塑性复习部分

1、弹塑性力学总复习杨海天2014年6月 逻辑与论据的训练逻辑与论据的训练 物理理解与数学表达的统一塑性力学部分塑性变形：完全卸载后的不可恢复的永久变形。塑性力学：主要是研究物体发生塑性变形的条件以及发生塑性变形后应力、应变、位移的分布规律。目的：提高承载力 利用（成型、吸能） 控制引子引子与线弹性问题相比： 1. 发生塑性变形的条件2. 塑性变形后的应力应变关系3.求解弹塑性偏微分方程边问题 难度加大 基本假设：1.时间 温度无关 不考虑粘塑性 热塑性2.无限韧性 不考虑塑性断裂 3. 初始各向同性 4.卸载和后继屈服产生塑性变形后卸载，服从弹性规律 ，重新加载后的屈服应力（后继屈服应力）等于卸

2、载前的应力。重新加载达到屈服后的 曲线是卸载前 曲线的延长线引子引子 引子引子stEEE0两个重要实验（金属）静水压力实验：1. 体积变形 弹性 -静水压力 线性 2. 静水压力与塑性行为无关结论对岩土等材料不适用6. 静水压力只产生弹性的体积变形5. 总成立ep 7. 引子引子引子引子单向拉伸实验 屈服：现象：材料出现应力基本保持不变而应变显著增加的阶段 初始屈服 后继屈服强化: 应变增加必须增加应力 卸载后再加载屈服强度提高()( ,)psHh0 卸载 弹性规律引子引子加卸载准则 大于零 加载 小于零 卸载d d tdE d dE d 反向加载： Bauschinger效应引子引子引子引子

3、特点：1.应力应变关系非线性 2. 应力应变关系非单值性3.塑性功具有不可逆性 在一个加载卸载的循环中，外力功恒大于零（为塑性变形所耗）挑战：分支点的判断 非线性的本构关系 变形路径的追踪引子引子由单向拉伸曲线抽象出的简单物理模型理想弹性理想钢塑性刚-线性强化理想弹塑性弹-线性强化经验公式nYH nH 引子引子引子引子强化模型等向强化*()pd 由拉伸实验得出随动强化s ()pH 组合强化* 引子引子引子引子轴向拉伸时的塑性失稳真实应力对数应变TPAln()ln()0ll0ldll1ll 可加性012nl , l , l .l,.lll12n lli 可比性.ln()ln()00002l0 5

4、lll 引子引子利用体积不变假定lTe 失稳点0TTl 三三杆桁架的弹塑性分析杆桁架的弹塑性分析平衡方程 位移-应变方程 本构方程 （全量或增量）屈服条件 三三杆桁架的弹塑性分析杆桁架的弹塑性分析加载时的弹塑性分析弹性阶段 位移法 确定首先屈服的杆件 弹性极限载荷约束弹塑性阶段 继续加载 进入塑性区的杆件 建立增量方程求出塑性极限载荷。观察 曲线三三杆桁架的弹塑性分析杆桁架的弹塑性分析P 三三杆桁架的弹塑性分析杆桁架的弹塑性分析卸载*esPPP以 计算弹性解 *P,iiiu 反向叠加于,iiiu 求得,000iiiu 自平衡自协调0i0i0iu三三杆桁架的弹塑性分析杆桁架的弹塑性分析强化模型进

5、入塑性后的本构不同大变形的影响平衡方程参考即时构型 应变-位移 采用对数应变变形路径的影响 类似的弹塑性求解过程 应变-位移关系复杂 （投影建立位移协调关系）不断地判断杆件的应力状态塑性极限载荷相同，加载路径不同可能导致应力、应变、位移的分布不同三三杆桁架的弹塑性分析杆桁架的弹塑性分析三三杆桁架的弹塑性分析杆桁架的弹塑性分析载荷平面内的屈服曲面和极限曲面 （处理工程问题非常实用）初始：产生初始屈服的所有载荷组合的集合 在载荷空间中的构形后继：后继状态重新屈服的所有载荷组合的集合 在载荷空间中的构形极限：产生塑性极限状态的所有载荷组合的集合 在载荷空间中的构形求解方法 建立( ,)iiP Q 限

6、定 范围 确定 变化范围( ,)P Qi三三杆桁架的弹塑性分析杆桁架的弹塑性分析安定性变值载荷作用（一定范围内重复变化）1. 产生新的塑性变形2. 同一局部发生异号的塑性变形不产生这两种情况 结构是安定的书中例题 建立建立 ， r与塑性应变相关 P 变化观察r 变化，由此确定塑性应变的变化，判断安定性Pr屈服条件屈服条件屈服条件材料进入塑性状态的判定条件，基于实验的数学表达初始屈服条件 初始弹性状态的界限后继屈服条件, )0ijijijt T （， ，,应力空间中 屈服面屈服条件屈服条件初始屈服条件)0iF I（)0ijF（)0iF（考虑静水压力试验)0iF s（)0iF J（mS 则过该点的

7、静水压力线上的点均屈服由此推断：在主应力空间中 初始屈服曲面是一个垂直于 平面并在静水压力线方向开口的柱面。S屈服条件屈服条件在各向同性和拉压性态相同的假定，屈服曲面在 平面上的截迹关于三个投影坐标轴及它们的垂线对称。共6条，将屈服曲线切分为12个对称的部分，通过实验确定1/12即可S平面上的描述， 及对称性的证明 参考弹性力学。屈服条件屈服条件屈服条件屈服条件Tresca屈服条件物理解释：最大剪应力达到某个极限k数学表达12-=2k 23-=2k 31-=2k 空间形态:垂直于 平面的六棱柱面 适于当应力的方向和顺序 已知时使用屈服条件屈服条件Mises屈服条件物理解释：形状改变能 八面体剪

8、应力（面心立方晶格晶体的滑移面），任意取向平面上剪应力的平均值， 等等数学表达： 空间形态: 垂直于 平面的圆柱面2JC屈服条件屈服条件两种屈服条件的比较Tresca 主应力的一次函数 不光滑 角点导数不唯一主应力未知时 表达过于复杂 为体现中间主应力的影响2ssMises 二次函数 光滑 最简单的二次形式3ss屈服条件屈服条件拉伸重合剪切重合1.155MT32MT试验验证：大多数金属材料的屈服形态接近Mises屈服条件屈服条件屈服条件后继屈服条件理想塑性材料 屈服曲面保持不变 并且始终是弹性状态的边界，所以)0ijF（强化材料 后继弹性范围边界是变化的，其边界满足的条件成为后继屈服条件或加载

9、条件 , 其几何对应为后继屈服面或加载面理想塑性材料强化材料F (, )0ijsh等向强化 屈服面相似扩大随动强化 形状不变 位置移动 (注意单向线性强化）组合强化 形状位置都在变化()0ijfK () pKd23ppijijpd () ijijf0() pijijH()0ijijfK 屈服条件屈服条件Drucker 公设 物理描述：对于处于某一状态下下的材料（物体），借助一个外部作用，在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加与卸除的循环中，外部作用所做的功非负。0000(-)(-)0ijijpDijijijijijijWdd01(+-)02pijijijijdd

10、数学表达塑性本构关系塑性本构关系塑性本构关系塑性本构关系塑性本构关系塑性本构关系状态一于是推论：1.稳定材料的屈服面必定是外凸的2、塑性应变增量矢量沿着加载面的法线/梯度方向，也称之为正交法则 0ijij0(,) 0ijh0(-)0pijijijdpijijdd塑性本构关系塑性本构关系状态二0ijij0(,)0ijh0pijijddDrucker 稳定性条件材料稳定性0dd 注意：对弱化材料0d当0ijij0(-)0pijijijd仍成立塑性本构关系塑性本构关系但对 封闭循环不成立 不成立0ijij0pijijdd依留辛公设: 应变空间中加载面的外凸性 塑性应力增量与加载面的正交性，无论是强化

11、或弱化材料 完成从加载面上一点的应变循环。塑性本构关系塑性本构关系塑性本构关系塑性本构关系加载准则0pd0dn应力增量向量指向加载面外时，才能产生塑性变形。加载（产生新的塑性变形）的两个判定条件0 0dn屈服函数 ： 数学表达？ 强化模式？塑性本构关系塑性本构关系增量理论应力与应变增量表达的塑性本构关系eijijijddd塑性位势理论()ijpijijgddg g 与加载条件相关联的流动法则与加载条件非关联的流动法则塑性本构关系塑性本构关系理想塑性材料与Mises 条件相关联的流动法则22=0sJijijpijijsdd s塑性本构关系塑性本构关系22222222121 20000ijijij

12、kkkksssddsd sGddEdJJdJdJdJ或Pandtal-Reuss理论22psdwd塑性本构关系塑性本构关系理想刚塑性 Levy-Mises 关系ijijdd s232isdd23iijijdd d 理想塑性材料与Tresca条件相关的流动法则特点：1. 沿外法线方向并不能确定pdS2. 六角柱的角点上法线不唯一塑性本构关系塑性本构关系强化材料的增量本构关系ijijdhdh 强化增量1=hpd对其自变量的导数是可由单向试验曲线确定的塑性本构关系塑性本构关系全量理论3mmKijijes 32ii ( )iii 简单加载 单一曲线假定简单加载：单元体的应力张量各分量之间的比值保持不变

13、在简单加载条件下，全量理论与增量理论是等价的。塑性本构关系塑性本构关系( )iii 是否唯一？单一曲线假定：只要是简单加载或偏离简单加载不大， 曲线都可以用简单拉伸近似表示。ii塑性本构关系塑性本构关系简单加载定理1.小变形 2. 材料不可压3. 载荷按比例单调增长4. 零位移 位移边界条件5niA12塑性本构关系塑性本构关系000ijijnijijniiststutuCoulomb屈服条件 岩土力学中的屈服条件nnctg 必须考虑静水压力的影响120fJJk塑性本构关系塑性本构关系屈服面开口？塑性本构关系的总结列表 P89全量理论比增量理论方便 要求简单加载塑性本构关系塑性本构关系塑性本构关

14、系塑性本构关系平衡,0ij jiF,0ij jiddF应变-位移关系,1()2iji ji iuu,1(d)2iji ji idudu边界条件ij jilTij jidldT弹塑性力学的边值问题弹塑性力学的边值问题iiuu iidudu全量本构2( )3iiijijise 12kkkkE解法与弹性力学相同，但本构非线性，可迭代求解。增量本构理想塑性-弹性区() 012ijijijkkijfdddGE 弹塑性力学的边值问题弹塑性力学的边值问题塑性区()01212ijijijijkkkkffdedsdGddE00ijijfddfd00ijijfddfd弹塑性力学的边值问题弹塑性力学的边值问题弹性区

15、强化材料() 012ijijijkk ijdddGE ()0121 2ijijijijkkkkfdedsdGddE00ijijddd 0ijijdhddd 塑性区弹塑性力学的边值问题弹塑性力学的边值问题给定加载历史，求解增量方程，不断叠加，求到全量拉扭联合 梁的弹塑性弯曲-材料力学手段 柱体的弹塑性自由扭转 应力函数求解 分区 薄膜比拟 (弹性) 沙堆比拟 （全塑性） 玻璃盖-薄膜 （弹塑性）圆柱 材料力学手段 受内压厚壁圆筒的弹塑性分析 旋转圆盘的弹塑性分析简单弹塑性问题的求解简单弹塑性问题的求解平面应变条件下板的塑性弯曲问题连续介质力学： 极坐标下的轴对称问题弹性 弹塑性 极限状态弹塑性交界的判断弹塑性边界与载荷的关系变形与载荷的关系卸载 残余应力的计算。简单弹塑性问题的求解简单弹塑性问题的求解采用levy-Mises理论ijijs1()2zmxyMises屈服条件222()2xyxyk应力方程sin2xksin2ykcos2xyk理想刚塑性平面应变问题理想刚