数值分析ppt第4章_数值积分与数值微分

1、上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页第第4章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 4.1 引言引言 4.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式 4.3 复化求积公式复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 4.5 高斯求积公式高斯求积公式 4.6 数值微分数值微分上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇到被积函数到被积函数f(x)的下列一些情况：的下列一些情况：的原函数的原函数)()(d)(aFbFxxfIba 对定积分对定积分 baxxfId)(的被积函数的被积函数)(xf已知

2、，在高等数学中可用牛顿已知，在高等数学中可用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式)(xF4.1 引引 言言 实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法，实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系联系.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页（4） f(x)本身没有解析表达式，其函数关系由表格本身没有解析表达式，其函数关系由表格或图形给出，列如为实验或测量数据或图形给出，列如为实验或测量数据.xxxexxfxsinsinln1)(22 , , , （2） f(x)的原函数不能用初等函数形式表示，例如的原函数

3、不能用初等函数形式表示，例如411)(xxf （3） f(x)的原函数虽然可用初等函数形式表示，但的原函数虽然可用初等函数形式表示，但其原函数表示形式相当复杂，例如其原函数表示形式相当复杂，例如cbxaxxf 2)(（1） f(x)复杂，求原函数困难，列如复杂，求原函数困难，列如上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 以上的以上的 4种情况都不能用牛顿种情况都不能用牛顿莱布尼兹公莱布尼兹公式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题；要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题；另外，对一些函数的求导问题，其

4、求导、微分也另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的方法。方法。上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 由积分中值定理由积分中值定理, 对连续函数对连续函数f(x), 在区间在区间a, b内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 bafabxxfI)()(d)( 只要对平均高度只要对平均高度 f( ) 提供一种提供一种近似算法近似算法, 便可相应便可相应地获得一种地获得一种数值求积方法数值求积方法. 即所谓即所谓矩形公

5、式矩形公式.4.1.1 数值求积的基本思想数值求积的基本思想 几何图形见书几何图形见书p98.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例如例如, 用区间用区间a, b两端点的函数值两端点的函数值 f(a)与与f(b)的的算术平均值作为算术平均值作为f( ) 的近似值的近似值, 可导出可导出求积公式求积公式)()(2d)(bfafabxxfIba 这便是人们所熟知的这便是人们所熟知的梯形公式梯形公式. 如果改用区间如果改用区间a, b的中点的中点 c=(a b)/2 处的函数值处的函数值f(c)近似代替近似代替f( ), 则又可导出所谓则又可导出所谓(中中)矩形公式矩形公式 babaf

6、abxxfI)2()(d)(上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 一般地一般地, 在区间在区间a, b上适当选取点上适当选取点xk (k=0,1,n), 然后用然后用 f(xk) 的的加权平均值加权平均值作为作为f( ) 的近似值的近似值, 可得到可得到更为更为一般的求积公式一般的求积公式 其中：点其中：点xk叫叫求积节点求积节点, 系数系数Ak叫叫求积系数求积系数. Ak仅与节仅与节点点xk的选取有关的选取有关, 而与被积函数而与被积函数 f(x)无关无关.求积公式的求积公式的截断误差截断误差为为)(d)()(0kbankknxfAxxfIIfR R(f) 又称为又称为求积余项求

7、积余项.nkbankkIxfAxxfI )(d)(0 这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛了牛- -莱公式寻求原函数的困难莱公式寻求原函数的困难.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.1.2 代数精度的概念代数精度的概念 定义定义1 如果求积公式如果求积公式 bankkkxfAxxfI0)(d)(1) 对所有次数不超过对所有次数不超过m的多项式都精确成立；的多项式都精确成立；(2) 至少对一个至少对一个m+1次多项式不精确成立，次多项式不精确成立

8、，则称则称该公式具有该公式具有m次代数精度次代数精度. 数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对们自然希望求积公式能对“尽可能多尽可能多”的函数准确的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念地成立，这就提出了所谓代数精度的概念.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 一般来说，代数精度越高，求积公式越好。一般来说，代数精度越高，求积公式越好。 定理定理1 一个求积公式具有一个求积公式具有m次代数精度的次代数精度的充要充要条件条件是该求积公式是该求积公式: (1) 对对xk(k=0,1,m)精确成立；精确成立； (2)

9、对对xm+1不精确成立不精确成立. 故一般地，要验证一个求积公式具有故一般地，要验证一个求积公式具有m次代数次代数精度，只要令对于精度，只要令对于 f(x)=1, x, , xm求积公式精确成求积公式精确成立等式就行立等式就行.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 解解 当当 f (x)=1时时, 1d,baxb a 左左1 1,2baba 右右此时公式精确成立。此时公式精确成立。例例1 验证梯形公式验证梯形公式)()(2d)(bfafabxxfIba 具有一次代数精度。具有一次代数精度。当当 f(x)=x时，时， 221d2baxxba 左左2222babaab 右右公式也精确成

10、立。公式也精确成立。当当 f(x)= x2 时，时， 2331d3baxxba 左左22,2baab 右右公式对公式对x2不精确成立不精确成立.故由定理故由定理1知知, 梯形公式的代数精度为梯形公式的代数精度为1次次.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 对于求积公式对于求积公式 给定给定n+1个互异的求积节点个互异的求积节点 x0 , x1, xn-1, xn ,令求积公式对令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立精确成立,即得即得 1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn求解该方程组即可确定求积系数求解该方程

11、组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公所得到的求积公式式至少具有至少具有n 次代数精度次代数精度.nkbankkIxfAxxfI )(d)(0上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.)()()(d)(hfAfAhfAxxfIhh102210 解解 令令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得代入公式两端并令其相等，得 hAAhhAhAAAhAhAhAAA31623200411321211111101)()

12、()( 解得解得hAhAA3438011,上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页得得求积公式求积公式为为令令 f (x)=x3，得，得)()()(d)(hhfhfhhfxxfIhh380343822038033223)(dhhhxxhh令令 f (x)=x4，得，得544224531638564hhhhxxhhh)(d故故求积公式求积公式具有具有3 3次次代数精度代数精度.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 如果我们事先选定求积节点如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间，譬如，以区间a, b的等距分点作为节点，这时取的等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组求解方程

13、组即可确定求积系数即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有，而使求积公式至少具有 n次次代数精度代数精度. 本章第本章第2节介绍这样一类求积公式，梯形节介绍这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例公式是其中的一个特例. 如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个确定参数确定参数xk和和Ak的代数问题的代数问题.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.1.3 插值型求积公式插值型求积公式设给定一组节点设给定一组节点bxxxxann 110且已知且已知f(x)在这些节点上的函数值在这些节点上的函数值 f(xk), 则可求得则可求得f(x)的拉格

14、朗日插值多项式的拉格朗日插值多项式(因为因为Ln(x)的原函数易求的原函数易求) nkkknxlxfxL0)()()(其中其中lk(x)为插值基函数为插值基函数, 取取), 1 , 0d)()(d)(0nkxxlAIxfAxxfIbakknknkkba 由上式确定系数的公式称为由上式确定系数的公式称为插值型求积公式插值型求积公式。xxLxxfbanbad)(d)( 即即则则 f (x) Ln(x)上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页由插值余项定理由插值余项定理, 其求积余项为其求积余项为() ( )( )dbnnaR fIIf xLxx (1)0( )()d(1)!nnbkakfx

15、xxn 其中其中 = (x) 如果求积公式是插值型的，按照插值余项式如果求积公式是插值型的，按照插值余项式子，对于次数不超过子，对于次数不超过n的多项式的多项式f(x)，其余项，其余项 R(f )等于零，因而等于零，因而这时求积公式至少具有这时求积公式至少具有n次代数精度次代数精度.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 反之，如果求积公式至少具有反之，如果求积公式至少具有n次代数精度，次代数精度，则它必定是插值型的则它必定是插值型的. 事实上，这时求积公式对事实上，这时求积公式对于插值基函数于插值基函数 lk(x)应准确成立，即有应准确成立，即有.)()(0knjkjbakAxlA

16、dxxl 注意到注意到lk(xj)=kj，上式右端实际上即等于，上式右端实际上即等于Ak，因而，因而下面式子成立下面式子成立., 1 , 0d)(nkxxlAbakk 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 结论结论1 具有具有n+1个节点的数值求积公式个节点的数值求积公式 bankkkxfAxxfI0)(d)(是插值型求积公式的是插值型求积公式的充要条件充要条件为为: 该公式至少具有该公式至少具有n次代数精度。次代数精度。 综上所述，我们有结论为综上所述，我们有结论为 这时令这时令f(x)=1代入又有结论为代入又有结论为 结论结论2 对插值型求积公式的系数必有对插值型求积公式的系数

17、必有.d0abxAbankk 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页其中其中h=max(xi- -xi- -1)，则称求积公式，则称求积公式Akf(xk)是是收敛的收敛的.4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性 定义定义2 在求积公式在求积公式Akf(xk)中，若中，若 nkbakkhndxxfxfA00.)()(lim 在求积公式在求积公式Akf(xk)中，由于计算中，由于计算f(xk)可能产可能产生误差生误差k，实际得到，实际得到 ，即，即 . 记记kkkfxf )(kf.)(, )()(00 nkkknnkkknfAfIxfAfI如果对任给小正数如果对任给

18、小正数0，只要误差，只要误差|k|充分小就有充分小就有,)()()(0 nkkkknnfxfAfIfI它表明求积公式它表明求积公式Akf(xk)计算是计算是稳定的稳定的，由此给出，由此给出上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页,)()()(0 nkkkknnfxfAfIfI 定义定义3 对任给小正数对任给小正数0，若存在，若存在0，只要，只要 就有就有), 1 , 0()(nkfxfkk 成立，则称求积公式成立，则称求积公式Akf(xk)是是稳定的稳定的，上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 证明证明 对任给对任给0，若取，若取=/(b- -a), 对所有对所有k都有都有

19、故求积公式是稳定的故求积公式是稳定的. 定理定理2 若求积公式若求积公式Akf(xk)中所有系数中所有系数Ak0，则此求积公式是稳定的则此求积公式是稳定的.)()()()()(000 abAfxfAfxfAfIfInkknkkkknkkkknn则有则有), 1 , 0()(nkfxfkk 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 4.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式 为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们通常取等距节点，即将积分区间通常取等距节点，即将积分区间a,b划分划分n等分，等分，即令步长即令步长h=(b-a)/n，且记，且记x0=a,

20、xn=b，则节点记为，则节点记为xk=x0+kh(k=0,1,n)，然后作变换，然后作变换: t=(x-x0)/h, 代入代入求积系数公式，将会简化计算求积系数公式，将会简化计算.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.2.1 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式设将积分区间设将积分区间a, b划分成划分成 n等分等分,步长步长h=,nab 求积节点取为求积节点取为xk=a+kh (k = 0,1,n),由此构造插值型由此构造插值型求积公式求积公式, 则其求积系数为则其求积系数为( )ddbbjkkaaj kkjxxAl x xxxx 引入变换引入变换 x = a + th, 则有则有00

21、( 1)d()d!()!n knnnnkj kj ktjbaAhttjtkjnk n k (k=0,1, n)(k=0,1, n)上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页记记()0( 1)()d!()!n knnnkjkCtjtnknk (k=0,1,n)则则,)()(nkkCabA 于是得求积公式于是得求积公式)()(0)(knknknxfCabI 称为称为n 阶牛顿阶牛顿-柯特斯柯特斯 (Newton-Cotes)公式公式, 称称为为柯特斯系数柯特斯系数。)(nkC 显然显然, 柯特斯系数与被积函数柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间和积分区间a,b无关无关, 且为容易计算

22、的多项式积分且为容易计算的多项式积分.0( 1)()d!()!n knnkj kbaAtjtnknk 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/90 12/90 32/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840( )nkC常用的柯特斯系数表常用的柯特斯系数表上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 当当n=1时，时，柯特斯系数柯特斯系数为为这时的这时的牛顿牛顿- -柯特

23、斯公式柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们为一阶求积公式，就是我们所熟悉的所熟悉的梯形公式梯形公式，即，即).()(2bfafabT ,2121,21)1(21)1(10210)1(110210)1(0 ttdtCtdttC上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 当当n=2时，时，柯特斯系数柯特斯系数为为相应的相应的牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式为二阶求积公式，就是为二阶求积公式，就是辛普辛普森森(simpson)公式公式(又称为又称为抛物形求积公式抛物形求积公式)，即，即,61)1(41,64)2(21,61)2)(1(4120)2(220)2(120)2(0 dtttCdttt

24、CdtttC).()2(4)(6bfbafafabS 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC 式中式中khaxk (k=0,1,2,3,4), h=(b- -a)/4. n = 4 时的时的牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式就特别称为就特别称为柯特斯公柯特斯公式式. 其形式是其形式是 在在柯特斯系数表柯特斯系数表中中(见书见书p124)看到看到n 7时，时，柯特柯特斯系数斯系数出现负值，于是有出现负值，于是有, 1)(1100)(0)( ababAabCCnkknknknknk上页上页上页上页上页上页下页下

25、页下页下页下页下页.)()()()()()()()()()(0)(0)(0)(0)( abCabfxfCabfxfCabfxfCabfIfInknknkkknknkkknknkkknknn 特别地，假定特别地，假定,)(, 0)()( kkkknkfxffxfC且且则有则有这表明在这表明在b- -a1时，初始误差将会引起计算结果误差时，初始误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故增大，即计算不稳定，故n 7的的牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式是是不用的不用的.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页因为牛顿因为牛顿- -柯特斯公式对柯特斯公式对 f (x) = 1精确成立精确成

26、立, 即即 banknkCabx0)()(d1由此可得由此可得 nknkC0)(1( )( )00()()() ()nnnnkkkkkkkEbaCf xbaCf x ( )( )00nnnnkkkkkbaCbaC设设 f (xk) 有误差有误差 k ,max0knk 则计算误差为则计算误差为另一种写法：另一种写法：上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页( )( )00()()() ()nnnnkkkkkkkEbaCf xbaCf x ( )( )00nnnnkkkkkbaCbaC( )( )00|1nnnnkkkkCC|Eba 只要只要f (xk) 取得足够精确取得足够精确,初始数据

27、的误差对计算结初始数据的误差对计算结果影响不大果影响不大,方法是稳定的。方法是稳定的。当当 全为正时全为正时 ,)(nkC从而从而上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页( )( )00()()() ()nnnnkkkkkkkEbaCf xbaCf x ( )( )00nnnnkkkkkbaCbaC( )01nnkkC 当当 有正有负时有正有负时 ,因为因为)(nkC而而 可能会很大可能会很大, f (xk) 可以取得足够精确可以取得足够精确,但初始数据的误差对计算结果影响会很大但初始数据的误差对计算结果影响会很大,方法可方法可能是不稳定的。能是不稳定的。( )0|nnkkC 上页上页

28、上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.2.2 偶数求积公式的代数精度偶数求积公式的代数精度 作为插值型求积公式，作为插值型求积公式，n阶阶牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式至至少具有少具有n次代数精度次代数精度(推论推论1). 实际的代数精度能否进实际的代数精度能否进一步提高呢？一步提高呢？ 先看先看辛普森公式辛普森公式，它是二阶，它是二阶牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度因此至少具有二次代数精度. 进一步用进一步用f(x)=x3进行检进行检验，按验，按辛普森公式辛普森公式计算得计算得.246333 bbaaabS上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页

29、.246333 bbaaabS另一方面，直接求积得另一方面，直接求积得.4443abdxxIba 这时有这时有S=I，即，即辛普森公式辛普森公式对不超过三次的多项式均对不超过三次的多项式均能精确成立，又容易验证它对能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确通常是不精确的的(如取如取a=0,b=1进行验证有，进行验证有，S=3/8I=1/5)，因此，因此，辛普森公式辛普森公式实际上实际上具有三次代数精度具有三次代数精度. 一般地，我们可以证明下述论断：一般地，我们可以证明下述论断：上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定理定理3 n 阶牛顿阶牛顿- -柯特斯公式的代数精度至

30、少为柯特斯公式的代数精度至少为 证明证明 由推论由推论1已知，无论已知，无论n为奇数或偶数，插值为奇数或偶数，插值型求积公式都至少具有型求积公式都至少具有n次代数精度次代数精度. 因此我们证明因此我们证明n为偶数的情形，即对为偶数的情形，即对n+1次多项式余项为零次多项式余项为零. 令令n=2k，设设 101)(nkkknxaxq为任一为任一n+1次多项式，其最高次系数为次多项式，其最高次系数为an+1，则它的，则它的n+1阶导数为阶导数为)!1()(1)1(1 naxqnnn 为奇数为奇数当当为偶数为偶数当当nnnnm., 1上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页由余项公式由余项公

31、式.)()!1()()()!1()()1(0)1(dxxnfdxxxnffRbannkkban (1)111012210R( )( )()()()(1)!(1)(2)()nbbnnnnaaknnqqxx dxaxxxxxx dxnaht tttn dt有有这里变换为这里变换为x=a+th，注意，注意xj=a+jh.下面我们证明下面我们证明20(1)(2)()0kt tttn dt上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页作变换作变换u=t- -k，则，则20(1)(2)()0kt tttn dt20(1)(1)()(1)(21)(2 )()(1)(1) (1)(1)()kkkt ttkt

32、ktktktk dtukukuu uukuk du( )()(1)(1) (1)(1)()uuk ukuu uukuk 记容易验证容易验证(u)为奇函数，即为奇函数，即(- -u)=- -(u)，而奇函，而奇函数在对称区间上的积分为零，所以数在对称区间上的积分为零，所以. 0)(1证证毕毕 xqRn上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定理定理3说明，当说明，当n为偶数时，牛顿为偶数时，牛顿-柯特斯公式柯特斯公式对不超过对不超过n+1次的多项式均能精确成立，因此，其次的多项式均能精确成立，因此，其代数精度可达到代数精度可达到n+1.正是基于这种考虑，当正是基于这种考虑，当n=2k与

33、与n=2k+1时具有相同的代数精度，因而在实用中常时具有相同的代数精度，因而在实用中常采用采用n为偶数的牛顿为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物形公式柯特斯公式，如抛物形公式(n=2)等等.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.2.3 几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项 首先考察梯形公式，设首先考察梯形公式，设 f(x) C2a,b ，按余项公，按余项公式有式有.,)(12)(3baabf ,)(2)()( baTdxbxaxfTIfR 这里函数这里函数(x- -a)(x- -b)在区间在区间a,b上保号上保号(非正非正)，应用，应用积分中值定理，在积分中值定理，在a, b

34、内至少存在一点内至少存在一点 ，得，得梯形公梯形公式余项式余项为为 baTdxbxaxffR)(2)()( 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 再研究公式辛普森公式的余项再研究公式辛普森公式的余项R=I- -S，为此构造，为此构造次数不超过次数不超过3的多项式的多项式H(x)，使满足，使满足);()(),()(bfbHafaH 这里这里c=(a+b)/2. 由于辛普森公式具有三次代数精度由于辛普森公式具有三次代数精度,它对于这样构造出的三次多项式是精确成立的，即它对于这样构造出的三次多项式是精确成立的，即).()(),()(cfcHcfcH ).()(4)(6)(bHcHaHab

35、dxxHSba 而利用插值条件知，上式右端实际上等于按辛普森而利用插值条件知，上式右端实际上等于按辛普森公式求得的积分值公式求得的积分值S，因此积分余项为，因此积分余项为上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 .)()( baSdxxHxfSIR这里这里(x- -a) (x- -c)2(x- -b)在区间在区间a,b上保号上保号(非正非正)，应用，应用积分中值定理，得积分中值定理，得辛普森公式余项辛普森公式余项为为 对于插值多项式对于插值多项式H(x)，设，设 f(x) C4a,b ，由插值，由插值余项表达式得余项表达式得).()(! 4)()()(2)4(bxcxaxfxHxf .

36、)()(! 4)(2)4( baSdxbxcxaxfR 就有就有上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 关于柯特斯公式的积分余项，这里不再具体推关于柯特斯公式的积分余项，这里不再具体推导，仅给出结果如下导，仅给出结果如下.)()(! 4)(2)4( baSdxbxcxaxfR .,),()2(180)()4(4bafabab (6)62()( )()( ), , 9454CbabaRfICa bf 若若 f(x) C6a, b，则，则柯特斯公式余项柯特斯公式余项为为上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 解解 ：由梯形公式得由梯形公式得2210.6110.247058821

37、0.611IT 由辛普森公式得由辛普森公式得2221 0.611140.244954661 0.61 0.81 1IS 例题例题 分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算积分式计算积分120.61d1Ixx 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页由柯特斯公式得由柯特斯公式得8 . 011127 . 011326 . 0117906 . 01222 CI22113270.244978710.911积分的精确值积分的精确值24497866. 0arctand116 . 0116 . 02 xxxI上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.3

38、 复化求积公式复化求积公式 从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高越高.另一方面，插值节点的增多另一方面，插值节点的增多(n的增大的增大)，在使用，在使用牛顿牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当当n8时时, 牛顿牛顿- -柯特斯求积系数会出现负数柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿，即牛顿- -柯特柯特斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高求积精度求积精度. .

39、上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 为了提高精度，通常在实际应用中往往采用为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式的求积公式(梯形公式或抛物形公式梯形公式或抛物形公式)，然后再利用积，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想求积公式，这就是复化求积公式的基本思想. 为叙述为叙述方便，我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公方便，我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复

40、化求积公式式的复化求积公式对各小区间也可分别采用不同的对各小区间也可分别采用不同的求积公式，也可推出新的求积公式，读者可按实际问求积公式，也可推出新的求积公式，读者可按实际问题的具体情况讨论题的具体情况讨论.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 将积分区间将积分区间a, bn等分等分, 步长步长nabh xk=a+kh (k=0,1,n) , 则由定积分性质知则由定积分性质知110( )d( )dkknbxaxkIf xxf xx , 分点为分点为每个子区间每个子区间上的积分上的积分用用低阶求积公式低阶求积公式, 然后把所有区间的然后把所有区间的计算结果求和计算结果求和,就得到整个

41、区间上积分就得到整个区间上积分I的近似值。的近似值。1( )dkkxxf xx 所用方法所用方法:上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.3.1 复化梯形公式复化梯形公式110( )d( )dkknbxaxkIf xxf xx 每个子区间每个子区间xk, xk+1上的积分用上的积分用梯形公式梯形公式, 得得11( )d ()()2kkxkkxhf xxf xf x 111100( )d ()()2kknnxkkxkkhIf xxf xf x 将积分区间将积分区间a, b划分为划分为n等分等分, 则则上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 若若 f(x) C2a,b, 其其

42、求积余项求积余项Rn(f )为为(p128)321100()()1212nnnkkkkbahhITffn 11 ( )2()( )2nnkkhTf af xf b 11101 ()() ( ) 2()( )22nnkkkkkhhIf xf xf af xf b 称为称为复化梯形公式复化梯形公式. 记记 )( fRn.,),(12)(2nabhbafhabfRn 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页当当n时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函数的积分，所以复化梯形公式收敛数的积分，所以复化梯形公式收敛. 此外，此外，Tn的求积的求积系数均为正，由

43、定理系数均为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的知复化梯形公式是稳定的.)(lim banndxxfT 可以看出误差是可以看出误差是h2阶，且由误差公式得到，当阶，且由误差公式得到，当f(x) C2a, b 时，则有时，则有即复化梯形公式是收敛的即复化梯形公式是收敛的. 事实上只要事实上只要f(x) Ca, b, 则可得到收敛些，因为只要把则可得到收敛些，因为只要把Tn改写为改写为.)()(21110 nkknkknxfnabxfnabT上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.3.2 复化辛普森公式复化辛普森公式22210( )d( )dkknbxaxkIf xxf xx 每个子区间

44、每个子区间x2k, x2k+2上的积分用上的积分用辛普森公式辛普森公式, 得得222221222( )d ()4 ()()6kkxkkkxhf xxf xf xf x 将积分区间将积分区间a, b 划分为划分为2n等分等分, 则则122122012212202 ()4 ()()6 ()4 ()()3nkkkknkkkkhIf xf xf xhf xf xf x 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页称为称为复化辛普森公式复化辛普森公式. 记记1122110 ( )2()4()( )3nnnkkkkhSf af xf xf b 2bahn 1221220 ()4 ()()3nkkkkh

45、If xf xf x 若若 f(x) C 4a,b, 其其求积余项求积余项为为54(4)(4)42()()( )( )18022880nbahbaISffn 1122110 ( )2()4()( )3nnkkkkhf af xf xf b )( fRn上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例1 对于函数对于函数f(x)=sinx/x，给出，给出n=8的函数表，的函数表，试用复化梯形公式和复化辛普森公式试用复化梯形公式和复化辛普森公式 计算积分计算积分 10.sindxxxIxf(x)01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672

46、670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709 解解 将积分区间将积分区间0,1划分为划分为8等分，用复化梯形公式求得等分，用复化梯形公式求得.9456909. 08 T而将积分区间而将积分区间0, 1划分为划分为24等等分，用复化辛普森公式求得分，用复化辛普森公式求得.9460832. 04 S上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 比较上面两个计算结果比较上面两个计算结果T8与与S4，它们都需要提供，它们都需要提供9个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准确值确值I=0.9460831

47、比较，应用复化梯形公式计算的结比较，应用复化梯形公式计算的结果果T8=0.9456909只有只有2位有效数字，而应用复化辛普位有效数字，而应用复化辛普森公式计算的结果森公式计算的结果S4= 0.9460832却有却有6位有效数字位有效数字. 为了利用余项公式估计误差，要求为了利用余项公式估计误差，要求f(x)=sinx/x的的高阶导数，由于高阶导数，由于.)cos(sin)(10 dtxtxxxf所以有所以有.2cos)cos()(1010)( dtkxttdtxtdxdxfkkkk 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页于是于是.112cos)(max10)(10 kdtkxttx

48、fkkx 复化梯形公式误差复化梯形公式误差为为.000434. 03181121)(max12)(210288 xfhTIfRx复化辛普森公式误差复化辛普森公式误差为为.10271. 0514128801)(6444 SIfR上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例2 利用复利用复化梯形公式化梯形公式计算计算 使其误使其误差限为差限为10-4，应将区间，应将区间0, 1几等分几等分?,sin10 dxxxI 解解 利用例利用例1的结果的结果222410111()10.12122136nR Thfhh 取取n=17可满足要求可满足要求.67.1610611,10622 hnh由由复

49、化梯形公式的余项得复化梯形公式的余项得.11)(max)(10 kxfkx上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例3 利用利用复化辛普森公式复化辛普森公式计算计算 使其使其误差限为误差限为10-4，应将区间，应将区间0, 1几等分几等分?,sin10 dxxxI由由复化辛普森公式的余项得复化辛普森公式的余项得4(4)244410( 41900mR Sh fhh 13010,101021.83.30hnmh因此只需将区间因此只需将区间0, 1二等分，即取二等分，即取m=1(n=2). 解解 利用例利用例1的结果的结果.11)(max)(10 kxfkx上页

50、上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 前面用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度前面用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度需要将区间需要将区间0, 1划分划分17等分，可见复化辛普森公式的等分，可见复化辛普森公式的精度的确比复化梯形公式精度高同样也可用精度的确比复化梯形公式精度高同样也可用| S4m- -S2m |来控制计算的精度来控制计算的精度. 这就是下面要介绍的这就是下面要介绍的龙贝格求积龙贝格求积公式公式.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式4.4.1 梯形法的递推化梯形法的递推化 上节介绍的复化求积方法可提高求积精度，实上节介绍

51、的复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若精度不够可将步长逐次分半际计算时若精度不够可将步长逐次分半. 设将区间设将区间 a, b分为分为n等分，共有等分，共有n+1个分点，如果将求积区间个分点，如果将求积区间再分一次，则分点增至再分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考虑个积分值联系起来加以考虑. 并注意到每个子区间并注意到每个子区间xk, xk+1经过二分只增加了一个分点经过二分只增加了一个分点)(/12121kkkxxx上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 设设hn=(b a)/n, xk=a+khn (k=0,1,n),在在x

52、k, xk+1上用梯形公式得上用梯形公式得 )()(211 kknxfxfhT在在xk, xk+1上用复化梯形公式得上用复化梯形公式得)2/ )()()(2)(22/12/112/12 kkkkkknxxxxfxfxfhT所以所以)(2212/112 knxfhTT上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页从从0到到n 1对对k累加求和得累加求和得 )(2212/112 knxfhTT121/201()22nnnnkkhTTf x 这就是这就是递推的复化梯形公式递推的复化梯形公式. 从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值梯形公式的值T

53、n作为一个整体保留作为一个整体保留. 只需计算出新只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量复计算原节点的函数值，从而减少了计算量. 参见书参见书p132-例例2题题. 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.4.2 龙贝格算法龙贝格算法 梯形法计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度梯形法计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度以节省计算量是本节要讨论的中心问题以节省计算量是本节要讨论的中心问题. 根据复化根据复化梯形公式的余项式表达式可知梯形公式的余项式表达式可知)()2(12)(1222122

54、 fhabfhabTITInn 设设f (x)在在a, b上变化不太大上变化不太大f (1) f (2), 则得则得 , 42 nnTITI221()3nnnITTT上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 由此可见，只有二分前后的两个积分值由此可见，只有二分前后的两个积分值Tn与与T2n相当接近，就可以保证计算结果相当接近，就可以保证计算结果T2n的误差很小的误差很小. 这这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差误差的事后估计法的事后估计法，上面就是复化梯形法的，上面就是复化梯形法的事后误差估事后误差估计式计式. 由由 可知积分近似值可知

55、积分近似值T2n的误差的误差大致等于大致等于 ，因此如果用这个误差值作为，因此如果用这个误差值作为T2n的一种补偿，可以期望，所得到的的一种补偿，可以期望，所得到的)(3122nnnTTTI )(312nnTT .3134)(31222nnnnnTTTTTT 可能有更好的结果可能有更好的结果.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 由书例由书例2，所求得的两个梯形值，所求得的两个梯形值T4=0.9445135和和T8=0.9456909的精度都很差的精度都很差(与准确值与准确值I=0.9460831比比较，只有两、三位有效数字较，只有两、三位有效数字)，但如果将它们按上式，但如果将它

56、们按上式做线性组合，则新的近似值做线性组合，则新的近似值.9460833. 031342 nnTTT却有却有6位有效数字位有效数字.24133nnnSTT 可以直接验证可以直接验证就是就是复化辛普森积分公式复化辛普森积分公式. Sn的精度为的精度为O(h4).上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 这就是说，用复化梯形法二分前后的两个积分这就是说，用复化梯形法二分前后的两个积分值值Tn与与T2n ，按上式做线性组合，结果得到了，按上式做线性组合，结果得到了复化辛复化辛普森积分公式普森积分公式.则则 同理由辛普森法，用二分前后的两个积分值同理由辛普森法，用二分前后的两个积分值Sn与与S

57、2n，由误差公式即有，由误差公式即有162nnSISInnnnnSSSSSI1511516151222)( 不难直接验证就是不难直接验证就是复化柯特斯积分公式复化柯特斯积分公式. Cn的精的精度为度为O(h6).15115162nnnSSC 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页则则 同理由同理由柯特斯柯特斯法，用二分前后的两个积分值法，用二分前后的两个积分值Cn与与C2n，由误差公式即有，由误差公式即有642 nnCICInnnnnCCCCCI6316364)(631222 nnnCCR63163642 这就是这就是复化龙贝格积分公式复化龙贝格积分公式. Rn的精度为的精度为O(h

58、8).上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 一般我们将这种一般我们将这种龙贝格算法龙贝格算法做成表格做成表格 我们在变步长的过程中运用了三个公式，就能我们在变步长的过程中运用了三个公式，就能将将粗糙的梯形值粗糙的梯形值Tn 逐步加工成逐步加工成精度较高的辛普森值精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值柯特斯值Cn和和龙贝格值龙贝格值Rn.T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2 见书见书p135例题例题3. 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页例例4 利用龙贝格方法计算利用龙贝格方法计算i2iT序列序列S序列序列C序列序列R序列序列013.00000123.1

59、0000 3.13333243.13118 3.14157 3.14212383.13899 3.14159 3.14159 3.141594163.14094 3.14159 3.14159 3.14159这一结果与这一结果与I=相比较已有较好的精度相比较已有较好的精度.解解 计算结果列如下表计算结果列如下表:.14102dxxI 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页4.4.3 理查森外推加速法理查森外推加速法.,),(12)(2nabhbafhabTIfRnn 上面讨论说明由上面讨论说明由梯形公式梯形公式出发，将区间出发，将区间a, b逐逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过

60、程还可次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是继续下去，其理论依据是梯形公式的余项梯形公式的余项展开，设展开，设若记若记Tn=T(h)，当区间，当区间a, b划分为划分为2n等分时，则有等分时，则有).2(2hTTn 并且有并且有.)0()(lim),(12)(02IThTfhabIhTh 可以证明梯形公式余项可展开成级数形式，即可以证明梯形公式余项可展开成级数形式，即上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定理定理4 设设f(x) Ca, b，则有，则有式中式中I为积分值，系数为积分值，系数 k与与h 无关无关.误差量级为误差量级为O(h2).,)(263