高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习

1、高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法:根据函数的定义求解析式用定义法。【例 1】设|f(x 1) X2 3x 2|，求|T(Xrf(x 1) X2 3x 2(x 1) 123(x 1) 12(x 1)2 5(x 1) 62f(x) x 5x 6x 1【例2】设f f(x)，求f(X)x 2解:ff (x)x 1 x 11x 2 x 11 d 11 1 xf(x)【例3】求 fg(x)设 f(x 丄)x2 4r, g(x 丄)x3 4xxxx1211 22解： f (x -) x (x -)2f (x) x 2xxx又 g(x 】)x32(x 丄)33(x -1)g(x) x33

2、xxxxx故 f g(x) (x33x)22 x6 6x4 9x22【例 4】设 f (cosx) cos17x,求f (sin x)解:f (sin x)f cosqx)cos17右x)cos(8 17x) cos(17x)si n17x待定系数法：(主要用于二次函数)函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据条件建立关于待定系数的方程， 从而求出函数解析式。它适用于所求函数类型(如一次函数，二次函数，正、反例函数等)及函数的某些 特征求其解析式的题目。 其方法：所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。【例1】 设f(x)是一次函数，且ff(x) 4x 3，求

3、f(x)【解析】设f (x) ax b(a 0)，那么2f f (x) af (x) b a(ax b) b a x ab ba24ab b 3a 2 亠a 2或b 1b 3解：显然，f(x)是一个一元二次函数。设ax2 (b 4a)x (4a 2b c)a 2b12f (x) 2x x 3c3f (x) 2x 1 或 f (x) 2x 3【例2】二次函数f (x)满足f (0) =0, f (x+1) = f (x) +2x+8，求f (x )的解析式解：设二次函数 f (x) = ax2+bx+c,那么 f (0) = c= 0f (x+1) = a(x1)2+b (x+1) = ax2+

4、 (2a+b) x+a+b由 f (x+1)=f ( x )+2x+8与、得2a b b 2a 1,解得故 f (x) = x2+7x.a b 8b 7.【例3】f (x 2) 2x2 9x 13，求f (x)2f (x) ax bx c (a 0)三、换元(或代换)法:复合函数lfg(x)的表达式时，还可以用换元法求If(X)的解析式用来处理不知 道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。女口：复合函数f g(x)的解析式，求原函数f(x)的解析式，把g(x )看成一个整体t,进行换元，从而求出 f (x)的

5、方法。实施换元后，应注意新变量的取值围，即为函数 的定义域.【例2】f (1 x) x211/ 2x x一，求 f(X).x 那么 f(t) f(解:1 Xx21111)一2 - 1 2x x x x x1 1(t11)21221 (t 1)2(t 1) t2 t 11t 1f (x)x2 x 12【例 3】设 f (cosx 1) COS x，求 f(x)解：令 t cosx 1, cosx t 1 又1 cosx 1,2 cosx 10 即 2 t 022f(t) (t 1) , ( 2 t 0)即 f(x) (x 1) , x 2,0x 1【例4】假设f (x)f ()1 xx(1)在(

6、1)式中以f()xf(x心)x2x 1即代替(1)式中的X得:1f( x 1)f(x)(1) (3)得:2f(x)12x 1xx21x(x 1)f (x)x212x(x 1)1 【例5】设f (x)满足af(x) bf(-) cx (其中a,b,c均不为0,且a b)，求f(x)x解：af (x) bf (丄)cxx1(1 )用丄来代替x，x 一得 af (丄)bf (x) c1xx(2 )由a (1) b (2)得：(a2 b2)f (x)acx2 bcxf(x)acx2 bc(a2 b2)x【例6】f (ax 1) x2 2，求f(x)解:设 |t ax 1，那么 x 1 log at即

7、x log a t 1代入等式中，得：f (t) (lOg a t 1)2 2 lOg at 2 log a t 32f (x) log a x 2 log a x 3四、代入法:求函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法.2,frf【例1】：函数y x x与y g(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式.解：设M (x, y)为y g(x)上任一点，且M (x , y)为M (x, y)关于点(2,3)的对称点.2,解得：x x，点 M (x ,y)在 y g(x)上2y y 32y x2 x .代入得:6 y ( x 4)2( x 4).整理得yx2 7x 62g (

8、x) x 7x 6(五)配凑法复合函数fg(x)的表达式，求If(X)的解析式,|fg(x)|的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法.但要注意所求函数f(X)的定义域不是原复合函数的定义域,而是|g(x)的值域.【例1】：f (仮1) x 2jx,求I f (x)的解析式。当然，上例也可直接使用换元法由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。1 2 1 【例2】：f(X ) X ,求f(X).XX 分析：此题直接用换元法比拟繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比拟方便。即: |f(x) X22(x R)实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而

9、是先把函数表达式配凑成用 此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。(六)构造方程组法(消去法)。假设的函数关系较为抽象简约，那么可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方 程组求得函数解析式.构造方程组法适用的围是：题高条件中，有假设干复合函数与原函数| f(X)|混合运算,那么要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余局部。【例3】：设f (x)满足f (x) 2f()X,求f(x)的解析式。X分析：要求| f (x) |可消去，为此，可根据题中的条件再找一个关于I f(x)|与f (丄)的等式，通过解方程组到达消元的目的。解析：Q f(x) 2f

10、(1) x0,将凶换成x显然,f () 2 f (x).xx小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)的解析式。数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得【例4】f(ax1) x22 ,求I f (x)解:设 t ax 10，贝y x 1 log a t即 x loga t 1代入等式中，得：f (t) (log a t 1)22 log at 2loga t 32互为相反数，如f(x)的解析式。f (x) log a x 2log a x 3小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，

11、解方程组即得 1 【例5】设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x) g(x) ,试求f (x)和g(x)的 x 1 |解析式【解析】I f (x)为偶函数，|g(x)为奇函数，f( x) f(x),g( x) g(x)f(x) g(x)用匚勺替换得:f( x) g( x)即f(x) g(x) 丄x 1解联立的方程组，得f(x)1x21g(x)七、特殊值法：(赋值类求抽象函数)当题中所给变量较多，且含有“任意等条件时，往往可以对具有“任意性的变量进 行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式.【例1】：设I f (x) I是定义在N上的函数，满足f (1)1，对于任意正整数xTyl，均

12、有f (x) f(y) f(x y) xy，求 f(x)解：由 f (1)1 , f (x) f (y) f (x y) xy设 y 1 得：f (x)1 f (x 1) x即：f(x 1) f (x) x 1在上式中，凶分别用1,2,3, ,t 1代替，然后各式相加可得：f(t) (t2)(t 1) 1 丄t2 丄上2 2 2f (x)1 x21 x (x N )2 2【例2】设是定义在 R上的函数，且满足 f (0) =1，并且对任意的实数 x, y,有f (x y) = f ( x) y (2x- y+1 ),求 f ( x)函数解析式分析：要f (0) =1 , x, y是任意的实数及

13、f (x y) = f (x) - y (2x y+1),得到 f (x)函数解析式，只有令 x = y.解：令 x = y，由 f (x y) = f (x) y (2x y+1)得f (0) = f (x) x (2x x+1)，整理得 f (x) = x2+x+1.八. 利用给定的特性求解析式【例1】.设f(x)是偶函数，当x 0时,f (x) e x2ex，求当 x V 0 时，| f (x)的表达式.f(x)满足f(x) f(x 1)，且当 x 1 , 0时，f (x) x2 2x练习.对x R,求当x 9 , 10时f(X)的表达式.九、累加法:累加法核心思想与求数列的通项公式相似

14、。【例1】：假设f (1) lg-，且当ax 2 时，满足 f (x 1) f (x) lgax1,(a0, x N )，求 f(x)x 1解： f (x) f (x 1) lg a (a 0, x N )递推得：f (x 1) f (x 2) lg ax 2f (x 2) f (x 3) lg ax 32f(3)f(2) lgaf f (1) lg a以上(X 1)个等式两边分别相加，得:f (x) f (1) Iga Iga2lg ax 2 Ig ax 1f (1) Ig a1 2(x2)(x1)1x(x 1)x(x 1) 11ooIg Ig aIgaax(x21) 1Iga十、归纳法:1

15、 【例 1 】： f(x 1)2 ?f(x), (x N )且 f(1) a，求fX解： f(1) a, f (2)2 -1 f (1)2 1a 4 2 1a1111f (3)2- f (2)2-(2-a)420 a222221111f(4)2 -f(3)2 -(3 -a) 4 21 市 a22421 111 1f 2 丁 2 2(32 8a) 4 2 2 产，依此类推，得f(x) 4 23 x 21 再用数学归纳法证明之。x 1 【例 2 】：设 f(X)，记fn(x) fff(x)，求亘i卜一、递推法:假设题中所给条件含有某种递进关系，那么可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代

16、等运算求得函数解析式。【例1】设fx是定义在可上的函数，满足|f1|，对任意的自然数a,b都有f (a) f (b) f (a b) ab，求 f (x)【解析】f (a) f (b)f (a b) ab, a,b N ,不妨令 a x,b 1，得：f(x) f(1) f (x 1) x,又 f(1)1,故f (x 1) f(x) x 1y=f f x的图象关于原点对称.1，它关于原点对称点一 1, 1,因此当 x 0,xv 0.十二、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式【例1】 是定义在 R上的奇函数，当 x0时，f f x =2x- x2,求f

17、 f x函数解 析式.解： y=f fx是定义在R上的奇函数，当 x 0 时，f fx =2x - x2 的顶点 f 1,评注：对于一些函数图象对称性问题，如果能结合图形来解，就会使问题简单化十三、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。【例1】.函数疋是R上的奇函数，当晡=于一 I,求fX|的解析式。解析：因为世引是R上的奇函数, 所以|f-刃 -fx月卩-期f(z) -= -(3-K -1) = -31 + 1f(30 =? -1.X&.0+ 12 f(x)=x 1 (x 1)2、配凑法例 2、 f (x 1) x2 2x，求 f (x).解:f (x 1)

18、(x 1)2 2x 1 2x(x 1)2 4x 1(x 1)2 4(x 1)3f (x)x2 4x 3 .3、换元法例3、 fx21，求f ( x)的解析式x 1解：设=txx=2x1(t 1 t f (t) = t Lt 1故 f ( x) =x2 x+11 = 1+ (t1)2 +1t 1(X丰 1 ).(t 1) = t21+1评注：实施换元后，应注意新变量的取值围，即为函数的定义域4、待定系数法例4、二次函数f (x)满足f (0) =0, f (x+1) = f (x) +2x+8，求f ( x)的解析式解：设二次函数 f (x) = ax2+bx+c,那么 f (0) = c= 0

19、f (x+1) = a (x 1) +b (x+1) = ax2+ (2a+b) x+a+b 由 f (x+1 ) = f (x) +2x+8 与、得2a b b 2a 1,解得故 f (x) = x2+7xa b 8b 7.评注：函数类型，常用待定系数法求函数解析式5、直接图像法例解:6、方程组法1例6、设函数f (x)满足f (x) +2 f ()x =11，假设用 去代替中x，便可得到另x 0时，f (x) =2x x2,求f (x)函数解析式. f解 y=f (x)是定义在R上的奇函数， y=f (x)的图象关于原点对称因此当x =J?+x + l,求f (龙)的解析式.膵析：本極己知

20、M时./件卄匕求/的解析式只需要求出 x = OJbr 啲牌桁或进打转化可求得工 0,用7替阳(x)二卡十兀+ 1中的胁得f (iJt) = (.)耳 + (A*) +1 X X +1.又/ /(X)圧命函数，那么f-X)=-f(X)二 一X* -兀 + 1 = -/(x),Up/ (x) = r5 +x -1二肖xcOllt, /(x) - x3 + x-1 .f (jc)Ji奇瞬数，故f(0) = 0.J + t + 1. A (XA = 0.2，X 4- X 1, A 0时，f(x) e x e ,求当x o时，f (x)的表达式.12.对 x R, f(x) 满足fx)f(x 1) ,且当 x 1,0时,f (x) x2 2x 求当 x 9,10时f (x)的表达式.例6、函数f (x)对于一切实数lx, y|都有f (x y) f (y) (x 2y 1)x成立，且f (1)0(1)求f (0)的值；(2)求f (x)的解析式求函数的解析式例1f (x)= |x2 2x|，求f(|x 1)的解析式.(代入法/拼凑法)变式1f (x)= |2x 1 ,求f (回 的解析式.I 2 Z 7变式2f (x+1) =