第6章 带通随机过程_20140506

1、2022-5-271第第6章章 带通随机信号带通随机信号2022-5-272目录目录6.1 希尔伯特变换与解析信号希尔伯特变换与解析信号6.2 复（值）随机信号复（值）随机信号6.3 带通信号与调制带通信号与调制6.4 窄带高斯信号窄带高斯信号6.5 窄带高斯噪声中的高频信号窄带高斯噪声中的高频信号2022-5-2736.1 希尔伯特变换与解析信号希尔伯特变换与解析信号 dtXttxtxHtx)(11*)()()( )( tx定义：信号定义：信号x(t)的希尔伯特（的希尔伯特（Hilbert）变换为）变换为记为 或Hx(t)，是x(t)通过LTI系统h(t)=1/(t)的输出，该系统的频率响应

2、函数为希尔伯特变换的实质是对信号的正频率移相希尔伯特变换的实质是对信号的正频率移相/2，对信号的负频率移相对信号的负频率移相+ /2。0 wj,0 w,)sgn()(jwjjwH2022-5-274希尔伯特变换是一个正交变换，相当于一个正交滤波器。)(tX)(wX2022-5-275定义定义6.2 由实信号由实信号x(t)与它的与它的Hilbert变换变换 构构成的复信号为成的复信号为 ，称为，称为x(t)的的解解析信号析信号（Analytic Signal）或信号预包络（Pre-envelope）。)( tx)( )()(tx jtxtz)(1)()(txtjttz)(2)sgn(11)(w

3、uwjjtjt式中u(w)是频域的阶跃函数。2022-5-276 如果如果x(t)是确定信号，则解析信号是确定是确定信号，则解析信号是确定的的，并且其频谱为Z(jw) = 2X(jw)u(w)； 如果如果x(t)是平稳随机信号，则解析信号是是平稳随机信号，则解析信号是随机的随机的，其功率谱为 SZ(w) = Sx(w)?2u(w)?2 = 4Sx(w)u(w)。2)()()()(*tztztzRtxe根据下式由解析信号求出原信号解析信号本质上是还原信号的正频率部分，解析信号本质上是还原信号的正频率部分，是实现信号的一种简洁形式。是实现信号的一种简洁形式。2022-5-277希尔伯特变换的性质希

4、尔伯特变换的性质 1HH 1sgn22wjjwHjwH)2/(000twjtjwtjwejeeH)2/(000twjtjwtjwejeeH)()(txtxHH（1）希尔伯特逆变换为：由于则（2）希尔伯特滤波器是-90o相移的全通滤波器。对于w00，有2022-5-278twtweeHtwHtjwtjw000sin2/cos2cos00twtwjeeHtwHtjwtjw000cos2/sin2sin00twtftwtfH00cos)(sin)(twtftwtfH00sin)(cos)(若f(t)是低频带限的平稳信号（功率谱的最高非零频率限制在w0以下），则H 奇函数奇函数 偶函数，偶函数， H

5、偶函数偶函数 奇函数奇函数2022-5-279)()(XXRR)()(XXXRR)()(XXXRR 0)( )(dttsts)0()0(XXRR0)()()0(tXtXERXX（3）若X(t)是平稳随机信号，则其希尔伯特变换也是平稳的，并且)()(XXRHRHilbert变换是正交变换，当输入是平稳信号时，有X(t)与X(t)的希尔伯特变换 功率相等且彼此正交。对于确定信号s(t)，有其中)(tX2022-5-2710)()(1*1*)()()(1XXXXYRRHHRRR)()(1*)()(tXHtXttXtY)()(1*)()(*)()()(XXXXXXYXRRHRhRRR)()()(*)(

6、1*)()()(XXXXXXXYRRHhRRRR)()(XXRR)()(XXXRR)()(XXXRR证明：假设2022-5-2711)0()0(XXRR0)()()0(tXtXERXX)()(XXXRR由上面的性质，可见，信号在希尔伯特变换前后的功率相等。因为RX()是偶函数，推知是奇函数，则可得故在同一时刻X(t)与 彼此正交。)(tX2022-5-27126.2 复（值）随机信号复（值）随机信号 复（值）随机变量复（值）随机变量：Z = X + jY，两个实变量作为实部和虚部，其特性由X与Y的联合统计特性FXY(x,y)所决定。 复（值）信号复（值）信号：Z(t) = X(t) + jY(

7、t), t T，两个实信号X(t)与Y(t)其特性由X(t)与Y(t)的联合特性FXY(x,y; t1,t2)所决定。2022-5-2713复（值）信号的均值和相关函数复（值）信号的均值和相关函数)()()()()()(tjmtmtYjEtXEtZEtmYXZ),(),(),(),()()()()()()(),(2121212122112*121ttjRttjRttRttRtjYtXtjYtXEtZtZEttRXYYXYXZ),(),(),(),()()()()()()(),(21212121222211112*211212121212121ttjRttjRttRttRtjYtXtjYtXEt

8、ZtZEttRYXXYYYXXZZ复信号的均值为：复信号的相关函数为：复信号的互相关函数为：2022-5-2714复随机信号的其他数字特征复随机信号的其他数字特征222)()(),()(tYEtXEttRtZEZ)()(),()()()()()(),(),(2*121*22112121tmtmttRtmtZtmtZEtZtZCovttCZZZZZZ)()(),(),(212121212121ttttCttZZZZZZ)()(),(),(212121ttttCttZZZZ复随机信号的均方值为：协方差函数为：相关系数为：互相关系数为：2022-5-2715),(),(C ),(),(12*2112

9、*21ttCttttRttR0),()(2ttRtXE0)(),()(22tmttRt1),(, 1),(21tttt性质性质1复（或实）信号复（或实）信号X(t),t T的自相关函数与协方的自相关函数与协方差函数等满足：差函数等满足：共轭对称性：均方值为非负实数：方差为非负实数：相关系数：2022-5-2716性质性质2 2),(),(12*21ttRttRYXXY)()(),(),(2*12121tmtmttRttCYXXYXY1),(21ttXY两个复（或实）信号X(t),t T与Y(t),t T的联合矩特性满足：共轭对称性：协方差函数：相关系数：2022-5-2717复（值）随机信号的

10、广义平稳性复（值）随机信号的广义平稳性2121),(),()(ttRttRmtXE复常数若复随机信号X(t),t T的均值和相关函数满足称X(t)是广义平稳的。这里R()=EX(t+)X*(t)。有些书定义R()=EX(t)X*(t+)，对于实信号没有差异，但对于复信号则有所不同。2022-5-2718复平稳随机信号的性质复平稳随机信号的性质 若复信号的实部与虚部联合广义平稳，则复信号是广义平稳的，反之则不一定成立。222*)0( ,)()( ),()(mRmRCRR*)()( ),()(YXXYXYYXXYmmRCRRTttX),(TttX),(TttY),(性质1 若 是复（或实）平稳信号

11、，则性质2 若 与 是复（或实）联合平稳信号，则2022-5-2719复信号的功率谱和互功率谱复信号的功率谱和互功率谱)()(wSR)()(*wSwSYXXY复信号的功率谱与互功率谱同实信号相似，并服从维纳辛钦定理，即 。它的功率谱总是正的实函数，但不一定是偶函数。互功率谱通常是复函数，仍具有共轭对称性：2022-5-2720)0( jHmmXY)(*)()()(*hhRRXY)()()( ),()()(*hRRhRRXXYXYX2022-5-2721)sin()cos()(00twjAtwAtX0)sin()cos()(00twjtwEAEtXE021020102)(2)()(221),(j

12、wttjwtwjtwjXeaeAEeeAEttR)(2)(02wwawSX解: (1)因为均值为常数，相关函数为的函数，故其功率谱为例例6.2 假定复指数信号假定复指数信号X(t)=Ae j(w0t+)，其中，其中A与与为随机为随机变量，且彼此独立。假定变量，且彼此独立。假定A的均方值为的均方值为a2，在在-,)上上均匀分布。讨论：均匀分布。讨论：（1）它的广义平稳性与功率谱；（）它的广义平稳性与功率谱；（2）它通过冲击响应为它通过冲击响应为h(t)=e-btu(t)的系统后（其中的系统后（其中b0），），输出输出Y(t)的相关函数。的相关函数。2022-5-2722jwbjwH1)()(21

13、)(2)()()(0202222022wwwbawbwwajwHwSwSXY02022)(jwYewbaR（2）系统的频率响应为：输出信号的功率谱为：输出信号的相关函数为：2022-5-27236.3 带通信号与调制带通信号与调制 带通信号（Bandpass Signal）：功率谱仅在某个有限的区间（w1,w2）上非零，其中w2w10，而在该区间以外，信号的功率为零。 频域区间表示为：中心频率w0与带宽w=w2-w1，这时，w1=w0-w/2, w2=w0+w/2。2022-5-2724tjwtjwetx jtxetzta00)( )()()(其中i(t)与q(t)称为同相与正交信号；r(t)

14、与(t)称为包络与相位信号。)()()()()(tjetrtjqtita定义定义 6.3 带通信号带通信号x(t)的复包络的复包络(Complex envelop)为为包络可能为复信号，记为包络可能为复信号，记为2022-5-2725)(sin)()()(cos)()(ttrtqttrti)()(arctan)()()()(22titqttqtitrtjwetatz0)()()(00)()()()( )()(ttwjtjwetretjqtitx jtxtztwtqtwtitx00sin)(cos)()()(cos)()(0ttwtrtxi(t)、q(t)、r(t)与(t)都是低频带限信号，其关

15、系为显然则信号信号x(t)的莱斯表示的莱斯表示为：2022-5-2726带通信号的典型波形如下所示，是正弦波，中心频率w0远大于带宽，包络为r(t)，相位为(t) 。调制是将带限信号变换为带通信号，i(t)和q(t)称为同相和正交分量，是两路信息信号。w0为载波频率，x(t)称为已调信号。2022-5-2727)()(,)()(00wwSwSeRRazjwaz)()(0wwSwSaz0000)()()()()()(*)(jwajwtjwtjwzeRetataEetaetaER性质性质1 复信号复信号a(t)与与z(t)之间满足之间满足证明：由傅里叶变换，得2022-5-2728)()(qiRR

16、)()(qiiqRR0sin)(cos)()(00twtqEtwtiEtxE)2(sin)()(sin)()()2(cos)()(cos)()(21sin)(cos)()(sin)()(cos)()()(00000000twRRwRRtwRRwRRtwtqtwtitwtqtwtiEtxtxEqiiqqiiqqiqi定理定理 6.2 带通信号带通信号x(t)广义平稳的充要条件是广义平稳的充要条件是i(t)与与q(t)满足满足证明：证明：00sin)(cos)(),(wRwRttRqiixtwtqtwtitx00sin)(cos)()()()(qiRR)()(qiiqRR当满足条件X(t)平稳，

17、Rx()为：2022-5-2729twtqtwtitx01011sin)(cos)()(twtqtwtitx02022sin)(cos)()(twtqtqtwtititxtxtx02102121sin)()(cos)()( )()()()()()(21tititi)()()(21tqtqtq)()()(21tatata例例 6.3 已知带通信号已知带通信号x1(t)与与x2(t)的中心频率同为的中心频率同为w0，它，它们的复包络分别是们的复包络分别是a1(t)=i1(t)+jq1(t)与与a2(t)=i2(t)+jq2(t)。求求x(t)=x1(t)+x2(t)的复包络的复包络a(t)。解：x

18、1(t)与x2(t)的莱斯表示为：则记x(t)的同相和正交分量分别为i(t)与q(t)，则故x(t)的复包络为：2022-5-2730调制与解调调制与解调 在频带通信中，形成x(t)的过程称为调制，而还原出i(t)与q(t)称为解调。利用调制技术将带限的信息信号变换为带通信号，便于传输。i(t)和q(t)是两路信息信号，w0称为载波频率，而x(t)称为已调信号。(a) 调制(b) 解调2022-5-2731tjwtjwetjqtietatz00)()()()(带通信号由低频形式的复包络a(t)和载波频率w0组成。)()()(tjqtita)()()(txtqti与)()()(tqtitx与co

19、s2)()(0twtxLPFtisin2)()(0twtxLPFtqtwtqtwtitx00sin)(cos)()(称为调制；称为解调；2022-5-2732)()(21)(Re)(*tztztztxtjwetatz0)()(twjtjwtjwtjwetataetzetzetx00002*)()()()()(2twjetatjqtitwjtwtx02*00)()()(sincos)(2sin2)(cos2)()()(00twtxjLPFtwtxLPFtjqticos2)()(0twtxLPFtisin2)()(0twtxLPFtq因为则即由于a(t)是低频带限的，其最高频率wmw0，二次频项a

20、*(t)e-j2w0t与a(t)的非零频率区间不重叠，通过LPF得到a(t)。滤波器的截止频率为w0，保证i(t)与q(t)顺利通过。2022-5-2733功率谱的特点功率谱的特点 如果i(t)与q(t)是带限的，则a(t)是带限的，z(t)是带通的，x(t)=Rez(t)=i(t)cosw0t-q(t)sinw0t是带通的。 任何具有带通特征的实信号x(t)，其正频率部分功率谱为S+x(w)，可得到带通的z(t)和带限的 a(t)，进一步得到带限的i(t)与q(t)。2022-5-27342222222 ,xazqix)()( ,)()(00wwSwSeRRazjwaz)()( ),()(q

21、iiqqiRRRR基本结论基本结论l 功率（或方差）之间的关系功率（或方差）之间的关系：分量信号与实带通信号的功率相同，复包络信号与解析信号的功率相同。l 复包络信号复包络信号a(t)与解析信号与解析信号z(t)之间的关系之间的关系：l 两个分量信号满足以下关系两个分量信号满足以下关系，保证x(t)是平稳的。2022-5-273500sin)(cos)()(wRwRRqiixcos)(2)(0wRLPFRxisin)(2)(0wRLPFRxqi由于由对偶性l 分量与带通信号的函数关系分量与带通信号的函数关系2022-5-2736其他 , 0 ),()()()(000wwwwSwwSwSwSxx

22、qi其他 , 0 ),()()()(000wwwwSwwSjwSwSxxiqqil 有关信号的功率谱、互功率谱的关系：cos)(2)()(0wRLPFRRxqisin)(2)()(0wRLPFRRxiqqi)()(2cos2000wwwww)()(2sin2000wwwwjw证明：证明：2022-5-2737调制就是频谱搬移，解调是调制的逆过程。对于实信号，调制就是频谱搬移，解调是调制的逆过程。对于实信号，Si(w)与与Sq(w)要分裂为两个对称部分并分别向正、负频率方向搬移。要分裂为两个对称部分并分别向正、负频率方向搬移。2022-5-2738定理定理6.3 零均值带通高斯白噪声零均值带通高

23、斯白噪声n(t)的带宽为的带宽为B=W/(2) Hz，（双边）功率谱为，（双边）功率谱为N0/2，则其同相与，则其同相与正交分量正交分量ni(t)与与nq(t)是带宽为是带宽为B/2，（双边）功率谱，（双边）功率谱为为N0的带限白噪声，且两分量独立。求它的同相分的带限白噪声，且两分量独立。求它的同相分量量i(t)与正交分量与正交分量q(t)的相关函数和互相关函数。的相关函数和互相关函数。其他 , 02/ ,)()(0WwNwSwSqi0)()(wSwSiqqi证：0)()(qiiqRR2/sin)()(0WNRRqi2022-5-2739例例6.4 零均值平稳带通信号零均值平稳带通信号v(t)

24、的功率谱密度如下图的功率谱密度如下图所示。假定其中心频率为所示。假定其中心频率为fc=98 Hz，两个低频分量记，两个低频分量记为为x(t)与与y(t)。求：。求：(1)用用x(t)与与y(t)表示表示v(t)；(2)写出写出x(t)与与y(t)的自相关函数与互相关函数。的自相关函数与互相关函数。解：（1）因为wc=196，则)196sin()()196cos()( sin)(cos)()(ttyttxtwtytwtxtvcc2022-5-2740其他 , 0 ),()()()(00cvvyxwwwwSwwSwSwS其他 , 0 ),()()()(00cvvxyyxwwwwSwwSjwSwS其

25、他, 0, 1)(sinWwwStWtLPF4cos6sin42sin210sin2)()(yxRR4cos6sin4)(4sin2)()(66jjyxxyeejRR200cos6sin4)(vR（2）2022-5-27416.4 窄带高斯信号窄带高斯信号定义：如果带通信号的带宽与中心频率相比非常小，即 ，则称为窄带信号或准单频信号。)(0012wwwwwm或2022-5-2742cos2)()(0twtxLPFtisin2)()(0twtxLPFtq222xqi因为可见i(t)与q(t)是x(t)的线性变换，因此是联合高斯的。且满足（1）零均值，方差相同。（2）i(t)与q(t)正交。202

26、2-5-274322221);(xixietif22221);(xqxqetqf222221),(),(),;,(xqixqiiqetqftifttqif性质性质1 如果平稳窄带高斯信号如果平稳窄带高斯信号x(t)的均值为零，的均值为零，方差为方差为x2，则它的同相分量，则它的同相分量i(t)和正交分量和正交分量q(t)在在同一时刻彼此独立，并具有相同的高斯分布：同一时刻彼此独立，并具有相同的高斯分布：N(0,x2)，即，即且2022-5-2744其他 , 0 ),()()()(000wwwwSwwSwSwSxxqi其他 , 0 ),()()()(000wwwwSwwSjwSwSxxiqqil

27、 信号的功率谱、互功率谱的关系：00sin)(cos)()(wRwRRqiixtwtqtwtitx00sin)(cos)()()()( ),()(qiiqqiRRRR222xqi2022-5-2745定理定理6.3 零均值带通高斯白噪声零均值带通高斯白噪声n(t)的带宽为的带宽为B=W/(2) Hz，（双边）功率谱为，（双边）功率谱为N0/2，则其同相与，则其同相与正交分量正交分量ni(t)与与nq(t)是带宽为是带宽为B/2，（双边）功率谱，（双边）功率谱为为N0的带限白噪声，且两分量独立。求它的同相分的带限白噪声，且两分量独立。求它的同相分量量i(t)与正交分量与正交分量q(t)的相关函数和互相关函数。的相关函数和互相关函数。其他 , 02/ ,)()(0WwNwSwSqi0)()(wSwSiqqi0)()(qiiqRR2/sin)()(0WNRRqi2022-5-274622221);(xixietif22221);(xqxqetqf222221),(),(),;,(xqixqiiqetqftifttqif性质性质1 如果平稳窄带高斯信号如果平稳窄带高斯信号