第二节可分离变量微分方程

1、 可分离变量微分方程(Differential equations of the variables separated) 第二节 第七章 转化 解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22问题1：考虑一阶微分方程( , )yf x y,2 xxdydxdxyd2,22yxxdydxdyxyd22的解法。例如：再两边求不定积分,2xdxydcxy2又如：,22xdyxyd含有未知函数 y, 积不出。xdyxyd22,22xdxyyd,22xdxyyd,12Cxy,12Cx

2、y分离变量方程一、可分离变量微分方程分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF则有称为方程的隐式通解, 或通积分.425d2dyx yx4252dd ,yxyx例如：例如：d( , ) d yF x yx(d)d)gfxxyy可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .一阶微分方程的一般形式：一阶微分方程的一般形式：分离变量法分离变量法例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xe

3、Cy 1CeC令( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例2 的通解。求方程01122xyyyx得方程两端同乘以解2211xydx01122yydyxxdxCyydyxxdx2211两端积分得Cxy2211即得例例3. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y例例4. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1

4、故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0,21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) xyy22yx 顶到底的距离为 h ,hdC82说明说明:)(222CxCy2,2dyhCx则将这时旋转曲面方程

5、为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得)0,(2CoyxA( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111时当bbaa作变换kYyhXx,dd,ddYyXx则原方程化为 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha, 解出 h , k YbXaYbXaXY11dd(齐次方程)定常数), ,代入将kyYhxX求出其解后, 即得原方 程的解.,. 211时当bbaa原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc)0( b例例4. 求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令,5, 1YyXxYXYXXYdd得再令 YX u , 得令06 kh5, 1kh得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量, 得原方程的通解:15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC