x(3)(右连续性)00lim( )()xxF xF x() FP X不可能事件() FP X必然事件返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一4例：例：若随机变量X的分布律为12341111

3、4288kXp则随机变量X的分布函数为( )F x1x0,12x1 ,P X23x12P XP X34x123P XP XP X4 x1234P XP XP XP X返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一5即0,1,1,12,43( ),23,47,34,81,4.xxF xxxx分布函数的图像如下： 分布函数的图像是一个右连续的阶梯形。且在间断点处的跳跃值等于X取这个值的概率。例如 )F xx311(2)442P X 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一6二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 定义：设F(x)是随机变量

4、X的分布函数，若存在非负可积函数f(x),使得对任意实数x，有( )( )dxF xf tt称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，或密度函数，也称概率密度。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一7 性质：1.( )0f x 2.( )d1f x x从图形上来看，性质1表示X的概率密度f(x)位于x轴上方， 性质2表示f(x)与x轴所围区域面积等于1.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一8 3.对于任意实数 ，有1212,()x xxx211221()()()( )dxxP xXxF xF xf xx从图形上来看，性质3表示X落在区域 的概

5、率等于相应的曲边梯形的面积。12( ,x x 4.若f(x)在点x处连续，则( )( )F xf x对于连续型随机变量X 来说，通过F(x)求导得f(x) ，通过f(x)积分得F(x)。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一9 5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零 即00P Xx由性质5，易得：121212()()()P xXxP xXxP xXx2112()( )dxxP xXxf xx注：对离散型随机变量，上式不成立。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一10例：例：若随机变量X的概率密度为2(42),02,( )0,Cxxxf x其它.(1

6、)求C的值； (2)X的分布函数；(3)PX1.解：解：(1)由于 ，有( )d1f x x220(42)d1Cxxx得38C 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一11(2)由 ，有( )( )dxF xf tt202200200d ,0,3( )0d(42)d ,02,830d(42)d0d ,2.8xxxxxF xxxxxxxxxxxx230,0,31( ),02,441,2.xF xxxxx即分段分段讨论讨论返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一12(3)1P X1( )df xx2213(42)d8xxx12111111(1)122P XP X

7、F 或返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一13几种常见的连续型随机变量的分布几种常见的连续型随机变量的分布一、均匀分布一、均匀分布定义：若连续型随机变量X的概率密度为1,( )0,axbf xba其它.则称X服从 上的均匀分布。, a b记为,XU a b 意义：意义：X“等可能等可能”地取区间地取区间 中的值，这里的中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为： X落在区间落在区间 中中任意等长度任意等长度的子区间内的可能的子区间内的可能性是相同的。即等长度，等概率。性是相同的。即等长度，等概率。, a b, a b1()d, , , dcdcP cXdxc da bb

8、aba返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一14均匀分布的概率密度和分布函数图形如下：0,( ),1,.xaxaF xaxbbaxb分布函数：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一15 例：例：设某公共汽车站从早上7:00开始每隔15分钟到站一辆汽车，即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车达到此站如果一个乘客到达该站的时刻服从7:00到7:30之间的均匀分布求他等待时间不超过5分钟的概率 解：解：设X表示乘客到达该车站的时间，则0,30XU 乘客等待时间不超过5分钟当且仅当他在7:10到7:15之间或在7:25到7:30之间到达车站 因此所

9、求概率为10152025PXPX1,030,( )300,xf x其它.1525102011dd3030 xx13返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一16设在-1，5上服从均匀分布，求方程2210 xx 有实根的概率。解 方程有实数根 2440即 1而 的密度函数为 1 ( 15)( )60 xf x 其它故所求概率为 1121( )( )3Pf x dxf x dx返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一17二、指数分布二、指数分布定义：若连续型随机变量X的概率密度为e,0,( )0,0.xxf xx其中 0,则称X服从参数为的指数分布。 记为 XE(

10、) 背景：在实际应用中，到某个特定事件发生所需等待的时间在实际应用中，到某个特定事件发生所需等待的时间往往服从指数分布例如，从现在开始到下一次地震发生、到爆往往服从指数分布例如，从现在开始到下一次地震发生、到爆发一场新的战争、到一个元件的损坏、到你接到一次拨错号码的发一场新的战争、到一个元件的损坏、到你接到一次拨错号码的电话等所需的时间，都服从指数分布指数分布在排队论、保险电话等所需的时间，都服从指数分布指数分布在排队论、保险和可靠性理论中有广泛的应用和可靠性理论中有广泛的应用返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一18分布函数：1 e,0,( )0,0.xxF xx 例：例

11、：设某人到银行取款时的排队时间X (分钟)服从指数分布，其概率密度为110e,0,( )0,0.xxf xx1.试确定常数;2.计算排队时间超过10分钟的概率;3.计算排队时间在10分钟到20分钟的概率返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一19 解：解：1.由1100( )ded101xf x xx得：110 2.10P X110101ed10 xx1e 3.1020PX12010101ed10 xx12ee返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一20例：例： 设连续型随机变量的分布函数为1.求常数A,B；2. 求X的概率密度函数 。e( ),xA BxF

12、 xx 2000， 解：解：1.由分布函数的性质：()F 1即1)e(lim2xxBA所以1A又因为F(x)在点x=0处连续 (事实上连续型随机变量的分布函数在任意点连续)， 所以lim( )( )xF xF00BA0即所以1B返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一21从而分布函数为e( ),xxF xx 21000， 2.由密度函数和分布函数之间的关系 ，有)()(xFxf2e( ),xxf xx2000，返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一22指数分布的无记忆性：对于一个非负的随机变量，如果对于一切s,t0，有|P Xst XtP Xs则称这个随机

13、变量具有无记忆性无记忆性。 直观理解：若X表示仪器的寿命，那么上式说明:已知此仪器已使用t时，它总共能工作s+t小时的概率等于从开始使用时算起，它至少能工作s小时的概率 也就是说：它对之前工作过t小时无记忆。容易验证：指数分布是无记忆的。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一23三、正态分布三、正态分布定义：若连续型随机变量X的概率密度为22()21( )e,2xf xx 其中， 为常数,则称X服从参数为和 的正态分布2(0)2记为2( ,) XN 正态分布正态分布最早由最早由Gauss在在研究测量误差时所得到，所以正态分布研究测量误差时所得到，所以正态分布又称为又称为Ga

14、uss分布分布。正态分布是正态分布是概率概率论论中最具有应用价值的分布之一，大量的随机变中最具有应用价值的分布之一，大量的随机变量都服从正态分布量都服从正态分布 如人的身高、体重，气体分子向任一方向运如人的身高、体重，气体分子向任一方向运动的速度，测量误差等许多随机变量，都服从正态分布动的速度，测量误差等许多随机变量，都服从正态分布大量相互独立且有相同分布的随机变量的累积也近似服从正态分大量相互独立且有相同分布的随机变量的累积也近似服从正态分布（第四章的大数定律和中心极限定理）布（第四章的大数定律和中心极限定理）返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一24x( )fxaa1(

15、 )2f 正态分布的图形具有如下特点：1. f(x)为关于x=的对称钟形曲线2. f(x)为在x=取得最大值，对概率密度曲线的影响返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一25正态分布的分布函数：22()21( )ed2txF xt特别地，当 时，20,1称X服从标准正态分布。记为(0,1)XN其概率密度为：221e,2( )xxx 221ed2()txtx相应的分布函数记为：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一26()1( )xx 1(0)2(0,1)XN若( )( )P aXbba （）则( )P Xbb （）1( )P Xaa （）12PX（）1P

16、X （）(1)( 1)2 (1) 10.6826 (2)(1)0.97720.84130.1359( 1)1(1)1 0.84130.1587 1P X （）例：例：若(0,1)XN返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一27一般正态分布的标准化2( ,),( )xXNF x 如果则定理：()()()baP aXb 2( ,)XN 若查标准正查标准正态分布表态分布表概率计算：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一28例：例：若2(3,3 )XN，试求：1.25 ; 2.0 ; 3.36 .PXP XP X解：解：1.25PX2133 21133 0.748

17、6(10.6293)0.37792.0P X 10P X 1( 1) (1) 0.84133.36P X 93P XP X 193P XP X 1(2)( 2) 21(2)2(1 0.9972)0.0456返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一291.5, 4 ,XN设 试计算3P X 解：解：313P XP X 3 1.53 1.5122 10.752.25 20.77340.98780.2388133PX 133FF 10.7512.25 2 13F返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一30例例： 某零件宽度20.9000, 0.0030,XN现规定限度是0.90000.0050. （1）求零件的废品率。 （2）若要求每 100 个产品中废品不多于一个，可允许的最大 值是多少？解：解：（1）正品率0.90000.0050P X 000.00502190.440.0030 （2）设废品率0.01,p 0.0050210.99 即正品