高中数学必修四三角函数重要公式

1、高中数学必修四三角函数重要公式公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一 三角函数的值相等:sin 2k n- a= sin aCOS 2k n+ a= COS atan 2k n-a= tan aCOt 2k n-a= COt a公式二：设a为任意角，n + o的三角函数值 与a的三角函数值 之间的关系: sin n+a= sin aCOS n+ a= COs atan n+ a= tan aCOt n+ a= COt a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系: sin 一 a= sin aCOs一 a= COs atan 一 a= tan aCOt一 a= COt a公式四：n a与a

2、的三角函数值之间的关系:2na与a的三角函数值之间的关系:利用公式二和公式三可以得到 sin na= sin aCOs n a= COs atan n a= tan aCOt n a= COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到sin 2 na= sin aCOs 2 n a= COs atan 2 n-a= tan aCOt 2 n a= COt a公式六:n /2 ±及0 3 n /2 ±±a a的三角函数值之间的关系:Sin n /+ a= COs aCOsn /+ a= sin atann /+ a= COt aCOt n /+ a= tan aSin

3、n / a= COs aCOSn I2r a= sin a tan n l?T a= cot a cot n !2r a= tan asin 3 n I2- a= COS a COS 3 n /2- a= sin a tan 3 n /% a= cot a cot 3 n /% a= tan asin 3 n / a= cos a cos 3 n /a= sin atan 3 n / a= cot a cot 3 n / a= tan a以上k Z诱导公式记忆口诀规律总结上面这些 诱导公式 可以概括为：对于k n /2 ±Zk的个三角函数值， 当k是偶数时，得到 a的同名函数值，即函

4、数名不改变； 当k是奇数时，得到 a相应的余函数值，即sin tcos;cos宀sin;tan 奇变偶不变然后在前面加上把 a看成锐角时原函数值的符号。符号看象限tcot,cot ttan.例如:sin(2 a = sin(4 /2, k= 4 为偶数，所以取 sin。当 a 是锐角时，2n a (270 ° 360° , sin(2 a 茉 0，符号为 所以 sin(2 a ) sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 a视为锐角时，角k 360° +ock Z，- a、180° 所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导

5、名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀一全正;余弦.这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是牛；第二象限内只有正弦是牛，其余全部是 ；第三象限内切函数是 牛，弦函数是 ；第四象限内只有余弦是 牛，其余全部是 .±, a 360°-a正弦；三为切；四其他三角函数知识: 同角三角函数根本关系1同角三角函数的根本关系式倒数关系：tanaw1asinacsCaCOSaseia商的关系：sin a /cos= tan a sec a /CSC aCOS a /sin= COt a CsC a /sec a平方关系：sin2(

6、 d-)osA2( =)11 + tanA2(=)secA2( a )1 + COtA2( =)CSCA2( a )同角三角函数关系 六角形记忆法六角形记忆法：参看图片或参考资料链接构造以"上弦、中切、下割； 左正、右余、中间1"的正六边形 为模型。1倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；2商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积。由此，可得 商数关系式。3平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式2.两角和与差的 三角函数公式sin

7、a+B= sin a co (Cosa sin3sin a3= sin a co& (osa sin(cos a+3= cos a co(5ina sin3cos a3= cos a co(ina sin3tan tan 3tan a+ 3=1 tan a tan 3tan tan 3tan a 3=1 + tan a tan 3倍角公式3二倍角的正弦、余弦和正切公式升幕缩角公式sin2 a 2sin a COS aCOS2 a COSA2( 0)时2( a)COSA2( 0-)1 = 1 2sin2( a )2tan atan2 a1 tanA2( a )半角公式4半角的正弦、余弦和

8、 正切公式降幕扩角公式1 COS asinA2( a a21 + COS aC0SA2( a a)21 COS atanA2( a a1 + COS a万能公式5.万能公式2tan( a /2)sin a1 + tanA2( a /2)1 tanA2( a /2)COS a1 + tanA2( a /2)2tan( a /2)tan a1 tanA2( a /2)万能公式推导 附推导:sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a /(cosA2(a )+sinA2(a )因为 COSA2( a )+sinA2( a )=1再把*分式上下同除cosA2( a,可得sin2

9、 a tan2 a /(井ta门人2( a ) 然后用a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式6三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a 3sin 仿 4si门人3(a )cos3 a 4cosA3(3cos a3tan 肃 tanA3( a )tan3 a1 3tanA2( a )三倍角公式推导附推导：tan3 a sin3 a /cos3 aa (sin2 a coscos2 a sin a )/(cos2 a-sosaa sin a )a (2sin a cosA2(七)OSA2( a )sinasinA3( a )/(cosA3( c

10、os a sinA2(仿 2sinA2( a )cos a )上下同除以cosA3( a,得：tan3 a (3tan tanA3( )“(1-3ta门人2( a )sin3 a sin(2 七 a ) sin2 a co；s cos2 a sin aa 2sin a cosA2( 2si门人2( a )sin a=2sin 2sin人3( a出 sin 2sin人2( a )a 3sin a- 4si门人3( a ) cos3 a cos(2 a aa cos2 a coain2 a sin aa (2cosA2( a 1)cos 2cos a SinA2( a )a 2cosA3( a c

11、os a+ (2COS 2COSA3( a )a4cosA3( a 3cos a即sin3 a 3sin a 4si门人3( a )cos3 a 4cosA3( )3cos a三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元 减4元3角欠债了(被减成负数)，所以要 挣钱音似 正弦) 余弦三倍角：4元3角 减3元减完之后还有余注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍 角都用余弦表示。和差化积公式7三角函数的和差化积公式a+ 3 a 3sin 水 sin 存 2sincos-2 2a+ 3 a 3sin 皆 sin 存 2cos - sin -a+ 3 a 3cos a cos 护

12、 2coscos2 2a+ 3 p 3cos a cos 护一2sinsin2 2积化和差公式8三角函数的积化和差公式sin a-eo(s.3sin a+ 3+ sin a3cos a-sir®.3sin a+ 3 sin a3cos a - eofi.5cos a+ 3+ cos a 3 sin a - =si 3°.5COS a+ 3 cos a 3和差化积公式推导附推导：首先，我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin( a+b)+si n( a-b)=2si

13、na*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理，假设把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的，我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以，把两式相加，我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到sin a*si nb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式：si

14、n a*cosb=(s in( a+b)+s in( a-b)/2cosa*s in b=(s in( a+b)-s in( a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sin a*s in b=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差 的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到 和差化积 的四个公式我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：sin x+si ny=2si n( (x+y)/2)*cos(x-y)/2)si nx-si ny=2

15、cos(x+y)/2)*si n( (x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2si n( (x+y)/2)*s in (x-y)/2)向量的运算加法运算AB + BC = AC,这种计算法那么叫做向量加法的三角形法那么。两个从同一点 0出发的两个向量 0A、OB，以0A、OB为邻边作平行四边形 OACB , 那么以O为起点的对角线 OC就是向量OA、OB的和，这种计算法那么叫做向量加法的平行四边形法那么。对于零向量和任意向量 a,有：0 + a= a+ 0= a。|a+ b| w 战|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，一(-a)= a,零向量的相反向量仍然是零向量。1a+ ( a)= ( a)+ a= 0 2a b= a+ ( b)。数乘运算实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入a I入=11入II,当入0时，入a的方向和a的方向相同，当入 0寸，入a的方向和a的方向相反，当入=0时，入a = 0 设 入是实数，那么：1(入口 )a =