第二章圆锥曲线与方程综合素质检测(人教A版选修1-1)

1、第二章 圆锥曲线与方程 综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1点M与点F(3,0)的距离比它到直线x50的距离小2，则点M的轨迹方程为()Ay212xBy26xCy212xDy26x答案C解析由抛物线的定义知，点M的轨迹是F为焦点，直线x30为准线的抛物线，其方程为y212x.2(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(，0)，直线yx与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为()A.y21Bx21C.1D.1答案C解析由椭圆过点(2,2)，排除A、B、D

2、，选C.3(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y24x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A.B.C2D2答案B解析抛物线y24x的焦点(，0)为双曲线的右焦点，c，又，结合a2b2c2，得a1，e，故选B.4(2014·宁夏银川一中二模)从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积()A5B10C20D.答案B解析设P(x0，y0)，则由抛物线定义知x015，x04故y04，所以SMPF×5×410.5已知a>b

3、>0，e1，e2分别为圆锥曲线1和1的离心率，则lge1lge2()A大于0且小于1B大于1C小于0D等于1答案C解析lge1lge2lglglg<lglg10，lge1lge2<0.6(2014·江西文，9)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为yx，由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A，|FA|FO|r4.ABx轴，A为AB与渐近线yx的交点，可求得A点坐标为

4、A(a，b)在RtABO中，|OA|2c|OF|4，OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|a2，|AB|b2，双曲线的方程为1，故选A.7探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()Ay2xBy2xCx2yDx2y答案C解析如果设抛物线的方程为y22px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，3022p×40,2p，所以抛物线的方程应为y2x，所给选项中没有y2x，但方程x2y中的“2p”值为，所以选项C符合题意8过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有(

5、)A4条B3条C2条D1条答案B解析过P与x轴平行的直线y1与抛物线只有一个交点；过P与抛物线相切的直线x0，yx1与抛物线只有一个交点9(2014·山东省烟台市期末)若双曲线1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线yx22相切，则此双曲线的离心率等于()A2B3C.D9答案B解析由题意双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为yx，代入抛物线方程yx22整理得x2x20，因渐近线与抛物线相切，()280，即()28，此双曲线的离心率e3.故选B.10F1、F2是椭圆1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线

6、，垂足为Q，则点Q的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线分析此题若用坐标法求解运算相当繁琐，而且一时难以理出思路本题易借助几何图形的几何性质加以解决答案A解析延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，如图所示则APF1是等腰三角形，|PF1|AP|，从而|AF2|AP|PF2|PF1|PF2|2a.O是F1F2的中点，Q是AF1的中点，|OQ|AF2|a.Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆故选A.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11若抛物线y2mx与椭圆1有一个共同的焦点，则m_.答案±8解析椭圆焦点为(2,0)和(2,0)，因为抛物线

7、与椭圆有一个共同焦点，故m±8.12已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|5，则ABF1的周长为_答案26解析由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a8，|BF1|BF2|8，|AF1|BF1|(|AF2|BF2|)16.又|AF2|BF2|AB|5，|AF1|BF1|16521.ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|21526.13椭圆mx2ny21与直线l：xy1交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线斜率为，则_.答案解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，mxny1mxny1又1，得：mn·0，mn，.

8、14(2014·哈三中二模)双曲线1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y28x的准线的一个交点的纵坐标为1，则双曲线的离心率为_答案解析抛物线y28x的准线方程x2，交点坐标为(2，1)，双曲线的渐近线方程yx，即，e.15(2014·唐山市一模)过抛物线C：y24x的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|_.答案解析设AB所在的直线yk(x1)，联立消去y得k2x2(2k24)xk20，x1x21，设A(x1，y2)，B(x2，y2)，A到准线的距离为4，x114，x13，x2，|AB|x1x2232.三、解答题(本大题

9、共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16求下列双曲线的标准方程(1)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线；(2)以椭圆3x213y239的焦点为焦点，以直线y±为渐近线的双曲线答案(1)1(2)1解析(1)双曲线1的焦点为(±2，0)，设所求双曲线方程为：1(20a2>0)又点(3，2)在双曲线上，1，解得a212或30(舍去)，所求双曲线方程为1.(2)椭圆3x213y239可化为1，其焦点坐标为(±，0)，所求双曲线的焦点为(±，0)，设双曲线方程为：1(a>0，b>0)双曲线的渐近线为y&#

10、177;x，a28，b22，即所求的双曲线方程为：1.17如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|18m，拱顶离水面的距离为8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若矩形的长|CD|9m，那么矩形的高|DE|不能超过多少m才能使船通过拱桥？答案6m解析如图，以O点为原点，过O且平行于AB的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系则B(9，8)，设抛物线方程为x22py(y>0)点B在抛物线上，812p·(8)，p，抛物线的方程为x2y，当x时，y2，|DE|6，当矩形的高|DE|不超过6m时，才能使船通过拱桥18已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(2,

11、0)、B(2,0)，|2，求点E的轨迹方程答案x2y21(y0)解析如图设点E的坐标为(x，y)，()，由向量加法的平行四边形法则可知，点E为BD的中点，连结OE，又O为AB的中点，OEAD1.即动点E到定点O的距离为定值1，由圆的定义知，点E的轨迹方程为x2y21(y0)点评平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E到定点O的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想6(2014·江西文，9)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、

12、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.1答案A解析如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为yx，由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A，|FA|FO|r4.ABx轴，A为AB与渐近线yx的交点，可求得A点坐标为A(a，b)在RtABO中，|OA|2c|OF|4，OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|a2，|AB|b2，双曲线的方程为1，故选A.20已知双曲线1的离心率e，过A(a,0)，B(0，b)的直线到原点的距离是.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D，且C，

13、D都在以B为圆心的圆上，求k的值答案(1)y21(2)±解析(1)双曲线的离心率e.过A，B的直线为1，即bxayab0.原点到直线AB的距离为，由，得b1.1.a23，双曲线的方程为y21.(2)由，得(13k2)x230kx780.x1x2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点M(x0，y0)，则x0，y0kx05.MB的斜率kMB.x0ky0k0，即k0.解得k27，k±.21在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常

14、数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由答案(1)(2)k值不存在解析(1)由已知条件，直线l的方程为ykx，代入椭圆方程整理得x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点，8k244k22>0，解得k<或k>.即k的取值范围为.(2)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程，x1x2.又y1y2k(x1x2)2.又A(，0)，B(0,1)，(，1)与共线，x1x2(y1y2)，将代入式，解得k.由(1)知k<或k>，故没有符合题意的常数k.反馈练习一、选择题1若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是(

15、)A.>B.<C.>D.<答案A解析方程1表示焦点在y轴上的椭圆，b<0，>.2“直线与双曲线有唯一的公共点”是“直线与双曲线相切”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析直线与双曲线有唯一的公共点直线与双曲线相切或直线平行于双曲线的一条渐近线，故选B.3已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18B24C36D48答案C解析设抛物线为y22px，则焦点F，准线x，由|AB|2p12，知p6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S&

16、#215;12×636.4等腰RtABO内接于抛物线y22px(p>0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是()A8p2B4p2C2p2Dp2答案B解析由抛物线的对称性质及OAOB知，直线OA的方程为yx，由得A(2p,2p)，则B(2p，2p)，|AB|4p，SABO·4p·2p4p2.5(2014·太原模拟)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1、F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线C的离心率等于()A.或B.或2C.或2D.或答案D解析因为|PF1|F1F2|PF2|432，所以设|PF1|4x，|F1F

17、2|3x，|PF2|2x，x>0.因为|F1F2|3x2c，所以xc.若曲线为椭圆，则有2a|PF1|PF2|6x，即a3x，所以离心率e.若曲线为双曲线，则有2a|PF1|PF2|2x，即ax，所以离心率e，所以选D.6(2014·山西省高三四校联考)已知圆锥曲线mx24y24m的离心率e为方程2x25x20的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为()A4B3C2D.1答案B解析解方程2x25x20得x2或.当e2时，m<0表示焦点在x轴上的双曲线；当e时，m>0，可表示焦点在x轴或y轴上的椭圆，故选B.7已知动圆P过定点A(3,0)，并且与定圆B：(x3)2y264内

18、切，则动圆的圆心P的轨迹是()A线段B直线C圆D椭圆答案D解析如下图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A(3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|BM|8.点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D.8(2014·陕西工大附中四模)F1、F2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案D解析如图，由双曲线的定义知，|AF2|AF1|2a，|BF1|BF2|2a，|AB|BF1|AF1

19、|BF1|AF1|AF2|BF2|(|BF1|BF2|)(|AF2|AF1|)4a，|BF2|4a，|BF1|6a，在BF1F2中，ABF260°，由余弦定理，|BF1|2|BF2|2|F1F2|22|BF1|·|BF2|·cos60°，36a216a24c224a2，7a2c2，e>1，e，故选D.9已知F是抛物线y2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C.D.答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|BF|3得，x1x23，x1x2，线段AB的中点到y轴的距离为.10(

20、2014·银川九中一模)已知双曲线1(b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在双曲线上，则·()A12B2C0D4答案C解析由渐近线方程为yx知，1，b，点P(，y0)在双曲线上，y0±1，y01时，P(，1)，F1(2,0)，F2(2,0)，·0，y01时，P(，1)，·0，故选C.二、填空题11已知F是抛物线y24x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|MF|的最小值是_答案4解析过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|MF|MP|MN|PN|4为

21、所求最小值12设椭圆1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为_答案1解析抛物线y28x的焦点F(2,0)，由条件得，所求椭圆的方程为1.13已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值为_答案32解析当直线的斜率不存在时，其方程为x4，由，得y14，y24，yy32.当直线的斜率存在时，其方程为yk(x4)，由，得ky24y16k0，y1y2，y1y216，yy(y1y2)22y1y232>32，综上可知yy32.yy的最小值为32.14(2014·天津和平区

22、期末质检)若双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成53两段，则此双曲线的离心率为_答案解析y22bx的焦点为(，0)，1的右焦点为(c,0)，由题意可知：c×2c，即c2b，而e2()2，则e.15已知双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_答案2，)解析设双曲线的斜率为正的一条渐近线的斜率为k，则k，即.所以e211()24，所以e2.三、解答题16已知三点P(5,2)，F1(6,0)，F2(6,0)

23、(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；(2)设点P，F1，F2关于直线yx的对称点分别为P，F1，F2，求以F1，F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程；(3)求过(2)中的点P的抛物线的标准方程答案(1)1(2)1(3)y2x或x2y解析(1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为1(a>b>0)，其半焦距c6.2a|PF1|PF2|6，a3，b2a2c245369.故所求椭圆的标准方程为1.(2)点P(5,2)，F1(6,0)，F2(6,0)关于直线yx的对称点分别为P(2,5)，F1(0，6)，F2(0,6)，设所求双曲线的标准方程为1(a1>0，b1>0)

24、，由题意知半焦距c16.2a1|PF1|PF2|4，a12，bca362016.故所求双曲线的标准方程为1.(3)设抛物线方程为y22px或x22p1y，抛物线过P(2,5)，254p或410p1，p或p1.抛物线方程为y2x或x2y.17已知双曲线过点P(3，4)，它的渐近线方程为y±x.(1)求双曲线的标准方程；(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|·|PF2|41，求F1PF2的余弦值答案(1)1(2)解析(1)由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为3的点P的纵坐标的绝对值为4.4>4，双曲线的焦点在x轴上，设方程为

25、1.双曲线过点P(3，4)，1又，由，得a29，b216，所求的双曲线方程为1.(2)设|PF1|d1，|PF2|d2，则d1·d241.又由双曲线的几何性质知|d1d2|2a6.由余弦定理得cosF1PF2.18(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C：1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标答案(1)1(2)(，)解析(1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得1，b4，又e，则，1，a5，椭圆C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入椭圆方程得1，即x23x80，由韦达定理得x1x23，所以线段AB中点的横坐标为，纵坐标为(3)，即所截线段的中点坐标为(，)19.如右图，已知抛物线y24x，焦点为F，顶点为O点，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程答案y2x解析设M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易求y24x的焦点F的坐标为(1,0)，M是FQ的中点，