机械系统动力学绪论

1、机械动力学机械动力学第一章第一章 绪论绪论1 11 1机器动态性能机器动态性能广义讲：动刚度 动精度 热稳定性习惯讲：动力特性 动刚度具体讲：抵抗振动的能力抗振性 加工质量稳定性 切削效率1-11 12 2 机械动力学的基本内容机械动力学的基本内容屈维德说：振动设计、系统识别振动设计、系统识别和和环境预测环境预测三三 者可概括为现代机械动力学研究者可概括为现代机械动力学研究 的基本内容的基本内容1.1.振动设计（动态设计）：已知振动设计（动态设计）：已知激励激励，规定，规定 响应响应要求，设计要求，设计系统系统的振动特性的振动特性 又称动力学的又称动力学的逆问题逆问题 反复试凑修改的过程反复试

2、凑修改的过程1-22.2.系统识别：已知系统识别：已知激励激励，给定，给定系统系统，测试，测试响应响应 用测试数据与数学分析相结合方用测试数据与数学分析相结合方 法确定振动系统数学模型法确定振动系统数学模型 已知机械结构运动方程一般形式时，系已知机械结构运动方程一般形式时，系 统识别简化为统识别简化为参数识别参数识别 又称动力学的又称动力学的正问题正问题 系统识别属动力分析范围系统识别属动力分析范围 动力分析研究三方面问题：动力分析研究三方面问题： 固有特性问题（系统识别固有特性问题（系统识别 参数识别）参数识别） 动力响应问题动力响应问题 动力稳定性问题动力稳定性问题1-3 3. 环境预测：

3、已知环境预测：已知系统系统（特性）、（特性）、响应响应 ， 研研 究究 激激 励励（振源分析（振源分析 故障诊断）故障诊断） 1 13 3动态问题的特点动态问题的特点 1. 1.振动学科：物理或力学分枝振动学科：物理或力学分枝 基础学科基础学科 解解 决工程中动力学问题决工程中动力学问题-工程学科工程学科-振动振动 工程工程 2.2.振动工程：解决工程中动态问题振动工程：解决工程中动态问题 3.3.动态问题：动态载荷作用于动态系统，构动态问题：动态载荷作用于动态系统，构 成动态问题成动态问题 1-4 4. 4. 动态载荷：迅速变化（交变动态载荷：迅速变化（交变 突变）的载突变）的载荷荷 5.

4、5. 工程中许多问题必须作为动态问题处理工程中许多问题必须作为动态问题处理 6. 6. 动态问题的特点动态问题的特点 a. a. 复杂性：载荷作用的复杂性：载荷作用的“后效性后效性” ” 响应响应 对过去载荷经历的对过去载荷经历的“记忆性记忆性”静载荷静变形与加载过程无关1-5b.b.危险性：共振现象危险性：共振现象 自激振动（颤振）自激振动（颤振）c.c.超常性：其现象、规律及防治方法超越生活超常性：其现象、规律及防治方法超越生活 常识常识 （削边镗杆（削边镗杆 动力减振器）动力减振器） 先有严谨完善理论后有工程应用先有严谨完善理论后有工程应用参考书参考书昆明工学院昆明工学院机床动力学机床动

5、力学 清华大学清华大学 机械振动机械振动S SA ATOBAISTOBAIS机床动力学机床动力学WILLIAM T.THOMSONWILLIAM T.THOMSONTheory of Vibration with ApplicationsTheory of Vibration with Applications师汉民等师汉民等机械振动系统机械振动系统1-61 15 5 振振 动动 的的 控控 制制一一. . 振动控制实现途径振动控制实现途径 1. 振动工程重要分支振动工程重要分支 出发点和归宿出发点和归宿 2. 振动控制：振动控制： 利用利用 抑制抑制3. 振动控制的五个环节振动控制的五个环节

6、(1). 确定振源特征：振源位置确定振源特征：振源位置 激励特性激励特性 振动特征：受迫振动特征：受迫 自激振动自激振动(2) 确定振动控制水平确定振动控制水平: 衡量振动水平的指标（位移衡量振动水平的指标（位移 速度速度 加速度加速度 应力）应力） 量（最大值量（最大值 均方根值）均方根值）(3) 确定振动控制方法：隔振确定振动控制方法：隔振 吸振吸振 阻振阻振 消振消振 结构修改结构修改(4) 振动分析与设计：建立受控对象和控制装置的力学模型，振动分析与设计：建立受控对象和控制装置的力学模型， 设计控制装置参数和结构设计控制装置参数和结构 控制装置：吸振器控制装置：吸振器 隔振器隔振器 阻

7、尼器等阻尼器等 (5) 实现实现1-7机床的振源分析框图机床的振源分析框图1-8 二二. 振动控制的分类振动控制的分类1. 按不同性质的振动分按不同性质的振动分(1) 动力响应的控制：受迫振动的控制（共振）动力响应的控制：受迫振动的控制（共振）(2) 动力稳定性的控制：自激振动的控制动力稳定性的控制：自激振动的控制 2. 按不同抑制振动手段分（按不同抑制振动手段分（5种）种） (1) 消振：消除或减弱振源（治本）消振：消除或减弱振源（治本） 动平衡方法消除质量不平衡引起的离心力及力矩动平衡方法消除质量不平衡引起的离心力及力矩 车刀颤振车刀颤振 冷却剂减少车刀后刀面与工件间磨擦力冷却剂减少车刀后

8、刀面与工件间磨擦力 （ 破坏产生颤振的条件）破坏产生颤振的条件） 抵消振动：由控制引起的振动抵消未加控制的原振动抵消振动：由控制引起的振动抵消未加控制的原振动 (2) 隔振：振源与受控对象之间串加一个子系统隔振：振源与受控对象之间串加一个子系统 (3) 吸振：动力吸振吸振：动力吸振-受控对象上附加一个子系统受控对象上附加一个子系统1-9 (4) 阻振：阻尼减振阻振：阻尼减振-受控对象上附加阻尼器或阻尼元件（消受控对象上附加阻尼器或阻尼元件（消 耗能量）耗能量） (5) 结构修改：修改受控对象的动力学特征参数（质量结构修改：修改受控对象的动力学特征参数（质量 刚度刚度 阻阻 尼参数）尼参数） 实

9、际存在的受控对象：结构修改问题实际存在的受控对象：结构修改问题 设计阶段的受控对象：动态设计问题设计阶段的受控对象：动态设计问题3. 按是否要能源分按是否要能源分 (1) 无源控制：被动控制无源控制：被动控制 (2) 有源控制：主动控制有源控制：主动控制1-10三、振动主动控制三、振动主动控制1. 两类控制方式：开环两类控制方式：开环 闭环闭环 开环控制开环控制 闭环控制闭环控制 开环控制：控制器中的控制规律是预先设置好，与振动状开环控制：控制器中的控制规律是预先设置好，与振动状 态无关态无关 闭环控制：控制器按受控对象的振动状态为反馈信息而工作闭环控制：控制器按受控对象的振动状态为反馈信息而

10、工作2. 振动主动控制系统的组成振动主动控制系统的组成(1) 受控对象：控制对象（产品受控对象：控制对象（产品 结构或系统的总称）结构或系统的总称）(2) 作动器：又称作动机构。提供作用力（或力矩）的装置作动器：又称作动机构。提供作用力（或力矩）的装置 1-11 直接施加在受控对象或通过附加子系统作用受控对象直接施加在受控对象或通过附加子系统作用受控对象 常用作动器：伺服液压式常用作动器：伺服液压式 伺服气动式伺服气动式 电磁式电磁式 电动式电动式 电压式电压式 (3) 控制器：核心环节控制器：核心环节 实现所需的控制律实现所需的控制律 其输出是驱动作其输出是驱动作 动器动器 动作的指令动作的

11、指令 开环：其输入是按程序预先设置开环：其输入是按程序预先设置 闭环：其输入通过测量系统感受受控对象的振动信息闭环：其输入通过测量系统感受受控对象的振动信息 控制律：模拟电路控制律：模拟电路-模拟控制模拟控制 数字计算机数字计算机-数字控制数字控制(4) 测量系统：振动信息转换并传输到控制器（传感器测量系统：振动信息转换并传输到控制器（传感器 适调器适调器 放大器放大器 滤波器）滤波器）(5) 能源：为作动器提供外界能量（液压油源能源：为作动器提供外界能量（液压油源 气源气源 电源）电源）(6) 附加子系统：有些系统没有附加子系统：有些系统没有1-123. 两类振动主动控制问题两类振动主动控制

12、问题: 动力响应的主动控制动力响应的主动控制 动稳定性的主动控制动稳定性的主动控制四、振动主动控制的应用简介四、振动主动控制的应用简介1. 二十世纪20年代 电磁阀控制的缓冲器（雏型）2. 1960年前后 出现复杂振动主动控制系统-解决航空工程的振动问题 59年对B52型飞机机身侧向弯曲模态进行主动控制 美国空军飞行动力实验室两项结构模态控制的研究，一项66年开始“载荷减轻与模态镇定” 另一项67年开始“突风减缓与结构动力增稳系统”为飞机颤振主动抑制的研究创造了条件3. 1971年9月止,B-52G、H型飞机都装上了抑制低频结构模态振动的系统.4. 1980年振动主动控制的研究从航空工程扩展到

13、其它工程领域航天工程领域：大柔性结构(大型天线 太阳能电池板 空间站)其模态频率低且密集、阻尼 小 在太空运行时,一旦受外干扰,大幅度的自由振动要延续很长时间.由此 提出许多主动控制的新方案.机械工程领域：采用主动控制技术消除柔性机器人臂在终端位置处的振动 抑制挠性转轴通过临界转速的主动控制研究,是当今转子动力学研究热点交通运输工程领域：车辆主动隔振、半主动隔振方面,已研制出主动支承元件.1-13五、振动主动控制的近期新进展五、振动主动控制的近期新进展1. 受控对象与控制器的联合优化设计受控对象与控制器的联合优化设计有三种不同的解法：有三种不同的解法： (1)串行串行(顺序顺序)解法：受控结构

14、优化与控制器优化设计分成两个解法：受控结构优化与控制器优化设计分成两个”独立独立”阶段进行阶段进行.在在 完成一次循环迭代后完成一次循环迭代后,与前一次循环迭代结果进行比较与前一次循环迭代结果进行比较,以决定需再从哪个阶段以决定需再从哪个阶段 进行设计进行设计. (2)并行并行(同时同时)解法：受控结构与控制器设计参数都等同地视为设计变量解法：受控结构与控制器设计参数都等同地视为设计变量,同时进同时进 行优化行优化. (3) 多级分解的一体化设计方法：把整个优化过程分为系统级和子系统级的优化多级分解的一体化设计方法：把整个优化过程分为系统级和子系统级的优化1-142. 新型作动器及其它主动元件

15、新型作动器及其它主动元件作动器是影响主动控制实现的重要环节作动器是影响主动控制实现的重要环节.目前重点在对不需要固定基础目前重点在对不需要固定基础的轻型作动器的研究的轻型作动器的研究 。主要有反作用式作动器。主要有反作用式作动器 压电陶瓷压电陶瓷 形状记忆合形状记忆合金金 电电/磁致伸缩材料磁致伸缩材料 电流变液等构成的作动器或主动元件。电流变液等构成的作动器或主动元件。(1) 反作用式作动器反作用式作动器 控制作动器中某一部件的运动控制作动器中某一部件的运动,使其产生的反作用力作用于受控对象使其产生的反作用力作用于受控对象, 以控制受控对象的振动水平以控制受控对象的振动水平. 对线位移振动对

16、线位移振动 有惯性质量型作动器有惯性质量型作动器 角位移振动角位移振动 有反作用轮型作动器有反作用轮型作动器(Reaction wheel)(2) 压电式作动器压电式作动器 压电式作动器利用压电材料的逆压电效应压电式作动器利用压电材料的逆压电效应,通过施加外部电场通过施加外部电场,将电能将电能 转换成机械能的装置。转换成机械能的装置。 压电材料有：压电陶瓷压电材料有：压电陶瓷 压电高分子材料压电高分子材料(聚氟乙烯聚氟乙烯 聚偏氟乙烯聚偏氟乙烯) 它它 们们 均可制成任意形状均可制成任意形状,易于与其它材料复合易于与其它材料复合 应用范围：应用范围： 柔性结构柔性结构 天线天线 柔性机器人手臂

17、的振动与形状控制中柔性机器人手臂的振动与形状控制中;作作 为自适应智能结构的作动器为自适应智能结构的作动器 ; 1-15(3) 形状记忆材料作动形状记忆材料作动 形状记忆效应（形状记忆效应（Shape Memory Effect SME）指某些具有热弹性或应力诱发马氏体）指某些具有热弹性或应力诱发马氏体相变的材料处于马氏体状态，并进行一定限度的变形后，在随后加热并超过马氏体相变的材料处于马氏体状态，并进行一定限度的变形后，在随后加热并超过马氏体相消失温度时，材料能完全恢复到变形前的形状和体积。相消失温度时，材料能完全恢复到变形前的形状和体积。 经过处理经过处理,材料能记忆其在相变材料能记忆其在

18、相变 前后前后 的形的形 状状. 可加工成片材、可加工成片材、 丝线、薄膜，丝线、薄膜， 特别是产生大的应力或应特别是产生大的应力或应 变变 包括形状记忆合金包括形状记忆合金(NiTi CuZnAl CuAlNi最具实用价值最具实用价值)。 应用范围：低频振动的控制应用范围：低频振动的控制 (形状记忆材料响应慢形状记忆材料响应慢) 1-16(4) 磁致伸缩材料作动器磁致伸缩材料作动器 磁致伸缩材料在外加磁场的作用下磁致伸缩材料在外加磁场的作用下,其尺寸、体积等会发生改变其尺寸、体积等会发生改变, 能提供较大能提供较大 控制力控制力,并且在低压电流产生的磁场中具有很好的线性度和电场变化的响应能力

19、并且在低压电流产生的磁场中具有很好的线性度和电场变化的响应能力. 如纯镍如纯镍 NiFe NiCo等等 应用范围：高精度微幅隔振和自适应结构应用范围：高精度微幅隔振和自适应结构(5) 电流变流体电流变流体 由不导电流体和细小的悬浮状可极化的粒子组成由不导电流体和细小的悬浮状可极化的粒子组成.在通电状况下在通电状况下 在极短的在极短的 时间时间 内内,粒子极化粒子极化,液体变成固体液体变成固体,悬浮粒子极化形成很强的静电引力链悬浮粒子极化形成很强的静电引力链,这这 种链即使断开种链即使断开,仍能重新结合起来。当电场撤消后仍能重新结合起来。当电场撤消后,材料又恢复液态材料又恢复液态 玉米油中加入玉

20、米淀粉玉米油中加入玉米淀粉 矿物油中加入硅胶矿物油中加入硅胶 变压器油中加入纤维素变压器油中加入纤维素 硅油硅油 中加入沸石都可形成电流变流体中加入沸石都可形成电流变流体. 我校研究的电流变流体减振器采用由聚苯胺我校研究的电流变流体减振器采用由聚苯胺/钛酸钡纳米复合粒子与降粘的钛酸钡纳米复合粒子与降粘的 甲基硅油组成的电流变流体甲基硅油组成的电流变流体 应用范围应用范围: 用于自适应结构用于自适应结构. 灌入某些重要结构中灌入某些重要结构中,使结构受到冲击时能使结构受到冲击时能 自自 动加固动加固,能减振和防断裂能减振和防断裂 可控型动态阻尼器可控型动态阻尼器 智能材料：智能材料： 压电材料压

21、电材料 形状记忆材料形状记忆材料 磁致伸缩材料磁致伸缩材料 电流变流体统称智能电流变流体统称智能 材料材料 目前正尝试将几种材料复合在一起成最佳性能组合目前正尝试将几种材料复合在一起成最佳性能组合 智能结构：集智能传感元件、智能作动元件、微型计算机控制芯片于一智能结构：集智能传感元件、智能作动元件、微型计算机控制芯片于一 体的结构体的结构1-17第二章第二章 振动分析基础振动分析基础21 概述概述 振动分析的研究思路：振动分析的研究思路：一一 动力学模型动力学模型 任何实际的振动系统是无限复杂的任何实际的振动系统是无限复杂的,为了便于分析为了便于分析,要作简化要作简化,在简化的基础上在简化的基

22、础上 建立建立 动力学模型动力学模型 振动系统的力学模型由三种理想化元件组成：质量振动系统的力学模型由三种理想化元件组成：质量m 阻尼阻尼c 弹性弹性k 系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、计算条件系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、计算条件 实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量、刚度、阻尼线性化处理实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量、刚度、阻尼线性化处理 对其分布规律作离散化处理对其分布规律作离散化处理 动力学模型采用的正确与否要由实践检验动力学模型采用的正确与否要由实践检验 动力学模型分三类：动力学模型分三类： a 集中参数模型集中参数模型(常微分方程

23、常微分方程) b 有限元模型有限元模型 (常微分方程常微分方程) c 连续弹性体模型连续弹性体模型 (偏微分方程偏微分方程) 1-18EIPl3333lEIk 33lEIk 1弹性元件：只有弹性弹性元件：只有弹性,无惯性、阻尼无惯性、阻尼 (理想化元件理想化元件) 弹簧所受外力弹簧所受外力Fx是位移是位移x的函数：的函数：Fx =f(x) 在线性范围内在线性范围内Fx =kx (对弹簧的线性化处理对弹簧的线性化处理) 通常假定弹簧没有质量通常假定弹簧没有质量 若：若： 弹簧质量相对小弹簧质量相对小,可忽略可忽略 弹簧质量相对较大弹簧质量相对较大,一定要处理一定要处理实际工程结构中许多构件实际工

24、程结构中许多构件 在一定范围内所受作用力在一定范围内所受作用力 与变形是线性关系与变形是线性关系,可作线性弹性元件处理可作线性弹性元件处理. 例例 图示悬臂梁图示悬臂梁 根据材力根据材力P与变形与变形的关系的关系 杆长杆长 E 材料弹性模量材料弹性模量 I 抗弯截面惯性矩抗弯截面惯性矩 设设 则则 P=k 因此悬臂梁相当一个刚度为因此悬臂梁相当一个刚度为 的线性弹簧的线性弹簧 1-19GJML 角振动系统：弹簧为扭转弹簧角振动系统：弹簧为扭转弹簧 M=k M 外力矩外力矩 转角转角 k刚度刚度 扭振系统扭振系统 G轴材料剪切模量轴材料剪切模量 J 轴截面极惯性矩轴截面极惯性矩 M扭矩扭矩 因此

25、因此 扭转刚度扭转刚度 ： 从能量角度：弹性元件不消耗能量从能量角度：弹性元件不消耗能量,而是以势能方式贮存能量而是以势能方式贮存能量. 等效刚度：复杂弹性元件组合形式等效刚度：复杂弹性元件组合形式,可用等效弹簧取代可用等效弹簧取代 等效弹簧的刚度等效弹簧的刚度 用等效刚度用等效刚度 表示表示(等于组合弹簧的刚度等于组合弹簧的刚度)并联弹簧：并联弹簧： 比各组成弹簧比各组成弹簧”硬硬” 共位移共位移 串联弹簧：串联弹簧： 比各组成弹簧比各组成弹簧”软软” 共力共力 确定弹性元件组合方式是确定弹性元件组合方式是”并联并联”还是还是”串联串联”关键看是关键看是”共位移共位移”还是还是”共共力力”1

26、-20见下例：见下例： 例例1 a. 两弹簧共位移两弹簧共位移(x) 并联并联 b. 两弹簧共力两弹簧共力(Fs) 串联串联 例例2 确定阶梯轴的等效扭转刚度确定阶梯轴的等效扭转刚度 解解 共力矩共力矩M 为串联为串联 由扭振由扭振LGJM2221111JGLJGLkeq2阻尼元件阻尼元件: 只有阻尼只有阻尼 无惯性无惯性,弹性弹性 (理想元件理想元件) 振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最困难问题之一振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最困难问题之一, 也是最活跃的研究方向之一也是最活跃的研究方向之一 阻尼力阻尼力 是振动速度是振动速度 的函数的函数 对线性阻尼器对线性阻尼器 C:阻尼系数阻尼

27、系数 阻尼元件消耗能量阻尼元件消耗能量 以热能声能等方式耗散系统的机械能以热能声能等方式耗散系统的机械能 角振动系统角振动系统: 有以上类似关系有以上类似关系 为阻尼力矩为阻尼力矩)(xfFdx xcFdcMddM1-21非粘性阻尼非粘性阻尼: 与速度成正比的阻尼为粘性与速度成正比的阻尼为粘性(Viscous)阻尼阻尼,又称线性阻尼又称线性阻尼 其它性质的阻尼统称非粘性阻尼其它性质的阻尼统称非粘性阻尼 工程中将非粘性阻尼折算成等效工程中将非粘性阻尼折算成等效 粘性阻尼系数粘性阻尼系数Ceq 折算原则折算原则: 一个振动周期内非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周一个振动周期内非粘性阻尼所消

28、耗的能量等于等效粘性阻尼一周 期所消耗的能量期所消耗的能量 非粘性阻尼种类：非粘性阻尼种类： a. 库仑库仑(Coulemb)阻尼阻尼 即干磨擦阻尼即干磨擦阻尼 b. 流体阻尼流体阻尼: 物体以较大速度在粘性很小的流体物体以较大速度在粘性很小的流体(空气空气 液体液体)中运动中运动.阻尼阻尼 力与速度平方成正比力与速度平方成正比: c. 结构阻尼：结构阻尼： 材料内磨擦产生的阻尼材料内磨擦产生的阻尼(又称材料阻尼又称材料阻尼) 由结构各部件连接面之间相对滑移而产生的阻尼由结构各部件连接面之间相对滑移而产生的阻尼:滑移阻滑移阻 尼尼 结构阻尼结构阻尼=材料阻尼材料阻尼+滑移阻尼滑移阻尼 (两项统

29、称两项统称) 3. 质量元件质量元件 只有惯性只有惯性 无弹性和阻尼的理想元件无弹性和阻尼的理想元件. (略略)1-22. 二二. 动力学模型的建立动力学模型的建立 举例说明举例说明: 南京工学院南京工学院(东南大学东南大学)为无锡机床厂外园磨床作振动分析为无锡机床厂外园磨床作振动分析:1-2322 单自由度系统单自由度系统一一. 自由振动自由振动自由振动的基本振动特性只决定系统本身的参数自由振动的基本振动特性只决定系统本身的参数,因此是在理论上十分重要的一因此是在理论上十分重要的一种振动形式种振动形式.系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些系统自由振动所表现出的一些规律能反映出

30、系统本身的一些”固有特固有特性性”或或”固有参数固有参数”.反映了系统内部结构的所有信息反映了系统内部结构的所有信息,是研究强迫振动的基础是研究强迫振动的基础.1.单自由度自由振动概述单自由度自由振动概述 当外界对系统没有持续的激励当外界对系统没有持续的激励 即即F(t)=0 但系统仍可以在初速度或但系统仍可以在初速度或初位移的作用下发生振动初位移的作用下发生振动,称为自由振动称为自由振动 其运动微分方程为其运动微分方程为: 二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程, 方程还可方程还可 其中其中 （衰减系数）（衰减系数） （固有频率）（固有频率） 方程特征方程方程特征方程 通解通解 其中其

31、中: 022xwxxn 0kxxcxm mc2mkwn20222nwss)()(222221nnsststseBeBx212121,SS21,BB 为特征方程的二个特征根为特征方程的二个特征根 为积分常数为积分常数,由初始条件定由初始条件定 1-24系统的运动情况随系统的运动情况随(衰减系数衰减系数)不同值不同值,分五种情况：分五种情况： (1) =0 (无阻尼情况无阻尼情况) 0 (正阻尼情况正阻尼情况) (2) (弱阻尼情况弱阻尼情况) (3) (强阻尼情况强阻尼情况) (4) = (临界阻尼情况临界阻尼情况) (5) 0 (负阻尼情况负阻尼情况) 首先从无阻尼情况首先从无阻尼情况(最简单

32、最简单)介绍介绍nnn2. 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 运动方程为运动方程为 （C=0, F(t)=0） 或或 式中式中 其通解其通解: x(t)=Asin( t+) 是系统自由振动的角频率是系统自由振动的角频率, 也称为系统无阻尼固有频率也称为系统无阻尼固有频率 单位单位:Hz 或或1/s A 振动幅值振动幅值 初相角初相角 (由初始条件确定由初始条件确定)0)(tkxxm 0)()(2txtxn nmkfnn212mkn1-25n若记初始位移若记初始位移 初始速度初始速度 则则 因因 当当t=0时时 得得 分析：分析： 单自由度无阻尼系统的自由振动是正弦或余弦函数单自由度无阻

33、尼系统的自由振动是正弦或余弦函数,可用谐波函数表示可用谐波函数表示, 故称简谐振动故称简谐振动0)0(xx0)0(vx)()()()(tAContxtASintxnnn00;)0(xASinxASinxnnvAConvAConx00;)0()(2020nvxA001xvtgnmkn自由振动的角频率即为自由振动的角频率即为 仅由系统本身参数确定仅由系统本身参数确定,与外界激励与外界激励, 初始条件均无关初始条件均无关.反映了系统内在的特征反映了系统内在的特征. 自由振动的振幅自由振动的振幅A和初相角和初相角 由初始条件确定由初始条件确定 无阻尼自由振动是等幅振动无阻尼自由振动是等幅振动 研究无阻

34、尼自由振动时研究无阻尼自由振动时,常用到常用到”能量法能量法”1-263.能量法：能量法：(1) 用能量的观点研究振动有时很方便用能量的观点研究振动有时很方便.例只需计算系统固有频率时例只需计算系统固有频率时,可避免写微分方可避免写微分方 程程,直接得结果直接得结果. (也可用能量法写系统微分方程也可用能量法写系统微分方程) 在无阻尼又无外作用力时在无阻尼又无外作用力时,系统的动量系统的动量T和势能和势能U是守恒的是守恒的.即即 T+U=恒量恒量 (2-1) 对上式时间取一次导数：对上式时间取一次导数： （2-2） 式中式中: T 为系统中运动质量所具有的动能为系统中运动质量所具有的动能 U

35、为系统的弹性势能或重力势能为系统的弹性势能或重力势能 由由(2-1)式式,有：有： 任意选两个瞬时位置任意选两个瞬时位置1和和2机械能总和应相等机械能总和应相等 对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时位置对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时位置,此时速度最大此时速度最大 , 动能动能 此时此时 再选质量块达最大位移时为第二瞬时位置再选质量块达最大位移时为第二瞬时位置,此时速度为此时速度为0, 而势能而势能 （2-3） 利用利用(2-3)式可直接得系统固有频率式可直接得系统固有频率0)( UTdtd2211UTUTmax1TT 01Umax2UU max21:UTUTMAX或有

36、02T1-270I)()(tAContASinnnnnAAmaxmax2202max0max2121nAIITmax例例 如图测量低频振幅用的传感器中的一个元件如图测量低频振幅用的传感器中的一个元件无无定向摆的示意图定向摆的示意图,摆轮摆轮2上铰接一摇杆上铰接一摇杆1, 摇杆另摇杆另一端有敏感质量一端有敏感质量M，在摇杆离转轴，在摇杆离转轴0距离为距离为a处处左右各联一刚度为左右各联一刚度为k的平衡弹簧的平衡弹簧,以保持摆的垂直以保持摆的垂直方向的稳定位置方向的稳定位置.已知系统对已知系统对0的转动惯量为的转动惯量为解：以摇杆偏离平衡位置的解：以摇杆偏离平衡位置的 角位移角位移为为 参数并设参

37、数并设: 则则 摇杆通过静平衡位置时系统动能最大摇杆通过静平衡位置时系统动能最大 在摇杆摆到最大角位移在摇杆摆到最大角位移 处时系统最大势处时系统最大势 能包能包 括两部分括两部分:222max2max1212AkakaU2121)1 (22maxmaxmax2mglAmglconmglUmaxmaxUT2121222220mglAAkaAIn)2(02Imglkan 弹性变形后储存的弹性势能弹性变形后储存的弹性势能: 质量块质量块m的重心下降后重力势能的重心下降后重力势能: 由于由于 得得 :1-28（2）能量法求系统振动微分方程）能量法求系统振动微分方程 例例 图示一半径为图示一半径为r,

38、重量为重量为w的园柱体在一个半径为的园柱体在一个半径为R的园柱面内作无滑动的园柱面内作无滑动 的滚动的滚动, 在园柱面最低位置在园柱面最低位置0点左右微摆动点左右微摆动.推导园柱体摆动的微分方程推导园柱体摆动的微分方程.解解: 园柱体有两种运动园柱体有两种运动: 园柱体质心的线位移园柱体质心的线位移 (Rr), 线速度为线速度为 园柱体绕质心转动园柱体绕质心转动,因无滑动因无滑动,角速度为角速度为(以以A点为瞬心点为瞬心) 在任一瞬时位置在任一瞬时位置, 园柱体的动能为园柱体的动能为: 为园柱体的质量，为园柱体的质量， 为园柱体绕质点轴的转动惯量为园柱体绕质点轴的转动惯量 园柱体的势能为相对最

39、低点园柱体的势能为相对最低点O的重力势能，在同一瞬时园柱体质心升高了的重力势能，在同一瞬时园柱体质心升高了)(rRv)1(rRrv2222222)(431221212121rRgrRrgrRgImvTgm22rgIconrR1conrRWU11023143222 SinrRwrRgwconrRwrRgwdtdUTdtd 故按（故按（2-2）式）式对于微幅摆动对于微幅摆动: 上式可简化为上式可简化为 :Sin032rRg 1-29（3）用能量法计算弹簧的）用能量法计算弹簧的等效质量等效质量用能量法原理，可把弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计用能量法原理，可把弹簧的分布质量对系统振动频率的

40、影响加以估计.得频率准确值。得频率准确值。下面介绍用等效质量下面介绍用等效质量进行折算的一种近似方法。进行折算的一种近似方法。 先假定弹簧各截面的位移与其距固定端处的原始距离成正比。设弹簧在联结质量先假定弹簧各截面的位移与其距固定端处的原始距离成正比。设弹簧在联结质量块的一端位移为块的一端位移为X，弹簧轴向长为，弹簧轴向长为L,则距固定端则距固定端处，位移为处，位移为 ，因此，当质量，因此，当质量块块m在某一瞬时的速度为在某一瞬时的速度为 时时,弹簧在弹簧在处的微段处的微段d,相对速度为相对速度为 。设。设 为弹为弹簧单位长度的质量，则弹簧簧单位长度的质量，则弹簧d段的动能为段的动能为 整个弹簧的动能为整个弹簧的动能为: （整个弹簧质量）（整个弹簧质量）系统总动能为质量块系统总动能为质量块m的动能和弹簧质量的动能之和，在质量块经过静平衡位置时的动能和弹簧质量的动能之和，在质量块经过静平衡位置