第四章 连续信号与系统的复频域分析(48学时).

1、第四章第四章 连续信号与系统的复频域分析连续信号与系统的复频域分析 拉普拉斯变换拉普拉斯变换; 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质; 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换; 拉普拉斯与傅里叶变换的关系拉普拉斯与傅里叶变换的关系; 连续连续LTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法; 连续连续LTI系统的复频域系统函数系统的复频域系统函数;4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的定义一、拉普拉斯变换的定义1、从傅氏变换到拉氏变换、从傅氏变换到拉氏变换f (t)不满足绝对可积不满足绝对可积f1(t)= f (t) e t构造新函数构造新函数-t-jt1-(+ j)t-F (j)=f(t)eed

2、t=f(t)edt = F(+ j)-t-jt1-(+ j)t-F (j)=f(t)e edt=f(t)edt = F(+ j)( )( )stF sf t edt令令1( )( )2jstjf tF s e dsj 1( )()2tj tf t eFje d()1( )()2jtf tFjed拉普拉斯变换对：拉普拉斯变换对：1( )( )2jstjf tF s e dsj ( )( )stF sf t edt拉普拉斯正（拉普拉斯正（LT）变换）变换拉普拉斯拉普拉斯反反(ILT)变换变换 LT是广义的是广义的FT，扩大了，扩大了信号变换的范围信号变换的范围； 复变量复变量s是频率是频率的拓展，

3、使的拓展，使f(t)的傅立叶反变换中的傅立叶反变换中沿虚轴沿虚轴j的的积分拓展到了拉斯反变换中沿积分拓展到了拉斯反变换中沿平行虚轴平行虚轴j的积分；的积分； 2、双边拉斯变换的收敛域、双边拉斯变换的收敛域ROC (Region of Convergence)若若f(t)e-t 绝对可积，则绝对可积，则 f(t) 的双边拉普拉斯变换一定存在。的双边拉普拉斯变换一定存在。满足满足f(t)e-t 绝对可积的绝对可积的的取值范围条件的取值范围条件，称，称LT的收敛域的收敛域 。求收敛域的方法，满足下列式子的求收敛域的方法，满足下列式子的的取值：的取值： 例例 4-1( )( )(0)tf tet求收敛

4、域（求收敛域（ROC）。）。解：解：j0=0?须满足须满足: 0收敛域收敛域发散域发散域S S平面平面收敛收敛边界边界)()(tetftROC?( )( )()ttf tetetROC?3、单边拉普拉斯变换、单边拉普拉斯变换l 无时限信号的时间域为无时限信号的时间域为( -，），其），其LT叫做叫做双边拉氏变换双边拉氏变换。l 有始有始(因果因果)信号信号（实际应用），（实际应用），LT的积分从的积分从 t= 0 开始，即：开始，即：0( )( )stF sf t edt( )( )stF sf t edt双边双边LT单边单边LT包含包含t=0时刻的冲时刻的冲激及其各阶导数激及其各阶导数t=0

5、时刻，没有冲时刻，没有冲激及其各阶导数激及其各阶导数4、拉普拉斯变换的物理意义、拉普拉斯变换的物理意义结论：结论：LT是将任意非周期信号是将任意非周期信号f(t)分解为无限多个微元变幅正弦震荡信号分解为无限多个微元变幅正弦震荡信号的连续和。的连续和。deeejFdsesFjtftjtjjjst)(11| )(|21)(21)(011)(cos| )(|tdejFt0)(10)(111| )(|21| )(|21deeejFdeeejFtjtjtjtj0)(10)(111| )(|21| )(|21deeejFdeeejFtjtjtjtj5、典型信号的拉氏变换、典型信号的拉氏变换（1）冲激信号）

6、冲激信号).( )( )( )1af ttF s00).()stbtte).( )( )( )1af ttF s( )( )( )( )nnf ttF ss ( )1FTt00 ()jtFTtte( )FTtj()( )()nnFTtj(2) (2) 单位阶跃信号单位阶跃信号1( )( )( )f ttF ss对于单边对于单边LT 11( ) tsL LL L(3) 单边单边t 的正幂信号的正幂信号1!( )( )( )nnnf tttF ss1 ( )()FTtj （4 4）单边指数信号）单边指数信号1( )( )( )tf tetF ss( )?tFT et0( )?jtFT et（5 5

7、）单边正弦信号）单边正弦信号0220( )cos( )( )sf tttF ss 00220( )sin( )( )f tttF ss 000cos() ()()FTt 000sin() ()()FTtj （6 6）单边衰减正弦信号）单边衰减正弦信号0220()( )cos( )( )()tsf tettF ss 00220( )sin( )( )()tf tettF ss （7 7）单边双曲函数）单边双曲函数22( )c( )sf th tF ss22( )s( )f th tF ss22( )s( )( )()tf teh ttF ss 22()( )( )( )()tsf tech tt

8、F ss c2tteeh t2tteesh t4.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质一、线性性质一、线性性质若：若：1122( )( )( )( )f tF sf tF s则：则：1212( )( )( )( )af tbf taF sbF s二、尺寸压扩性质（比例性）二、尺寸压扩性质（比例性）( )( )f tF s若：若：则：则：1()( )sf atFaa(0)a 注意：注意： a0 ，因为，因为 f(t) 是有始信号，若是有始信号，若 a=-1 ， 则则 f (-t)在在 t 0 的时间区间为的时间区间为零，因而其单边拉氏变换将为零。如图所示零，因而其单边拉氏变换将为零。如图所示()()

9、0f atf atL Lt0三、时延性质三、时延性质( )( )f tF s若：若：则：则：000() ()( )stf ttttF s e0(0)t 则：则：00)(1)()(0000taeasFatattatfsat则：则：F(s)为第一个周期内信号的为第一个周期内信号的LT因果周因果周期信号期信号FT时移性时移性质质例例 4-2求下列波形的单边拉氏变换。求下列波形的单边拉氏变换。( )f tt0t( )f tt0( )tt( )f tt00() ( )ttt( )f tt000() ()tttt解：解： （1 1）21ts21( )tts（2 2）00021() ( )( )( )ttt

10、tttttss（3 3）00021() ()stttttes（4 4）例例 4-3求下列信号的拉氏变换。求下列信号的拉氏变换。解：解：（1 1）( )(22)f tt1ses（1 1）2329sses（2 2）（2 2）( )cos(32) (32)f ttt四、复频移性质四、复频移性质( )( )f tF s则：则：00( )()s tf t eF ss若：若：时域里时域里 f(t) 乘以乘以 相当于复频域里相当于复频域里F (s) 发生了发生了 移位。移位。 0s te0s0( )()jtf t eF jjFT频移性频移性质质例例 4-4( )( )f tF s求：求：0( )cos?f

11、tt 已知已知0( )sin?f tt0001( )cos ()()2f ttF sjF sj0001( )sin ()()2f ttF sjF sjj0001( )cos ()()2FTf ttF jjF jj0001( )sin ()()2FTf ttF jjF jjj傅立叶傅立叶变换变换五、时域微分性质五、时域微分性质( )( )f tF s若：若：则：则：( )( )( )(0 )df tftsF sfdt推论：推论：)0(.)0()0()()()()1(21)()(nnnnnnffsfssFsdttfdtf)0()()(110qqnnqnfssFs如果如果f(t)为为因果信号因果信号

12、)(sFsn( )() ()f tjF jFT频移性频移性质质例例 4-5120( )( )( )10ttetf tf tett求求 的拉氏变换。的拉氏变换。12( )( )f tft和1( )f tt012( )f tt01120( )( )( )10ttetf tf tett六、时域积分性质六、时域积分性质( )( )f tF s若：若：则：则：则：则：如果如果f(t)为为因果信号因果信号dftfktk)()(0kkssFsF)()(0)1(|)()0(ttdffsfssFsGdft)0()()()()1(例例 4-64-6求求 的拉氏变换。的拉氏变换。( )( )ntttt和解：解：21

13、11( )ttsss01( )( )( )ttdts 又01( )( )!ntndttn 1 ( )!( )!nnnLTtnttnss七、复频域微积分性质七、复频域微积分性质f(t)F(s)若：若：则：则：dF(s )( t )f (t )ds1、复频域微分性质、复频域微分性质推论：推论：nnnd F(s( t ) f (t )ds）()() ( )dF jjt f tdFT频域微频域微分分例例 4-73t(t )? ( )?ntt2、复频域积分性质、复频域积分性质( )( )f tF s若：若：则：则：( )( )sf tFdt八、卷积定理八、卷积定理1 1、时域卷积定理、时域卷积定理111

14、( )( )f tF s 若：若：则：则：1212( )( )( )( )f tf tF s F s222( )( )f tF s Re(s)max(1,2)2、复频域（、复频域（s域）卷积定理域）卷积定理若：若：则：则：积分路线积分路线= c时时F1()和和F2(s -)的收敛域重叠部分内与虚轴平行的的收敛域重叠部分内与虚轴平行的直线。这里对积分路线的限制较严，积分复杂，应用较少。直线。这里对积分路线的限制较严，积分复杂，应用较少。12121( )( )( )( )2f tf tF sF sj=九、初值定理九、初值定理( )( )f tF s若：若：则：则：0(0 )lim( )lim( )

15、tsff tsF slim( )ssF s且且存在存在 条件：条件：F(s)为真分式为真分式例例 4-8已知已知 ，试求初始值，试求初始值 f (0+) 。 ( )1sF ss应用初值定理的条件：应用初值定理的条件：F(s)为真分式为真分式； F(s)F(s)不是真分式，即不是真分式，即f(t)f(t)在在t t0 0处含有冲激及其导数，将处含有冲激及其导数，将F(s)F(s)转化为真分式，转化为真分式，去掉去掉t=0t=0时刻的冲激及其导数，因为是求时刻的冲激及其导数，因为是求f(0f(0+ +) )的值。的值。例例 已知已知 ，试求，试求 f (0+)23( )(1) (2)sF sss解

16、：解：2(3)(0 )lim( )lim0(1) (2)sss sfsF sss(0 )lim( )lim11sssfsF ss十、终值定理十、终值定理( )( )f tF s若：若：则：则：0( )lim( )lim( )tsff tsF s 1、终值定理、终值定理lim( )tf t且且存在存在 2、终值、终值 f () 存在的复频域判定条件存在的复频域判定条件 该信号对应的拉氏变换该信号对应的拉氏变换 F(s)所有极点均位于复平面的左半平面所有极点均位于复平面的左半平面或者在原点上只有单极点。如图所示：或者在原点上只有单极点。如图所示：j0例例 4-9已知已知 ，试求，试求 f ()。

17、23( )(1) (2)sF sss解：解： F(s) 有三个极点，分别是有三个极点，分别是 均符合终值均符合终值存在的条件。故存在的条件。故1231;2sss 200(3)( )lim( )lim0(1) (2)sss sfsF sss 总结：常用信号的总结：常用信号的LT和和LT的性质的性质)()(ttf1)(sF)()(ttfssF)()()(tetftssF1)()()(ttfssF1)()()(0tetftj01)(jssF)()cos()(0tttf202)(sssF)()(tchtf22)(sssF)()sin()(0tttf2020)(ssF)()(tshtf22)(ssF总结

18、：常用信号的总结：常用信号的LT和和LT的性质的性质9.9.时域卷积：时域卷积：)()()(2121sFsFtftf）（10.s10.s域卷积域卷积: :)()(21)(2121sFsFjtftf）（1.1.线性：线性：)()(sFtf3.3.时移性：时移性：0)()()(00stesFttttf4.4.复频移：复频移：)()(00ssFetfts2.2.压扩性：压扩性：)(1)(asFaatf11.11.初值定理：初值定理：5.5.时域微分：时域微分：1( )1( )0( )( )(0 )nnnnqqqfts F ssf 6.6.时域积分时域积分: :sfssFtf)0 ()()() 1()

19、 1(7.s7.s域微分：域微分：8.s8.s域积分域积分: :sdFttf)()(nnndssFdtft)()()()(lim)0(ssFfs12.12.终值定理：终值定理：)(lim)(0ssFfs1212( )( )( )( )af tbf taF sbF s4.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换一、部分分式展开法一、部分分式展开法F(s) 常为有理函数的形式常为有理函数的形式 ，可表示为两个，可表示为两个s的多项式之比的多项式之比11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbN sF sD sa sasa saan、bm 为实数；为实数； m 和和 n 是正整数。是正

20、整数。( )( )( )N sF sD s21012( )( )mnmnNsBB sB sBsD s1、当、当 m n ，F(s)是假分式，可用长除法化成多项式是假分式，可用长除法化成多项式+真分式形式真分式形式例：例：322232714( )3511ssssF ssssss 353 ( ) 5 ( )stt 其中：其中：如何求如何求解？解？（1）若）若D(s)=0 的根为实数根且无重根，即的根为实数根且无重根，即 F(s) 具有单极点具有单极点 。2、当、当 m0) j0因果信号在一定条件下可从拉氏变换求出傅立叶变换因果信号在一定条件下可从拉氏变换求出傅立叶变换结论：信号的傅氏变换不存在结论

21、：信号的傅氏变换不存在；ssF1)()( )sjF jF s j 02、若、若 F(s) 的极点位的极点位于于s平面左半面平面左半面如如 ：f(t) = e- t(t) ( 0)ssF1)(结论：信号的傅氏和拉氏变换都存在结论：信号的傅氏和拉氏变换都存在；1()F jj3、若、若 F(s) 的极点的极点位于虚轴位于虚轴j0例：例：1 ( )LTts1 ( )( )FTtj (1) Fb(s) 的极点是位于的极点是位于 j 轴的单极点轴的单极点11( )( )( )knnjtkbbkkkkKF sf tK etsj11()()nbkkkkF jKjj 11()()nbkkkkFjKjj nkkk

22、jsnkkkKjsK11)(|nkkkjsKsFjF1)(| )()(21( )(9)F ss s例：例：求求()F j(2) Fb(s) 的极点是位于的极点是位于 j 轴上的轴上的 j 1处有处有n 重极点（了解）重极点（了解）niiinnnnbjsKjsKjsKjsKsF111111111111)()(.)()()(）（)()!1()()()()!1()(1)1(111111111iiiiitjiiiiijKjjKteitKjsKniiiijsijKjFjF01)1(11)()!1()(| )()(4.5 连续连续LTI系统的复频域分析法系统的复频域分析法 一、任意信号一、任意信号f(t)

23、激励下的零状态响应激励下的零状态响应( )( )* ( )zsytf th t时域卷积定理时域卷积定理( )( )( )( )( )( )zsfYsytf th tF s H sL LL L( )( )( )( )( )( )zsfYsytf th tF s H sL LL L求解任意信号求解任意信号f(t)激励下零状态响应的一般步骤：激励下零状态响应的一般步骤： 求系统输入信号的单边拉普拉斯变换求系统输入信号的单边拉普拉斯变换F(s)； 求系统函数求系统函数H(s)； 求零状态响应的单边拉普拉斯变换求零状态响应的单边拉普拉斯变换Yzs(s)=F(s)H(s)； 求的单边拉普拉斯逆变换求的单边

24、拉普拉斯逆变换yzs(t)=L-1 Yzs(s) = L-1 F(s)H(s);例：例：巳知巳知LTI连续系统输入信号为连续系统输入信号为f1(t)=e-t(t)时，零状态响应时，零状态响应 yZS(t)= e-t- e-2t (t) 。若输入为。若输入为f2(t)=cost(t) ，求系统的零状态响应。，求系统的零状态响应。 解解: : f1(t)、yzs(t)和和f2(t)的单边拉氏变换分别为：的单边拉氏变换分别为：11( )1F ss1111( )12(1)(2)zsYsssss11( )1( )( )2zsYsH sF ss22( )1fsYss22221( )( )( )2121fs

25、ABsCYsF s H sssss22221( )( )( )2121zssABsCYsF s H sssss22221211( )()525151fsYssss 1222221( )( )(cossin ) ( )555tzszsytYsettt L L二、微分方程的复频域解二、微分方程的复频域解1、给定微分方程求解、给定微分方程求解1)()(0)(0)(nmjjjniiiatfbtya10)(1010)(10)0()()0()(jqqqjmjjjiqqqiniiifssFsbyssYsaniiiiqqqiniiniiinjjjsaysasFsasbsY010)(1000)0()()(如果如

26、果f(t)为因为因果信号果信号零状态响应零状态响应Yzs(s)零输入响应零输入响应Yzi(s)系统函数系统函数H(s)例例已知已知:( )5 ( )6 ( )2( )8 ( )y ty ty tf tf t( )( ),(0 )3,(0 )2( )tf tetyyy t求。求求y(t)解：解：对微分方程两边取拉氏变换有：对微分方程两边取拉氏变换有：2( )(0 )(0 ) 5( ) 5 (0 )s Y ssyysY sy6 ( )2( )8 ( )Y ssF sF s复频域的系统函数复频域的系统函数H(s)22( )( )(5) (0 )(0 )(28)( )( )5656fxYsYssyys

27、Y sF sssss ( )zsYs( )ziYs2(28)1341( )561123zssYsssssss23( )( )( )3770tttzsziy tytyteeet23( )(34) ( )tttzsyteeet23( )1180ttziyteet223(5)2317118( )565623zissY sssssss三、电路的复频域分析三、电路的复频域分析时域模型时域模型s模型模型电路理论相关定律分析电路理论相关定律分析输出响应的输出响应的LTILT得到时域响应得到时域响应重点分析重点分析1、基本电路元件的、基本电路元件的s域模型域模型 电阻元件电阻元件时域模型和伏安关系时域模型和伏

28、安关系s域模型和伏安关系域模型和伏安关系( )( )u tRi tG( )I s( )U s( )( )I sGU s电导电导 电感元件电感元件L( )Lut( )Li t( )LIs(0 )Lis导纳导纳时域模型和伏安关系时域模型和伏安关系sL( )LIs(0 )LLi电感阻抗电感阻抗s域模型和伏安关系域模型和伏安关系电压源电压源电流源电流源C( )cu t( )ci t 电容元件电容元件dttduCticc)()(时域模型和伏安关系时域模型和伏安关系1sC( )cUs( )cIs(0)cus( )(0 )( )cccIsuUssCs电容阻抗电容阻抗( )( )(0 )cccIsCsUsCusC( )cUs( )cIs(0 )cCus域模型和伏安关系域模型和伏安关系电容导纳电容导