解线性方程组的解法

1、关于解线性方程组的解法第一页，共28页幻灯片2 线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：第二页，共28页幻灯片3线性方程组 通解基础解系解的结构极大线性无关组线性相关、线性无关线性表示、线性组合向量解的关系阶梯阵，得同解方程组求解方

2、法：消元法，有非零解，只有零解，无解，有无穷多解，有唯一解解的判定)()()()()()()()()(AAAOAxAAAAAAAxnrnrrrnrrnrr第三页，共28页幻灯片43.1 消元法第一章讨论了含n个方程的n元线性方程组的求解问题.下面我们讨论一般的n元线性方程组(system of linear equations)mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（3.1） 写成矩阵形式为Ax 其中mnamamaaaaaaann212222111211Amnbbbxxx2121, x第四页，共28页幻灯片5分别称为方程组（3.1

3、）的系数矩阵(coefficient matrix)、未知量矩阵和常数项矩阵. 当 时，称 为n元齐次线性方程组；当 时，称 为n元非齐次线性方程组. 并称T)0 , 0 , 0( OOAx O Ax mnnbbbmnamamaaaaaaa21212222111211),(AA为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.如果 可以使（3.1）中的每个等式都成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解nncxcxcx,221

4、1Tnccc),(21x第五页，共28页幻灯片6集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求出它的全部解. 消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组. 在中学代数里我们学过用消元法求解二元或三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更多未知量或方程的线性方程组. 为此，先看一个例子.第六页，共28页幻灯片7

5、例1 解线性方程组452462213232131321xxxxxxxx) 3() 2() 1 (解 原方程组 2451323232321)1 (2)3()1 ()2(xxxxxxx) 5 () 4() 1 (183562233231)4(4)5()4()1(xxxxx)7()4()6(65333231)7(31)6(21xxxxx619321)9()4()9()8(xxx)9()4()8(显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组）同解，所以原方程组有唯一解 6, 1, 9321xxx第七页，共28页幻灯片8 由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交

6、换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上.称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将例1的求解过程写成矩阵形式：第八页，共28页幻灯片9 21405110131245246202131213122rrrrA 610051103101183005110620231232131

7、214rrrrrr 6100101090013231rrrr所以原方程组有唯一解 6, 1, 9321xxxT)6, 1, 9(x即第九页，共28页幻灯片10一般地，不妨设线性方程组（3.1）的增广矩阵可通过适当的初等行变换化为阶梯形矩阵000000000000000001000100011122121111rrrnrrnrnrddccdccdccA因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程组（3.1）的系数矩阵 与增广矩阵 的秩分别为AA第十页，共28页幻灯片11rr)(A.0, 10,)(11时当时，当rrdrdrr A与 由线性方程组的初等变换不改变线性方程组的同解性可知：线性方程组（

8、3.1）与阶梯形方程组1112211221111110rrnrnrrrrnnrrnnrrddxcxcxdxcxcxdxcxcx（3.2） 同解，且其解有三种情形：情形1，当 ，即 时，方程组（3.1）无解.情形2，当 ，即 时，方程组（3.1）有唯一解01rd)()(AArrnrdr, 01nrrr)()(AATnddd),(21x第十一页，共28页幻灯片12情形3，当 ，即 时，方程组（3.2）可变成nrdr, 01nrrr)()(AAnrnrrrrrnnrrnnrrxcxcdxxcxcdxxcxcdx11211222111111其中 在相应数域上可任意取值，称为自由未知量，以下我们在实数域

9、R上讨论，任意给定自由未知量一组值： 代人可求得 的相应值，把这两组数合并起来就得到方程组（3.1）的一个解，因此方程组（3.1）有无穷多个解，其一般解为 nrrxxx,21rnnrrkxkxkx,2211rxxx,21第十二页，共28页幻灯片13nrnrrrrrnnrrnnrrxcxcdxxcxcdxxcxcdx11211222111111（ 为自由未知量） nrrxxx,21或rnnrrnnrrrrrnnrkxkxkckcdxkckcdx1111111!111),(1Rrnkk 综上所述，我们可得以下重要定理.第十三页，共28页幻灯片14定理3.1（线性方程组有解判别定理） 线性方程组 有

10、解的充要条件是它的系数矩阵 与增广矩阵 等秩，即 Ax A),(AA ),()()(AAArrr推论3.1（解的个数定理） （1）n元线性方程组 有唯一解的充要条件是 .Ax nrr),()(AA（2）n元线性方程组 有无穷多解的充要条件是 . 此时它的一般解中含 个自由未知量.Ax nrrr),()(AArn（3）n元线性方程组 无解的充要条件是 .Ax ),()(AArr 由于上述讨论并未涉及常数项 的取值，因此对 时的n元齐次线性方程组mbbb,21021mbbb第十四页，共28页幻灯片15000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(

11、3.3) 即 ，显然有 ，由定理3.1可得下述定理.OAx )()(AArr定理3.2 （1）n 元齐次线性方程组 只有零解的充要条件是它的系数矩阵 的秩 .（2）n元齐次线性方程组 有非零解的充要条件是它的系数矩阵 的秩 .OAx OAx nr)(Anr)(AAA推论3.2 （1）n 个方程的n元齐次线性方程组只有零解的充要条件是它的系数行列式 .（2）n个方程的n元齐次线性方程组 有非零解的充要条件是它的系数行列式 .OAx 0AOAx 0A第十五页，共28页幻灯片16（3） 若n元齐次线性方程组中方程个数m小于未知量个数n，则它必有非零解.书例 解线性方程组215928232342532

12、432143214214321xxxxxxxxxxxxxxx解 对方程组的增广矩阵 作初等行变换，有 A215921823213104251321A 2661200133600133600513211413122rrrrrr第十六页，共28页幻灯片170000000000613211002321021231232461212rrrrrrr所以同解方程组为613212321243421xxxxx一般解为434212161321223xxxxx（ 为自由未知量） 42,xx123150063130063130012626第十七页，共28页幻灯片18或1122132423122213162xkkxk

13、xkxk),(21Rkk注 自由未知量的选取不唯一，如例2中， 可化为A00000000003131200320121A所以一般解为343212313232xxxxx（ 为自由未知量） 32,xx第十八页，共28页幻灯片19例3解线性方程组.2875342622321321321 xxxxxxxxx解 2817534216122),(bA 3 4 21 0 9 6 0 31 91 17 0 3 4 21 0 32 0 31 8 10 3 4 21 31 8 10 62 13 0 0 解得唯一解.23 x,32 x,11 x第十九页，共28页幻灯片20例4解线性方程组解 322122351311

14、321),(bA . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx 1 13 21 20000104501132110 45 0 1 0 45 0 最后一个为矛盾方程组,20 故方程组无解.第二十页，共28页幻灯片21例5t 为何值时线性方程组 解 324622432132131txxxtxxxtxx有解? 并求解. 324162214101tttA,100023210101 ttt 3421023210101ttt当当1 t时时，2)()( ArAr, , 方程组有无穷多解。第二十一页，共28页幻灯片22例6解线性方程组 解.0334506220323054

15、32154325432154321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知个数，故必有非零解。只需对系数矩阵施以初等行变换。 13345622103112311111A 143253rrrr 62210622106221011111第二十二页，共28页幻灯片23 62210622106221011111,00000000006221011111 2332rrrr24rr 123.ccc其中 、 、 任意取值求得全部解为 35cx 3212622cccx 24cx 13cx 32115cccx 第二十三页，共28页幻灯片24例7下面的线性方程组当a、b为

16、何值时有解？在有解解的情况下，求出全部解。 bxxxxaxxxxxxxxxxxx4321432143214321574227212 baA511742272111111112 1426601439903133021111ba第二十四页，共28页幻灯片25 1426601439903133021111ba,800005000013111021111 ba当当8, 5 ba时时，有有解解。 此时一般解为 241321221311321cxcxccxcx.21任意任意、，其中，其中cc第二十五页，共28页幻灯片26例8当a、b为何值时，线性方程组解 4234321321321xbxxxbxxxxax无解?有唯一解?有无穷多解?有无穷多解时求出全部解。 1211111bbaA , )1( ab12010111bba 当当1