理论力学12章

1、第十二章 动 能 定 理功是代数量功是代数量12-1 12-1 力的功力的功常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功单位单位 J（焦耳）（焦耳） 1 J = 1 Nm cosWFsF s 力矩力矩( )OMFrF单位为单位为Nm的量，还有的量，还有做功做功 or 作功？作功？cosdWFs元功元功dWFr即即变力在曲线运动中的功变力在曲线运动中的功无限小位移无限小位移dr中，力可视为常力中，力可视为常力小弧长小弧长ds可视为直线可视为直线力始终与位移垂直时，力不做功力始终与位移垂直时，力不做功221112dMMMMWWF rddddxyzFF iF jF krxiyjzk记记2112(ddd

2、)MxyzMWFxFyFz则则力力 在点在点 M1 M2 路程上做的功为路程上做的功为F1212()iiiWm g zz1 1、重力的功、重力的功对于质点系对于质点系Ciimzm z由由重力的功只与质心的始、末位置有关，与路径无关。重力的功只与质心的始、末位置有关，与路径无关。1212()CCWmg zz得得22111212dd()MMzMMWF zmg zmg zz0 xyzFFFmg 几种常见力的功几种常见力的功2 2、弹性力的功、弹性力的功弹簧刚度系数弹簧刚度系数 k (单位单位 N/m)0()rFk rl e 弹性力弹性力弹性力的功为弹性力的功为2112dAAWFr210()dArAk

3、 rl erHookes LawFkre为矢径方向的单位矢量为矢径方向的单位矢量211ddd()d()d22rrerrr rrrrrr 因为因为110220, rlrl式中式中21120()drrWk r lr得得221212()2kW即即弹性力的功也与路径无关弹性力的功也与路径无关cosa bab两段相同的位移内（起始位置不同），弹性力做功不相等。两段相同的位移内（起始位置不同），弹性力做功不相等。图图12-4两段相同的位移内（起始位置不同），弹性力做功不相等。两段相同的位移内（起始位置不同），弹性力做功不相等。图图12-4221212()2kW弹性力的功弹性力的功F1232112dzWM3

4、. 3. 定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功1221()zzWMM则则若若 常量常量zMdddttWFrF sFR由由RFMtz得得dzWM从角从角 转动到角转动到角 过程中力过程中力 的功为的功为12FddsR类比类比WF sR力力 F 与作用点与作用点 A 的轨迹切线夹角为的轨迹切线夹角为 ，力力 F 在切线投影为在切线投影为Ft作用在作用在 Mi 点的力点的力 的元功的元功为为iF力系全部力的元功之和为力系全部力的元功之和为d()diiCCiWWFrMF4. 4. 平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功dddiiiiCiiCWFrFrFr其中其中dcosd()diiC

5、iiCiFrFM CMFdddiCiCrrriCiCvvv由由两端乘两端乘 dt, ,有有ddRCCFrM基点法基点法SKIP其中其中: 为力系主矢，为力系主矢，MC 为力系对质心的主矩。为力系对质心的主矩。RF当质心由当质心由 C1 C2 , ,转角由转角由 1 2 时时, ,力系的功力系的功为为即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。221112ddCRCCCWFrM(向质心简化向质心简化)ddRCCWFrM平面运动平面运动

6、 = 随基点平移随基点平移 + 绕基点转动绕基点转动说明说明: 1: 1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；、对任何运动的刚体，上述结论都适用；2 2、C 点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立；点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立；3 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不做功的力。、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不做功的力。 平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力做功的代数和。平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力做功的代数和。向一点简化向一点简化力系力系主矢主矢（力）（力）+ + 主矩主矩（力偶）（力偶）221112ddCRCCCWFrM即：平面运动刚

7、体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。小结小结1.1.重力的功重力的功2.2.弹性力的功弹性力的功3.3.定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功4.4.平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功221212()2kW221112ddCRCCCWFrM1221()zzWMM1212()CCWmg zz对于任何运动也适用对于任何运动也适用12-2 12-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能212iiTmv2 2、质点系的动能、质

8、点系的动能1 1、质点的动能、质点的动能212Tmv 单位：单位：J（焦耳）（焦耳）iCimvvmTi22212122222212121iiiiiirmrmvmT（1 1）平移刚体的动能）平移刚体的动能（2 2）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能212zTJ 即即 212CTmv 即即 zJ转动惯量 相似性比较相似性比较平动平动 转动转动 动能动能动量动量212mv212JmvJ222)(2121mdJJTCp即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。动的动能之和。221122CCTmvJ得得质心为质心为C，速度瞬

9、心为，速度瞬心为P（3 3）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能2211()22CJm d（平面运动分解为随基点的平移和绕基点的定轴转动）（平面运动分解为随基点的平移和绕基点的定轴转动）转动动能转动动能平动动能平动动能2Cv例例 车轮在地面上滚动车轮在地面上滚动只滚不滑，轮心作直线运动，速度为只滚不滑，轮心作直线运动，速度为vC ，车轮质量为，车轮质量为m，质量，质量分布在轮缘，若轮辐质量不计，则车轮的动能为分布在轮缘，若轮辐质量不计，则车轮的动能为222222112211 ()22 CCCCCTmvJvmvmRRmv与半径无关与半径无关将将 两端点乘两端点乘 ，ddrv tddvmFt21

10、1dd()d(), d,22mvvmv vmvFrW 由于由于12-3 12-3 动能定理动能定理1 1、质点的动能定理、质点的动能定理21d()2mvW因此因此ddmvvFr整理得整理得上式称为上式称为质点质点动能定理动能定理的微分形式的微分形式，即，即质点动能的增量等于质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。作用在质点上力的元功。ddddvmrFrt得得ddrvt因因2221121122mvmvW称称质点动能定理的积分形式质点动能定理的积分形式: :在质点运动的某个过程中，质点在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。动能的改变量等于作用于质点的力作的功。 对上式积

11、分，得对上式积分，得2 2、质点系的动能定理、质点系的动能定理称称质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量，等于作用质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。于质点系全部力所作的元功的和。 由由21d()2iiimvW21d()2iiim vW求和求和diTW得得称称质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。段过程中所作功的和。21iTTW 对上式积分，得对上式积分，得3

12、3、理想约束、理想约束光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、（不可伸长的）柔索光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、（不可伸长的）柔索等约束的约束力做功等于零。等约束的约束力做功等于零。约束力做功等于零的约束称为约束力做功等于零的约束称为理想约束理想约束。 对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。 质点系的内力做功之和并不一定等于零。质点系的内力做功之和并不一定等于零。（举例：两带电粒子相互吸引）（举例：两带电粒子相互吸引）滑动摩擦力在纯滚动（只滚不滑）中也不做功，因为滑动摩擦力滑动摩擦力在纯滚动（只滚不滑）中也不做功，因为滑动摩擦力作用点没动。作用

13、点没动。NF 例例13-1 已知：质量为已知：质量为 m 的质点，从高的质点，从高 h 处自由落下，落处自由落下，落到下面有弹簧支持的板上，弹簧的刚度系数为到下面有弹簧支持的板上，弹簧的刚度系数为 k，板和弹，板和弹簧质量不计。簧质量不计。求求: 弹簧的最大压缩量弹簧的最大压缩量max最大压缩量时速度为零最大压缩量时速度为零解解:质点从位置质点从位置 I 落到板上落到板上 II，这，这个过程是自由落体运动，重力做功，个过程是自由落体运动，重力做功，速度由速度由 0 增加到增加到 v1（待求），应用（待求），应用动能定理动能定理21102mvmgh质点继续向下运动，弹簧开始被压缩，从位置质点继续

14、向下运动，弹簧开始被压缩，从位置 II 到位置到位置 III，弹簧被压缩到最大值弹簧被压缩到最大值 max，质点速度变成，质点速度变成0。这个过程重力。这个过程重力和弹簧力都做功，弹簧力做功为和弹簧力都做功，弹簧力做功为 ，应用动能定理，应用动能定理2max1(0)2k12vghkmghgmkkmg2122max221maxmax11022mvmgk解得解得解得解得（负值舍去）（负值舍去）2maxmax220kmgmgh另解另解: 以上两个过程当作一个整体过以上两个过程当作一个整体过程处理，即从位置程处理，即从位置 I 到位置到位置 III ，重，重力和弹簧力做功。重力在全过程都做力和弹簧力做

15、功。重力在全过程都做功，弹簧力在功，弹簧力在 II 到到 III 之间做负功，之间做负功，应用动能定理应用动能定理120, 0,TT2maxmax100()2mg hkkmghgmkkmg2122max解得解得例例13-2 已知：鼓轮已知：鼓轮 O 的的R1、m1，质量分布在轮缘上；均质轮，质量分布在轮缘上；均质轮 C 的的R2、m2，纯纯滚动，初始静止；斜面倾角滚动，初始静止；斜面倾角 ，M 为常力偶。为常力偶。求求: :轮心轮心 C 走过路程走过路程 s 时的速度和加速度。时的速度和加速度。01T2222221112222111 1()()222 2CTm Rm vm R解解: 轮轮 C

16、与轮与轮 O 共同组成一个质点系共同组成一个质点系受力情况：受力情况： m1g， m2g，M，FOx， FOy，FN 和和 Fs其中，其中，m1g，FOx， FOy，FN 和和 Fs 都不做功都不做功122sinWMm gs主动力做功为：主动力做功为：质点系动能为：质点系动能为：鼓轮动能鼓轮动能圆柱动能圆柱动能21只有只有m2g和和 M 做功做功21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm2112TTW2122(23)sin 4(a)CvmmMm gs1sR将将 代入，得代入，得2222221112222111 1()()222 2CTm Rm vm R21由动能定理，得由动能定理，

17、得1212, CCvvRR其中其中整理，得整理，得2212(23)4CvTmm211122(sin )(23)CMm g RaRmm式式(a)是函数关系式，两端对是函数关系式，两端对 t 求导求导, ,得得12211(23)sin2CCCCvmmv aMm gvR或者，将速度表达式先平方，再对或者，将速度表达式先平方，再对 t 求导，得求导，得21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm24Cvs2CCv a4 Cv2Ca求：冲断试件需用的能量。求：冲断试件需用的能量。例例13-3 冲击试验机冲击试验机 m = 18kg，l = 840mm，杆重不计，杆重不计，在在 1 = 70时静

18、止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至 2 = 29Skip再分析摆锤冲断试件再分析摆锤冲断试件后后的上升过程。初始动能为的上升过程。初始动能为T2（待求），末（待求），末动能为动能为 0。重力做负功。由动能定理得。重力做负功。由动能定理得1278.92 JkWTT摆锤在冲断试件时损失的动能等于冲断试件需要的能量摆锤在冲断试件时损失的动能等于冲断试件需要的能量Wk110(1 cos)Tmgl220(1 cos)Tmgl 解解: 设摆锤冲断试件前后的动能分别设摆锤冲断试件前后的动能分别为为 T1 和和 T2 。先分析摆锤冲断试件先分析摆锤冲断试件前前的下落过程。的下落过程。初始动能为初

19、始动能为0，末动能为，末动能为 T1 （待求）。（待求）。重力做正功。由动能定理得重力做正功。由动能定理得代入数据得代入数据得2118kg 9.8m/s0.84m (1 cos70 )97.5 JT 得得218.58 JT 1200(1 cos)(1 cos)kmglmglW120, 0TT另解另解: 在摆角在摆角 1 和和 2 两个位置之间两个位置之间直接应用动能定理。始末位置的动直接应用动能定理。始末位置的动能都等于能都等于 0，冲断试件所消耗的能，冲断试件所消耗的能量也就是试件内力所做的负功。由量也就是试件内力所做的负功。由动能定理得动能定理得78.92 JkW 得冲断试件需要的能量为得

20、冲断试件需要的能量为例例13-4 已知已知:均质圆盘半径均质圆盘半径 R，质量，质量 m，外缘缠绕无重细绳，外缘缠绕无重细绳，F = 常量，且很大，使常量，且很大，使 C 向右加速运动，与地面之间的动滑动向右加速运动，与地面之间的动滑动摩擦系数摩擦系数 f，初始时静止。，初始时静止。求求: C 走过走过 s 路程时圆盘的路程时圆盘的 、 。1、圆盘作什么运动？、圆盘作什么运动？动能表达式如何？动能表达式如何？2、要不要受力分析？、要不要受力分析？3、哪些力做功？作用、哪些力做功？作用距离是多少？距离是多少？CvR01T22222113()2224CCmRTmvmv 解解: : 圆盘速度瞬心为圆

21、盘速度瞬心为A ，初始时静止。运动后设轮心速度为，初始时静止。运动后设轮心速度为Cv平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能平动动能平动动能转动动能转动动能21TTW232 4) ( CmvFsasmgf2(2)3CsvFmgfm(2 )WFsfmgs瞬心瞬心TNFmgF、均不做功，只有均不做功，只有 做功，做功，dFF、受力分析如图受力分析如图(b)作用距离分别为多少？作用距离分别为多少？1 1、摩擦力、摩擦力 Fd 的功的功 s 是力是力F 在空间的位移在空间的位移( (C 点的位点的位移移) )，不是摩擦力，不是摩擦力Fd作用点的位移。作用点的位移。,dWF s注意注意: :将式将式(a)两

22、端对两端对 t 求导求导, ,2(2)3CaFmgfm得得也可先平方，再求导（更快捷）也可先平方，再求导（更快捷）由由 和和 即可求出角速度即可求出角速度 与角加速度与角加速度 CvRCaR()2dddsWFF sF RFsF sR不做功的力可不考虑，因此亦可如下计算不做功的力可不考虑，因此亦可如下计算:()()TdTdsWFFF sF RF RR22dFsF sFsmgfs 2 2、亦可将力系向点、亦可将力系向点 C 简化，即简化，即主矢主矢(力力)主矩主矩(力偶力偶)转角转角FsMC2Fsmgfs习题习题12-12 已知：周转齿轮平放在水平面内，动齿轮半径为已知：周转齿轮平放在水平面内，动

23、齿轮半径为 r1 1，质量为质量为 m1 1，均质圆盘；曲柄，均质圆盘；曲柄 O1O2 杆质量为杆质量为 m，均质杆，杆长为均质杆，杆长为 l ；曲柄上作用定常力偶曲柄上作用定常力偶 M，纯滚动，初始静止。纯滚动，初始静止。 求求: : O1O2 转过转过 角时的角时的 和和 水平面内，重力不做功水平面内，重力不做功10T 221)233(21lmm解解: 研究整个系统，应用动能定理。研究整个系统，应用动能定理。222221 12111111()()23222Om rmlTmv杆动能杆动能动齿轮动能动齿轮动能11111(, )OOvlvlrr其中其中先写出两个瞬时的动能表达式。先写出两个瞬时的

24、动能表达式。MW WTT1222131()2 32mmlM2112 (2)( )9Mmmal力偶做功力偶做功由动能定理得由动能定理得解得解得水平面内，重力不做功。因纯滚动（滚而不滑），摩擦力也水平面内，重力不做功。因纯滚动（滚而不滑），摩擦力也不做功。只有力偶不做功。只有力偶 M 做功。做功。21)92(6lmmM式式( (a) )对任何对任何 均成立，是函数关系，求导得均成立，是函数关系，求导得也可先平方，再求导（更快捷）也可先平方，再求导（更快捷）注意注意: :轮轮 I、II接触点接触点 C 不是理想约束不是理想约束, ,其摩擦力其摩擦力Fs 尽管在空间上是移动的尽管在空间上是移动的, ,

25、但作用于速度瞬心但作用于速度瞬心( (速度为零，没有速度为零，没有位移发生位移发生),),故不做功。故不做功。习题习题12-6: :均质杆均质杆 OB = = AB = = l ，质量均为，质量均为 m ，在铅垂面内；在在铅垂面内；在 AB 上作用一常力偶，上作用一常力偶，M = = 常量，初始静止，不计摩擦。常量，初始静止，不计摩擦。 求求: :当当 A 运动到即将碰到运动到即将碰到 O 点时，点时，Av ？1、OB 和和 AB分别作什么分别作什么运动？动能表达式如何？运动？动能表达式如何？2、哪些力做功？作用、哪些力做功？作用距离是多少？距离是多少？OB 作定轴转动，作定轴转动， AB 作

26、平面运动。作平面运动。01T32CABABvC ClBABOBvll ABOB2(1 cos )2lWMmg解解: : 力偶力偶 M 克服重力做功，克服重力做功，使系统动能增加。使系统动能增加。初状态初状态AB质心质心C，作平面运动时的速度瞬心作平面运动时的速度瞬心 CCB = BA = BO2AABvl二者皆未知，待求二者皆未知，待求铅直位置时，铅直位置时，2ABOBTTT21TTW)cos1 (321mglMmlAB2AABvl2234ABml222111222CCABOOBmvJJAB杆动能杆动能OB杆动能杆动能2222213111 1()()()222 122 3ABABABmlmlm

27、l由动能定理得由动能定理得2242(1 cos )32ABlmlMmgA 点的速度为点的速度为动能定理解题思路：动能定理解题思路：1、确定、确定1时刻，写出时刻，写出T1（各物体作何运动，动能表达式又是（各物体作何运动，动能表达式又是如何？）如何？）2、确定、确定2时刻，写出时刻，写出T2（各物体作何运动，动能表达式又是（各物体作何运动，动能表达式又是如何？）如何？）3、12时间段内，做功时间段内，做功 W12（哪些力做功，作用距离多少？）（哪些力做功，作用距离多少？）4、应用动能定理，、应用动能定理， T2 - T1 = W12dWPt12-4 12-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方

28、程、机械效率ddtrPFF vFvt1 1、功率：单位时间内、功率：单位时间内，力所做的功称为功率。力所做的功称为功率。即：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。即：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。 由由 ，得，得dWFr汽车上坡，需要换低档，降低速度产生大的驱动力。汽车上坡，需要换低档，降低速度产生大的驱动力。数学表达式数学表达式dddzzWPMMtt单位单位W（瓦特，（瓦特，Watt），），1 W=1 J/s作用在转动刚体上的力的功率为作用在转动刚体上的力的功率为工程中常用千瓦（工程中常用千瓦（kW）做单位做单位电：电：1 度度 = 1 kWh （千瓦时，功的单位）（千瓦时，功的单位）2

29、 2、功率方程、功率方程11dddnniiiiWTPtt称称功率方程功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。质点系的所有力的功率的代数和。ddTPPPt输入输出损耗或或ddTPPPt输入输出损耗质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式diTW两端除以两端除以dt，得，得机器的功率都可以分为三部分：机器的功率都可以分为三部分：P输入P输出P损耗可视为动能定理的另一种微分形式。可视为动能定理的另一种微分形式。摩擦产生热能等3 3、机械效率、机械效率机械效率机械效率PP有效输入有效功率有效功率ddTPPt有效输

30、出多级传动系统多级传动系统12n 总效率等于各级效率的连乘积总效率等于各级效率的连乘积表明机器对输入功率的有效利用程度，是评定机器质量好坏表明机器对输入功率的有效利用程度，是评定机器质量好坏的指标之一。的指标之一。例例13-5: 已知：物块质量已知：物块质量 m ，用不计质量的细绳跨过定滑轮，用不计质量的细绳跨过定滑轮与弹簧相连。弹簧原长为与弹簧相连。弹簧原长为 l0 ，刚度系数为，刚度系数为 k，质量不计。定质量不计。定滑轮半径为滑轮半径为 R ，转动惯量为，转动惯量为 J。不计轴承摩擦。不计轴承摩擦。求求:系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。 沿着绳子的直线运动沿着绳子的直线运动sRd

31、d, ddssPmgPkstt 重力弹性力解解: 弹簧伸长弹簧伸长 s ，滑轮转过，滑轮转过 角，角，物块下降物块下降 s 系统动能为系统动能为221d1d2d2dsTmJtt221d()2dJsmRt物块物块动能动能滑轮滑轮动能动能sR或或ddTPPt重力弹性力代入功率方程，得代入功率方程，得222d()dJsmmgksRt222d ddd()d dddJssssmmgksRtttt两端消去两端消去 ，得到对于，得到对于 s 坐标的运动微分方程坐标的运动微分方程ddst221d()2dJsTmRtdd, ddssPmgPkstt 重力弹性力0,sx2022d()dJxmmgkkxkxRt 2

32、22d()0dJxmkxRt令令 为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mg = k , ,以平衡位置为参考点（起点）以平衡位置为参考点（起点）00代入式子代入式子得到对于得到对于 x 坐标的运动微分方程坐标的运动微分方程自由振动标准形式，解形式如自由振动标准形式，解形式如00sin()xxt(skip)222d()dJsmmgksRt12-5 12-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律2.2.势力场势力场势力场势力场: :若力场中的力所做的功只与力作用点的初、末位置有若力场中的力所做的功只与力作用点的初、末位置有关，与路径无关。则这种力场称为关，与路径无关。则这种力场称

33、为势力场势力场（或（或保守力场保守力场）。）。如重力场、弹性力场、万有引力场。如重力场、弹性力场、万有引力场。势势力场中的力为力场中的力为有势力有势力或或保守力保守力。( , , )FF x y z 力场力场 1.1.场场物理学中，具有空间函数关系的物理量就构成了该物理学中，具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。物理量的场。 如温度场、如温度场、 磁场、力场（万有引力场）等。磁场、力场（万有引力场）等。即力是空间位置的函数即力是空间位置的函数保守力具有沿任意闭合路径做功等于零的特点。保守力具有沿任意闭合路径做功等于零的特点。 d0Fr保（1 1）重力场中的势能）重力场中的势能00d()

34、zzVmg zmg zz0220d()2rrkVFr（2 2）弹性力场的势能）弹性力场的势能00,若为零势能点 则22kV 几种常见势能的计算几种常见势能的计算00d(ddd )MMxyzMMVFrFxFyFz3.3.势能势能（又称位能）（又称位能）势力做正功，相应势能减少；势力做负功，相应势能增加。势力做正功，相应势能减少；势力做负功，相应势能增加。若点若点 M0 的势能为零，则的势能为零，则 M0 称为零势能点（称为零势能点（势能零点势能零点）势能零点势能零点可任意选取可任意选取（参考点）（参考点）质点从点质点从点 M 运动到点运动到点 M0，有，有势力所作的功称为质点在点势力所作的功称为

35、质点在点 M相对于点相对于点 M0 的势能的势能物体由于具有做功的趋势而具有的能叫势能。Potential Energy（3 3）万有引力场中的势能）万有引力场中的势能00122ddAArAAfm mVFrerr由于由于 ，所以，所以ddrerr112122111drrfm mVrfm mrrrre是质点的矢径方向的单位矢量是质点的矢径方向的单位矢量若取无穷远处为势能零点，即若取无穷远处为势能零点，即1r 则得到则得到12fm mVr 质量为质量为m1的质点受质量为的质点受质量为m2的物体的万有引力的物体的万有引力F 作用，如图所示作用，如图所示取点取点A0为零势能点，则质点在点为零势能点，则

36、质点在点A的势能为的势能为0diiMiMVFr质点系的势能质点系的势能00()()iiiCCVm g zzmg zz 对于重力场对于重力场若质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能若质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点。质点系的点。质点系的“零势能位置零势能位置”是各质点都处于其零势能点的一是各质点都处于其零势能点的一组位置。组位置。质点系从某位置到其质点系从某位置到其“零势能位置零势能位置”的运动过程中，各有势的运动过程中，各有势力所做的功的代数和称为此质点系在该位置的势能。力所做的功的代数和称为此质点系在该位置的势能。(skip)各有势力所做的功的代数和各有势

37、力所做的功的代数和例：已知均质杆例：已知均质杆AB，质量质量 m，长度，长度 l，无质量的弹簧，刚度系无质量的弹簧，刚度系数为数为 k，AB水平时平衡，此时弹簧变形水平时平衡，此时弹簧变形 0求：向下偏微小摆角求：向下偏微小摆角 时系统的总势能。时系统的总势能。两种有势力：重力和弹性力两种有势力：重力和弹性力(1)(1)若重力以杆的水平位置处为零势能点，弹性力以弹簧自然位若重力以杆的水平位置处为零势能点，弹性力以弹簧自然位置置O为零势能点，则系统总势能为为零势能点，则系统总势能为2222 2011()2228lm gVklmgklk ( )0AMF 由由 ，得，得02lklmgkmg20即即

38、0l0l22022 220001()21(2)22Vkmghlkllmg (2)(2)若取杆的平衡位置为系统的若取杆的平衡位置为系统的零势能位置，则系统的总势能为零势能位置，则系统的总势能为2221lkV整理得整理得对于不同的零势能位置，系统的总势能不相同。对于常见的对于不同的零势能位置，系统的总势能不相同。对于常见的重力重力- -弹力系统，以其平衡位置为零势能点，往往更简便。弹力系统，以其平衡位置为零势能点，往往更简便。0l12hlkmg20质点系在势力场中运动，有势力的功可通过势能计算质点系在势力场中运动，有势力的功可通过势能计算2112VVW相对量相对量 有势力所做的功等于质点系在运动过

39、程的初、末位置的势能有势力所做的功等于质点系在运动过程的初、末位置的势能的差。的差。 3. 3. 机械能守恒定律机械能守恒定律由动能定理由动能定理1212WTT即：质点系仅在有势力作用下运动时，机械能守恒。即：质点系仅在有势力作用下运动时，机械能守恒。此类系统称此类系统称保守系统保守系统。2112VVW而有势力做功等于势能相减而有势力做功等于势能相减2211VTVT得得动能与势能的代数和称为动能与势能的代数和称为机械能机械能。constTV或或d()0dTVt或或若系统只有有势力作用若系统只有有势力作用例例13-6：已知重物：已知重物 m = 250 kg，以，以 v = 0.5 m/s匀速下

40、降，匀速下降，钢索刚度系数钢索刚度系数 k = 3.35106 N/m。 求求: : 鼓轮鼓轮 D 突然被卡住时，钢索的最大张力。突然被卡住时，钢索的最大张力。2、最大伸长量时，速度为零、最大伸长量时，速度为零1、最大张力对应最大伸长量、最大张力对应最大伸长量 （2 2）卡住时）卡住时: :重物由于惯性继续下降，重物由于惯性继续下降，钢索继续伸长。当重物速度变成零时，钢索继续伸长。当重物速度变成零时，伸长量达到最大。弹性力也达到最大值。伸长量达到最大。弹性力也达到最大值。stmgk10V 222maxmax()()2ststkVmg（1）卡住前为平衡状态）卡住前为平衡状态 kN45. 2mgk

41、Fst解解:钢索伸长量钢索伸长量 钢索张力钢索张力重力重力-弹性力系统，选取平衡位置为零势能位置。弹性力系统，选取平衡位置为零势能位置。 只受重力和弹性力作用，因此系统为保守系统，机械能守恒。只受重力和弹性力作用，因此系统为保守系统，机械能守恒。I和和II两位置系统势能分别为两位置系统势能分别为得得2max1ststvg由由 有有2211VTVT222maxmax100()() 2a2( )ststkmvmg2121, 02TmvTI和和II两位置系统动能分别为两位置系统动能分别为即即222maxmax2()0stststvg 2maxmax1116.9 kNststvvkFkkmgggm因因

42、max st，故取正号，舍去负号，故取正号，舍去负号2.45kNF 与平衡时静载荷比较与平衡时静载荷比较max/6.9FF 由由 有有2211VTVT2121, 02TmvTI、II位置系统动能仍然为位置系统动能仍然为若选取平衡位置为重力场的零势能点，而取钢索自然位置为弹性若选取平衡位置为重力场的零势能点，而取钢索自然位置为弹性力场的零势能点。计算结果如何？力场的零势能点。计算结果如何？ I、II位置系统势能分别为位置系统势能分别为212stkV22maxmax()2stkVmg只有弹性力势能只有弹性力势能222maxmax100()() 2a2( )ststkmvmg计算结果相同计算结果相同

43、(skip)重重(零零)弹弹(零零)222maxmax10()222ststkkmvmg取水平位置为系统的零势能位置。取水平位置为系统的零势能位置。例例13-7 已知：摆杆质量已知：摆杆质量 m ，质心为，质心为 C 点，点，O 端光滑铰支座。端光滑铰支座。D 处用弹簧悬挂，处用弹簧悬挂， 刚度系数为刚度系数为 k 。摆杆在水平位置处平衡。摆杆在水平位置处平衡。 OD=CD=b，初始角速度，初始角速度 。摆杆对。摆杆对 O 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 JO0解解:求：角速度求：角速度 与摆角与摆角 的关系。的关系。系统受力：弹簧力系统受力：弹簧力F，重力，重力mg，支座约束反力支座约束反力F

44、Ox和和FOy。前两力。前两力为保守力，后两力不做功，系统为保守力，后两力不做功，系统的机械能守恒。的机械能守恒。初始时系统的动能初始时系统的动能21012OTJ初始时系统的势能初始时系统的势能10V (零势能位置零势能位置)(skip)22201110()222OOJJk b2220OkbJ2212OTJ221()2Vk b摆角为摆角为 时系统的动能时系统的动能摆角为摆角为 时系统的势能时系统的势能待求待求由由 有有2211VTVT解得解得与图与图13-18问题分析相似问题分析相似* *4. 4. 势力场的其他性质：势力场的其他性质：, , xyzVVVFFFxyz （1 1）势力在直角坐标

45、轴上的投影等于势能对于该坐标的）势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标的偏导数冠以负号。偏导数冠以负号。（2 2）势能相等的点构成等势面。）势能相等的点构成等势面。 （3 3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。12-6 12-6 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用动量、动量矩动量、动量矩 动能动能矢量，有大小方向矢量，有大小方向内力不能使之改变内力不能使之改变只有外力能使之改变只有外力能使之改变约束力是外力时对之有影响。不与约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。的

46、转化与损失。当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点当外力对定点O或质心的主矩为零或质心的主矩为零时系统对定点或者质心的动量矩守时系统对定点或者质心的动量矩守恒。恒。动量定理描述质心的运动变化动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。运动变化。非负的标量，与方向无关非负的标量，与方向无关内力作功时可以改变动能内力作功时可以改变动能只有作功能改变动能只有作功能改变动能理想约束不影响动能理想约束不影响动能可进行功能转化可进行功能转化应用时完全从功与能的观点出发应用时完全从功与能的观点出发在保守系中，机械能守恒在保

47、守系中，机械能守恒动能定理描述质心运动及相对质动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。心运动中动能的变化。例例: :已知已知 均质圆轮均质圆轮 m ，r ，R ，纯滚动纯滚动求求: :轮心轮心 C 的运动微分方程。的运动微分方程。ddsPmg vmgt ddsmgt dsindsmgt 222113,224CCCTmvJmv解解: :方法一、用功率方程求解方法一、用功率方程求解重力的功率重力的功率d(sin )dsmgt动能动能受力情况：重力受力情况：重力mg，摩擦力，摩擦力F，法向约束反力，法向约束反力FN后两力不做功，仅重力做功后两力不做功，仅重力做功1ddniiTPt22ddd

48、, , sin, dddCCvsssvtttRr22d20d3()sgstRrd3d2sin4ddCCvsmvmgtt 得轮心得轮心 C 的运动微分方程：的运动微分方程：ddTPt由功率方程由功率方程 ，得，得方法二、本题也可用机械能守恒定律求解。方法二、本题也可用机械能守恒定律求解。23()(1 cos ), 4CVmg RrTmvdd3()sin0d2dCCvmg Rrmvtt22ddd , ddd sinCCvvstRrttsRr又22d2 0d3()sgstRr得只有重力做功，系统为保守系统，机械能守恒。只有重力做功，系统为保守系统，机械能守恒。取质心的最低点取质心的最低点 O 为重力

49、场的零势能点。为重力场的零势能点。d()0dVTt由机械能守恒，得由机械能守恒，得即即例例: :已知两均质轮已知两均质轮 m，R；物块物块 m，弹簧刚度为弹簧刚度为 k，弹簧自重不弹簧自重不计，轮作计，轮作纯滚动，在弹簧原长处无初速释放。纯滚动，在弹簧原长处无初速释放。求：重物下降求：重物下降 h 时的时的 v、a 以以及滚轮与地面的摩擦力及滚轮与地面的摩擦力 Fs01T解解: 用动能定理用动能定理222222211 111 1()()22 222 2TmvmRmvmR重物下降重物下降 h 时，弹簧伸长时，弹簧伸长 2h初始时初始时重物下降重物下降h时，具有速度时，具有速度v两轮的角速度都为两

50、轮的角速度都为vR此时，系统动能为：此时，系统动能为：221(2 )22Wmghkhmghkh重物重物动能动能定滑轮定滑轮动能动能滚轮滚轮动能动能232mv将式将式(a)对对 t 求导求导dd3(4)ddvhmvmgkhtt21TTW(a)22322mvmghkh2(2)3mgkh hvm由动能定理由动能定理即即khmgma43注意：此处不能用平方后注意：此处不能用平方后求导求加速度，因含有求导求加速度，因含有h的二次方的二次方dd, ddvhavtt而而得得mkhga34314263smgFFmakh2d1()()d2svmRFF RtRkhF2其中弹簧力其中弹簧力对质心对质心 C 应用动量

51、矩定理应用动量矩定理d()( )dJM Ft为求摩擦力，取滚轮为研究对象。为求摩擦力，取滚轮为研究对象。注意：此时注意：此时TFmg因为有加速度因为有加速度TsFFFma由由122TFmgkh得得例例: 已知均质细长杆长为已知均质细长杆长为 l，质量为质量为 m，静止时竖立在光滑静止时竖立在光滑水平面上。杆受微小扰动而倒下。水平面上。杆受微小扰动而倒下。求求: 杆倒下刚到达地面时的角速度和地面约束力。杆倒下刚到达地面时的角速度和地面约束力。2cosCCvvCPl水平面光滑，杆在水平方向不受力，倒下过程中，质心将铅直下落。水平面光滑，杆在水平方向不受力，倒下过程中，质心将铅直下落。成任一角度成任

52、一角度 时时2221122CCTmvJ10T 铅直位置时铅直位置时P 为瞬心为瞬心其中其中2112CJml解解: 杆下落过程做平面运动。杆的动能杆下落过程做平面运动。杆的动能(平面运动的动能平面运动的动能)22222112211 123cosCCCTmvJmv代入代入 T2 表达式，得表达式，得132223cosCCCvglvvglll = 0时，上式简化为时，上式简化为22111(1 sin )23cos2Clmvmg由动能定理，由动能定理， ，得，得21TTW由此式也可看出，杆的质心不是自由落体运动。由此式也可看出，杆的质心不是自由落体运动。整个过程中只有重力做功。整个过程中只有重力做功。

53、对任何对任何 都成立都成立也可选取刚到达地面时为也可选取刚到达地面时为2时刻，则此时动能表达式为：时刻，则此时动能表达式为：2232Clmvmg也可选取刚到达地面时为也可选取刚到达地面时为2时刻，则此时动能表达式为：时刻，则此时动能表达式为：Av222222111122224CCCTmvJmvmlAvCACAvvv由速度的基点法由速度的基点法往铅垂方向投影，得往铅垂方向投影，得2ClvCA即即2Cvl从而从而222221122243CCTmvmlmv由动能定理，由动能定理， ，得，得21TTW2232Clmvmg132Cvgl其实此瞬时其实此瞬时A为速为速度瞬心，水平方向度瞬心，水平方向投影，得投影，得vA= 0vC与 都是未知量CAvCv由由(a), (b), (c) 得得4mgFNtnCACACAaaaa由加速度的基点法由加速度的基点法tCCAaa、nACAaa、其中其中: : 铅直铅直 水平水平2laatCAC(c)(a)CNmmFga (b)21122CNlJmlF为求力，由刚体平面运动的微分方程，得为求力，由刚体平面运动的微分方程，得水平方向不受力，故水平方