第23节：正方形

1、第第23节节正方形正方形第五章第五章 四边形四边形目录contents课前预习课前预习考点梳理考点梳理课堂精讲课堂精讲广东中考广东中考考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3考点考点4 4课前预习课前预习目录contents课前预习Listen attentively1（2016无锡一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A对角线互相垂直 B对角线相等C对角线互相平分 D对角相等B2. （2016哈尔滨模拟）如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则AFB的度数为（）A45 B55C60 D75C4（2016兰州） ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且ACB

2、D，请添加一个条件：_，使得 ABCD为正方形. 3.如图，正方形ABCD中，E点在BC上，AE平分BAC若BE= cm，则AEC面积为 cm2课前预习Listen attentivelyBAD=90课前预习Listen attentively5.如图，在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将ADE绕点E旋转180得到CFE（1）求证：四边形ADCF是平行四边形（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由分析：分析：（1）利用旋转的性质得出点）利用旋转的性质得出点A、E、C三点三点共线，点共线，点D、E、F三点共线，且三点共线，且AE=CD，DE=FE，即，即可得出

3、答案；（可得出答案；（2）首先得出）首先得出CDAB，即，即ADC=90，由（，由（1）知，四边形）知，四边形ADCF是平行四是平行四边形，故四边形边形，故四边形ADCF是矩形进而求出是矩形进而求出CD=AD即即可得出答案可得出答案课前预习Listen attentively解答：解答：（1）证明：）证明：CFE是由是由ADE绕点绕点E旋转旋转180得到，得到，点点A、E、C三点共线，点三点共线，点D、E、F三点共线，且三点共线，且AE=CE，DE=FE，故四边形，故四边形ADCF是平行四边形是平行四边形（2）解：当）解：当ACB=90，AC=BC时，四边形时，四边形ADCF是正方形理由如下：

4、在是正方形理由如下：在ABC中，中，AC=BC，AD=BD，CDAB，即，即ADC=90而由（而由（1）知，四边形）知，四边形ADCF是平行四边形，是平行四边形，四边形四边形ADCF是矩形又是矩形又ACB=90， ，故四边形，故四边形ADCF是正方形是正方形考点梳理考点梳理目录contents考点梳理Listen attentively1.定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.2.性质：正方形具有性质：正方形具有 、 、 的一切性质的一切性质.3.判别方法：判别方法：四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形；方形； 的

5、菱形是正方形；邻的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线边相等的矩形是正方形；对角线 的四边形是正方形的四边形是正方形.平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形有一个是直角有一个是直角互相垂直平分且相等互相垂直平分且相等考点梳理Listen attentively4.平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系课堂精讲课堂精讲目录contents课堂精讲Listen attentively1（2016郯城模拟）在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE=BD，则AEC=_【分析】先连接AC，根据正方形的性质，得出AC=EC，进而得到E=CAF，再根据平行线的性质，得出E=DAF，最后根

6、据CAD=45，求得AEC的度数考点1 正方形的性质 课堂精讲Listen attentively【解答】解：连接AC，则正方形ABCD中，AC=BDCE=BDAC=ECE=CAFADECE=DAFCAF=DAFCAD=45CAF=DAF=22.5AEC=22.5故答案为：22.5课堂精讲Listen attentively2.（2016漳州）如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若D=60，BC=2，则点D的坐标是_.【分析】过点D作DGBC于点G，根据四边形BDCE是菱形可知BD=CD，再由BC=2，D=60可得出BCD是等边三角形，由锐角三角函数

7、的定义求出GD及CG的长即可得出结论课堂精讲Listen attentively【解答】解：过点D作DGBC于点G，四边形BDCE是菱形，BD=CDBC=2，D=60，BCD是等边三角形，BD=BC=CD=2，CG=1，GD=CDsin60=2 = ，D（2+ ，1）故答案为：（2+ ，1）课堂精讲Listen attentively3.（2015抚顺）如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1= a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1

8、D2= A1B2，依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为 课堂精讲Listen attentively【解答】解：在解：在RtA1BB1中，由勾股定理可知；中，由勾股定理可知；正方形正方形AnBnCnDn的面积的面积= 故答案为：故答案为： 即正方形即正方形A2B2C2D2的面积的面积=即正方形即正方形A1B1C1D1的面积的面积= ；在在RtA2B1B2中，由勾股定理可知：中，由勾股定理可知：课堂精讲Listen attentively4.（2015梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EHA

9、B于H（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长.【分析】（1）先根据）先根据EQBO，EHAB得出得出EQN=BHM=90根据根据EMQ=BMH得出得出EMQBMH，故，故QEM=HBM由由ASA定理得出定理得出APBHFE，故可得出结论；（，故可得出结论；（2）由勾股定理求出）由勾股定理求出BP的长，的长，根据根据EF是是BP的垂直平分线可知的垂直平分线可知BQ= BP，再根据锐角三角函数，再根据锐角三角函数的定义得出的定义得出QF=BQtan FBQ的长，由（的长，由（1）知，）知，APBHFE，故，故EF=BP=4，再根据，再根据EQ=EFQF

10、即可得出结即可得出结论论课堂精讲Listen attentively【解答】（1）证明：）证明：EQBO，EHAB，EQN=BHM=90EMQ=BMH，EMQBMH，QEM=HBM在在RtAPB与与RtHFE中，中， ，APBHFE，HF=AP .（2）由勾股定理得BP= =4 ，EF是BP的垂直平分线，BQ= BP=2 ，QF=BQtan FBQ=BQtan ABP，=2 = .由（1）知，APBHFE， EF=BP=4 ，EQ=EFQF=4 - = .课堂精讲Listen attentively5.如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于点E，DFAB，交BC于点F，当ABC满足条

11、件 时，四边形BEDF是正方形考点2 正方形的判定 【分析】由题意知，四边形由题意知，四边形DEBF是平行四边形，再通过证明一组邻是平行四边形，再通过证明一组邻边相等，可知四边形边相等，可知四边形DEBF是菱形，是菱形，进而得出进而得出ABC=90时，四边形时，四边形BEDF是正方是正方形形课堂精讲Listen attentively【解答】解：当解：当ABC满足条件满足条件ABC=90，四边形四边形DEBF是正方形理由：是正方形理由：DEBC，DFAB，四边形四边形DEBF是平行四边形是平行四边形BD是是ABC的平分线，的平分线，EBD=FBD，又又DEBC，FBD=EDB，则，则EBD=E

12、DB，BE=DE故平行四边形故平行四边形DEBF是菱形，是菱形，当当ABC=90时，菱形时，菱形DEBF是正方形是正方形故答案为：故答案为：ABC=90课堂精讲Listen attentively6（2016南京二模）如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DEAC于点E，DFBC于点F（1）求证：DE=DF；（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由 【分析】（1）由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，得出ACD=BCD，再由EDC=FDC=90，可证得ACDBCD，得出CE=CF即可；（2）先证明四边形CEDF是矩形，再证出因此AB=2C

13、D时，四边形CEDF为正方形课堂精讲Listen attentively【解答】（1）证明：CD垂直平分线AB，AC=CBABC是等腰三角形，CDAB，ACD=BCDDEAC，DFBC，DEC=DFC=90EDC=FDC，在DEC与DFC中，DEC DFC（ASA），DE=DF；课堂精讲Listen attentively【解答】（2）解：当AB=2CD时，四边形CEDF为正方形理由如下：AD=BD，AB=2CD，AD=BD=CDACD=45，DCB=45，ACB=ACD+BCD=90，四边形DECF是矩形又DE=DF，四边形CEDF是正方形课堂精讲Listen attentively7（20

14、16抚顺模拟）如图，在ABC中，BAC=90，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于F，连接CF（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论【分析】（1）由E是AD的中点，AFBC，易证得AEFDEB，即可得AD=BD，又由在ABC中，BAC=90，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD=BC，即可证得：AD=AF.（2）由AF=BD=DC，AFBC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得ADBC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形课堂精讲Lis

15、ten attentively【解答】（1）证明：AFBC，EAF=EDB，E是AD的中点，AE=DE，在AEF和DEB中，AEFDEB（ASA），AF=BD，在ABC中，BAC=90，AD是中线，AD=BD=DC=BC，AD=AF；课堂精讲Listen attentively【解答】（2）解：四边形ADCF是正方形AF=BD=DC，AFBC，四边形ADCF是平行四边形，AB=AC，AD是中线，ADBC，AD=AF，四边形ADCF是正方形目录contents广东中考广东中考广东中考Listen attentively8.（2016广东）如图，正方形广东）如图，正方形ABCD的面积为的面积为1，

16、则以相邻两边中点连线，则以相邻两边中点连线EF为边正方形为边正方形EFGH的的周长为（）周长为（）AB2C +1D2 +1B 广东中考Listen attentively解析：解析：解：解：正方形正方形ABCD的面积为的面积为1，BC=CD=1，BCD=90，E、F分别是分别是BC、CD的中点，的中点，CE= BC= ，CF= CD= ，CE=CF，CEF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EF= CE= ，正方形正方形EFGH的周长的周长=4EF=4 =2 ；故选：故选：B广东中考Listen attentively9. （2010广东）如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一

17、倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为 解析：解析：最初边长为最初边长为1，面积，面积1，延长一次，延长一次为为 ，面积，面积5，再延长为，再延长为51=5，面积，面积52=25，第二次为第二次为5 ，面积，面积53=125，以此类推，当以此类推，当N=4时，正方形时，正方形A4B4C4D4的面积为：的面积为：54=625625广东中考Listen attentively10.（2015广州）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF求证：BE=AF解

18、答：解答：证明：在正方形证明：在正方形ABCD中，中，AB=AD，BAE=D=90，在，在ABE和和ADF中，中， ，ABE ADF（SAS），），BE=AF广东中考Listen attentively11（2015广东）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG（1）求证：ABG AFG；（2）求BG的长 解析：解析：.解：（解：（1）在正方形）在正方形ABCD中，中，AD=AB=BC=CD，D=B=BCD=90，将将ADE沿沿AE对折至对折至AFE，AD=AF，DE=EF，D=AFE=90，AB=AF，B=AFG=90，又又AG=AG，广东中考Listen attentively解析：解析：在在RtABG和和RtAFG中，中，ABG AFG（HL）；）；（2）ABG AFG，BG=FG，设设BG=FG=x，则，则GC=6x，E为为CD的中点，的中点，CE=EF=DE=3，EG=3+x，在在RtCEG中，中，32+（6x）2=（3+x）2，解得，解得x=2，BG=2广东中考Listen attentively12. （2007广东）如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与BCF相应的EGH在运动过程中始终保持EGHBCF，对应边EG=B