第八章 剪切与扭转

1、FF1.1.剪切的概念剪切的概念 FF在力不很大时，两力作用线之间的一微段，由于错动而发生歪斜，原来的矩形各个直角都改变了一个角度 。这种变形形式称为剪切变形， 称为切应变或角应变。受力特点：受力特点：构件受到了一对大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近的外力。变形特点：变形特点：在力作用线之间的横截面产生了相对错动。8.1 剪切的概念及实例8.1 剪切的概念及实例 2剪切虎克定律： 公式表示剪应力与剪应变成正比，比例系数G称为剪切弹性模量 剪应力在截面上的分布较复杂，为分析简单起见，我们假设平均分布，定义了平均剪应力，如公式所示： 8.1 剪切的概念及实例PP铆钉PP无间隙m轴键齿轮螺栓F

2、8.2.1.8.2.1.剪切的实用计算剪切的实用计算 切力切力F FQ :Q :剪切面上分布内力的合力。剪切面上分布内力的合力。F用截面法计算剪切面上的内力。FFmmF FQ QF FQ QFFQ 切应力切应力 切应力在截面上的实际分布规律比较复杂，工程上通常采用“实用计算法”，即假定切力在剪切面上的分布是均匀的。所以 :AFQM Pa构件在工作时不发生剪切破坏的强度条件强度条件为: AFQ 为材料的许用切应力，是根据试验得出的抗剪强度 除以安全系数确定的。b工程上常用材料的许用切应力，可从有关设计手册中查得。一般情况下，也可按以下的经验公式确定： 塑性材料塑性材料: : (0.6(0.60.

3、8) 0.8) 脆性材料脆性材料: : (0.8(0.81.0) 1.0) ll1.1.挤压的概念挤压的概念 构件发生剪切变形时，往往会受到挤压作用，这种接触面之间相互压紧作用接触面之间相互压紧作用称为挤压。 构件受到挤压变形时，相互挤压的接触面称为挤压挤压面面( (A j y ) )。作用于挤压面上的力称为挤压力挤压力( (F j y y ) )，挤压力与挤压面相互垂直。如果挤压力太大，就会使铆钉压扁或使钢板的局部起皱 。FF8.2 8.2 挤压的实用计算挤压的实用计算 7.2.2.7.2.2.挤压的实用计算挤压的实用计算当构件承受的挤压力F Fbsbs过大而发生挤压破坏时，会使联接松动，构

4、件不能正常工作。因此，对发生剪切变形的构件，通常除了进行剪切强度计算外，还要进行挤压强度计算。 挤压应力挤压应力: : “实用计算法”，即认为挤压应力在挤压面上的分布是均匀的。故挤压应力为 :bsbsbsAFM PaF Fbsbs为挤压力（为挤压力（N）；）；A Absbs为挤压面积（为挤压面积（ ） 2mm当挤压面为半圆柱侧面时，中点的挤压应力值最大，如果用挤压面的正投影面作为挤压计算面积，计算得到的挤压应力与理论分析所得到的最大挤压应力近似相等。因此，在挤压的实用计算中，对于铆钉、销钉等圆柱形联接件的挤压面积用 来计算。tbs dAtd为了保证构件局部不发生挤压塑性变形，必须使构件的工作挤

5、压应力小于或等于材料的许用挤压应力，即挤压的强度条件强度条件为 :bsbsbsAF bsM Pa塑性材料塑性材料: : (1.5(1.52.5) 2.5) 脆性材料脆性材料: : (0.9(0.91.5) 1.5) 材料的许用挤压应力，是根据试验确定的。使用时可从有关设计手册中查得，也可按下列公式近似确定。 bsbsll例：在厚度 的钢板上欲冲出一个如图所示形状的孔，已知钢板的抗剪强度 ，现有一冲剪力为 的冲床，问能否完成冲孔工作? mm5MPab100kN100810解： 完成冲孔工作的条件：AFQb由平衡方程：FQ = 100KNA = 8 x 5 x 2 + 3.14 x 5 x 2 x

6、 5 = 237 mm2= 100KN / 237 mm2= 422 M Pab 所以，该冲床能完成冲孔工作。解：受力分析如图例例4 一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为 t=1cm，宽度 b=8.5cm ，许用应力为 = 160M Pa ；铆钉的直径d=1.6cm，许用切应力为= 140M Pa ，许用挤压应力为bs= 320M Pa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。） 4PFFsbPPttdPPP11 2233P/4钢板的2-2和3-3面为危险面切应力和挤压应力的强度条件 MPa8 .136106 . 114. 3110722dPAFs MPa7 .15510)

7、 6 . 125 . 8 (41103)2(4372dbtPbsbsbstdPAFMPa9 .171106 . 11411047 MPa4 .15910) 6 . 15 . 8 (1110)(73dbtP综上，接头安全。ttdPPP11 2233P/4轴：轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。受力特点：受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶.ABOmmOBA变形特点：变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线螺 旋线扭转变形）8-3 扭转的概念及实例扭转角扭转角(相对扭转角相对扭转角)（）：）：任意两横截面绕轴线转动而 发生

8、的角位移。剪应变剪应变(切应变切应变)（）：直角的改变量。mmOBA8-3 扭转的概念及实例工工 程程 实实 例例一、外力偶矩一、外力偶矩 m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.m其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）1kW = 1000Nm/s = 1.36PS 使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外力对杆轴的力矩。传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：8-4 扭转的计算，扭矩图3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： 从截面的外法线向截面看，逆时针转为正，顺从截面的外法线向截面看，逆时针转为正，顺时

9、针转为负。时针转为负。 或者或者“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则旋法则 为正，反之为负。为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图mmmTmTmTmx00 x1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩8-4 扭转的计算，扭矩图例例已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911

10、nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.mnA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN376 , 0 4243.mTmT求扭矩求扭矩: 任意截面的扭矩任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段数值上等于截面一侧轴段所有外力偶矩的代数和所有外力偶矩的代数和. 转向与这些外力偶矩的合力转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反偶矩之转向相反.绘制扭矩图

11、绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。8-5 圆轴扭转时的应力和变形2.实验后：实验后：圆周线的大小、形状、圆周线的大小、形状、间距不变；间距不变； 纵纵向线变成斜直线，向线变成斜直线，倾倾角相同。角相同。3.结论：结论：各圆周线的间距均未改变各圆周线的间距均未改变横截面上无正应力横截面上无正应力.圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴

12、线作了相对圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对转动转动周向无正应力周向无正应力 纵向线倾斜纵向线倾斜横截面上有切应力横截面上有切应力. 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 切应力均匀分布切应力均匀分布. 圆轴横截面应力圆轴横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1. 横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆轴扭转实验观察：一、等直圆轴扭转实验观察：8-5 圆轴扭转时的应力和变形二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：二、等直圆轴扭

13、转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。2. 物理关系：物理关系：胡克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 距圆心等距离处的切应力相等3. 静力学关系：静力学关系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pIT单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出

14、，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。AIApd2对于实心圆截面：DdO202d2 D32424204DD对于空心圆截面：AIApd2)(DddDOd222d2 Dd)1 (32 44D)(32 44dD 三、扭转时的变形三、扭转时的变形由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段等截面杆两截面间一段等截面杆两截面间相对扭转角相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp单位单位: 弧度弧度(rad)8-5 圆轴扭转时的应力和变形一、圆轴扭转时的强度条件一、圆轴扭转时的强度条件强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxdmaxWT( 称为许用

15、切应力。)）（空：实：433 d116 16 DDW静载下静载下: = ( 0.5 0.6 ) ( 钢钢 ) = ( 0.8 1.0 ) ( 铸铁铸铁 )8-5 圆轴扭转时的强度与刚度条件单位扭转角单位扭转角q q：(rad/m) dd pGITx q/m)( 180 dd qpGITx 或二、刚度条件二、刚度条件 (rad/m) maxqpGIT /m)( 180 maxqpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。q q称为许用单位扭转角。 例例 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用切应力 =30M Pa, 试校核其强度。nPmTBC55. 9m)(kN55. 1m)(kN604 .1515055. 9Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxMPa231607. 01055. 133maxtWT 例例 长