高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案

1、数列求通项公式的方法、叠加法1 .适用于：an 1二 a-f (n)这是广义的等差数列 累加法是最基本的两个方法之一。2 .假设ananf(n)(n2)，a?a那么a3a2f(1)f(2)an 1anf(n)nf(k)两边分别相加得an 1例1数列 an满足 a 1an2n 1, a11 ,求数列an的通项公式。解:由an 1an 2 n 1 得 an 1an2n 1那么an (anan 1) (an 1 an 2)(a3 a?)(a2aj a12(n1) 1 2(n 2)1(2 21)(2 1 1) 12(n1) (n 2)2 1(n 1) 12(n(n 1) 1aik 1(n 1)(n 1

2、) 12n例2.数列an中an 0且Sni(an,求数列an的通项公式.S解：由斤)n n 1化简有Sn Sn 2(Sn Sn1n,由类型1有S： S1所以数列an的通项公式为23又Sla1得a1 1,所以Snn(n 1)2,又 an0SnTO2n(n1)2n(n1)练习1,数列an的首项为1,且an 1 an 2n(n N)写出数列an的通项公式2答案：n n 1练习2.数列an满足a1anan 11n(n2)，求此数列的通项公答案：裂项求和an练习3.数列an满足a1-，求 an 0n n解：由条件知：an 1 an1n(n 1)分别令n 1,2,3,(n 1)，代入上式得(n1)个等式累

3、加之，即(1少(2 1) (3;)(11 11 n所以an1a11 n1113 1a1，an1 22n2 n(a2 a1)(a3 a2) (a4 a3)(anan 1 )评注：a1 a, an 1 anf(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an. 假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 假设f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 假设f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、叠乘法1. 适用于：an 1 f (n)an 这是广义的等比数列累乘法是最根本的

4、二个方法之二。2假设空 f (n)，那么电f(l),，3f (2),anaia2an 1anf(n)两边分别相乘得,an 1aainf(k)k 1例3.数列an满足aianan，求 an 0解：由条件知也an1,2,3,(n1)，代入上式得(n 1)?-°4? an 123aa?a3an 1234又 a12，an233n练习1.数列an满足an12(n个等式累乘之，即1)5n an，a13，求数列的通项公式解：因为 an 12(n 1)5n a“，63，所以 a“an2(n 1)5n，故anan 12( nan 1a3an 2a2a1 1)5n 12 (na12 1)51 22(2

5、1)522(11) 51 3练习2.设an是首项为1的正项数列，且n1a；1na；an 1an 0 n =1，2,3,那么它的通项公式是an解：等式可化为:(an 1an) (n 1)an1nanan(n+1)an 1 nan 0a n 1anan2时,anan 1anan 1an 1an 2a2a n 1 n 2a1 a1= n n 1评注：此题是关于an和an1的二次齐次式，可以通过因式分解一般情况时用求 根公式得到an与an 1的更为明显的关系式，从而求出an.练习.an 1 nan n 1，a11,求数列an的通项公式.答案：办 (n 1)!(a11) -1.评注：此题解题的关键是把原

6、来的递推关系式an1门乳n 1,转化为an 1 1 n(an 1)，假设令bnan1,那么问题进一步转化为bn 1nbn形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式、待定系数法适用于an 1 qan f (n)根本思路是转化为等差数列或等比数列， 而数列的本质是一个函数，其定义域是 自然数集的一个函数。1 .形如an 1cand, (c 0 其中 a1a)型1假设C=1时，数列%为等差数列；2假设d=0时，数列an为等比数列；学生教案3假设c 1且d 0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法 构造辅助数列来求待定系数法：设an 1c(an )得 an 1 can (c 1),与题设an

7、1 cand，比拟系数得(C 1)d,所以0)所以有:danc(anc 1因此数列d anc 1构成以a1d_为首项，以C为公比的等比数列,an所以(ai宀)即:an (a1斗cn1丄c 1c 1规律：将递推关系an 1 cand化为anc(an已)，构造成公比为can 的等比数列 c 1从而求得通项公式an例4.数列an中，a 1,an 2an 1 1(n 2)，求数列an的通项公式解：二'an 2an 1 1(n2),an 12(an 11)又+a1 1 2,an 1是首项为2,公比为2的等比数列an 1 2n，即 an 2n 1四.逐项相减法逐差法1：有时我们从递推关系an 1

8、can d中把n换成n-1有an can 1 d ,两式相减有an 1 an c(an an 1)从而化为公比为c的等比数 列an 1 an,进而求得通项公式.an 1 an J(a2 a1),再利用类型(1)即可求 得通项公式我们看到此方法比拟复杂学生教案例5数列a.中，a1 1,an 2an 1 1(n 2)，求数列an的通项公式。解：二-an 2an i 1(n2),an 12an 1两式相减得an 1 an 2(an an 1)(n 2)，故数列an 1 an是首项为2,公比为2的等比数列，再用累加法的练习数列an 中,a12, an 112,求通项ana n答案：(2)n12.形如：

9、an 1 p an其中q是常数，且n 0,1)假设p=1时，即：an 1 annq，累加即可.n假设P 1时，即：冇1 P an q，an 1n 1即： pann qbnannp ，那么bn 1 bn然后类型1,累求通项方法有以下三种方向：in 1.两边同除以p .目的是把所求数列构造成等差数列加求通项.ii.两边同除以q目的是把所求数列构造成等差数列。an 1 p an 1n 1n即： q q q q,bn令anbn 1,那么可化为bn1q .然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列n 1,n、设an 1 q p(an P).通过比拟系数，求出，转化为等比数列

10、求通项注意：应用待定系数法时，要求 p q,否那么待定系数法会失效。例6数列an满足an 1 2an 4 3 1, a1 1，求数列an的通项公式。解法待定系数法：设an1132(an 31)，比拟系数得14, 22那么数列n 1an是首项为44 31 15，公比为2的等比数列,所以an4 3n 152* 1，即4 3n1 5 2n1解法两边同除以1丨:两边同时除以n1 得:an 13n 12 On 土3 3n 32,下面解法解法三两边同除以:两边同时除以2n1得:an 1盯鱼 4(2)n2n 32 ，下面解法略练习.数列an/1、n 1()，求 an2(丄)n1 两边乘以 2n1 得：2n1

11、?am 2(2n?an) 1232 bn 1,应用例7解法得：bn 3312($3中,ai516,an1 3an1解：在an 1an3令 bn 2n?an，那么 bn 1所以an3形如an 1 Pan kn b (其中k,b是常数，且k 0)方法1 ：逐项相减法逐差法方法2:待定系数法通过凑配可转化为(an xn y)P(an 1 x(n 1) y)；解题根本步骤：1、确定 f(n)=kn+b2、设等比数列bn(anxny)，公比为p3、列出关系式(anxny)P(an1 x(n 1)y),即 bn Pbn 14、比拟系数求x,y5、解得数列(an xn y)的通项公式&解得数列an的

12、通项公式在数列an中，a111 an 13an 2入求通项an.逐项相减法解:an 1 3an 2n,2 时 an 3an 12(n 1)两式相减得an 1 an3( an ani)2 令 bna n1 an 那么 bn 3bn 12利用类型5的方法知bn5 3n 1即 an 1an5 3n 1 1再由累加法可得an亦可联立解出an 5 3n 1 n2练习.在数列a中,aii,2anan6n 3,求通项an.:待定系数法解：原递推式可化为2(anxn y)an 1x(n1) y比拟系数可得：x=-6,y=9.上式即为2bnbn所以bn是一个等比数列,首项biai6n912 ,公比为2.即: a

13、n6n 9 9an 9)n 6n故25.形如 an 2pan 1qan时将an作为f(n)求解分析：原递推式可化为an 2an 1(p)(an1 an)的形式，比拟系数可求得，数列an 1an为等比数列。例8数列an满足 2 5an 16an，a11，a2 2，求数列an的通项公式。解.设 an 2 an 1(5)(an 1an)练习2数列an的各项都是正数，且满足:*01,an 12an(4 an)，n N比拟系数得3或2不妨取2，取-3结果形式可能不同，但本质相同贝» an 2 2an 13(an 12an)那么寺12an是首项为4,公比为3的等比数列an 12an4 3n 1所

14、以an4 3115 2n 1练习1.数列an 中,假设a18, a22,且满足an24an 13an ° 求 an答案：ann11 3求数列an的通项公式an.an 1解：1 1 22an(4 an)2(an 2)4，所以2(an 12)(an 2)2令bnan2,那么 bn1 b22bn1 2(詐2)21 G)2b【1/ 1 1 22n 2nqbn又1 2n1 t1 2n 1bn(J,即an2bn2(;)bn=-1,所以22 .方法2：此题用归纳-猜测-证明，也很简捷，请试一试解法3：设cnbn，那么1 2nCn 1c 2,转化为上面类型1来解五、倒数变换法适用于分式关系的递推公式

15、，分子只有一项例9数列an满足an 12an ,a11，求数列an的通项公式。an21解：求倒数得丄1丄J1 1 1J 丄 为等差数列，首项-1an 12anan 1an2an 1anC公差为1，an2(n 1)，an六、对数变换法适用于an 1rPan 其中p,r为常数型p>0 ， an2例10.设正项数列an满足a1 1，an 2an 1 :2.求数列的通项公解：两边取对数得:log；n 1 2log；n1 log；n 1 2(log；n1，设 6iog；n 1那么 bn 2bn 1bn是以2为公比的等比数列,bilog2 11bn1 2n 1 2n 1logan12n 1log2n

16、2n 12n 1 1an221练习答案:数列中,_ 2 22 nan 2a11an 2 an 1 5?2,求数列an的通项公式.例11数列an满足坯3n5an ，a17，求数列an的通项公式。解：因为an 12n 53 an， a1所以an0?an 10 o两边取常用对数得lg an 1 5lgannlg3lg2设 lg an 1 x(n 1)y 5(lg anxn y)同类型四比拟系数得,lg34, lg3lg ann4由 lg a1所以数列lglg3 lg3y需1也必lg7164lg3 lg2 164也n4an的等比数列,那么 lg an16lg3n44lg34也也0,得164是以lg7

17、也 也 必为首项，以5为公比 4lg3164164lg 2lg3 lg3 lg 2、“ 1(lg7)5n 1，因此44164lgan(lg741 1ig3 ig3 ig2 n1 ig3nn 1161lg(7 3刁 3花 2刁)5n1 1 1lg(7 34 3仍 24)5n 4n 13nlg(341lg(75n 1 3 162)5n 15n5n 4n 15n 1 1那么 an75"13 162 oIg3 lg21lg(34 3花 2刁)13花12刁七、换元法适用于含根式的递推关系例12数列an满足an 14an J 24an，a1 1，求数列an的通项公式。解：令bnJ 24an，那么

18、 an1)代入an 124(bn1即 4b； 11(1 4a“. 1 24an)得16 '1121)1 4(bn 1) bn1624(bn 3)2因为bn24an 0，那么 2bn 1bn133，即bn1 2bn2，13 -(bn 3)，2所以bn 3是以 b 3,1 24a!3可化为bn 1比数列，因此bn 1、1 24 1 3 2为首项，以-为公比的等2那么 bn dn 2 3，即. 1_24an dn2 3，2 2得2/5人 an；3 42八、逐差法2逐项相减法1、递推公式中既有Sn，又有an分析：把关系通过anSn 1Sn Sn 1, n2转化为数列an或Sn的递推关系，然后米

19、用相应的方法求解。例13数列an的各项均为正数，且前n项和S1满足Sn丄(an 1)(an 2),6且a2,a4,a9成等比数列，求数列务的通项公式。1解：对任意n N有q -(an 61 a1(a1 1)(a161当 nA2 时，Sn 1(an 1 1)(an 16-整理得：(an an 1)( an an 1当 n=1 时， an各项均为正数,anan 11)(an 2)2)，解得a1 1或a1 22)3)当印1时，an 3n此时a4a2a9成立当a12时,an 3n此时a4a2a9不成立，故a12舍去所以an 3n 2练习。数列an中,答案：Sn Sn 1 a厂1an 0 且 Sn(an

20、2(an 1)21)2,求数列an的通项公式.(an 11)2an 2n2、对无穷递推数列例14数列an满足q 1,an a1 2a23a3(n1)an 1( n 2)，求an的通项公式。解：因为an a1 2a2 3a3 (n 1)an1(n2) 所以 an 1 a1 2a2 3a3 (n1)an 1 nan用式一式得an 1 an那么 an 1 (n 1)an(n 2)故n 1(n an2)所以an丑也an 1 an 2a2a2n(n 1)4 3a2 号 a?.由ana1 2a2 3a3 (n1)an1(n 2)，取 n 2得a?印 2a?，那么 a?a1，又.n!知ai 1，那么a2 1

21、，代入得an 1 3 4 5n2 n !所以，an的通项公式为an 2数列的通项公式与求和练习1 数列an的前n项为Sn,且8 1, an 1 1 Sn(n 1,2,3，)3(1) 求a2,a3,a4的值及数列aj的通项公式.(2) 求 a2 a4 a2n练习2数列an的前n项和记为&，a1 1, an 1- Sn (n 1,2,).证明:n(1) 数列 * 练习3 数列an的前n项为Sn，Sn -(an 1)(n N ) (1) 求 a1,a2； (2) 求证:数列an是等比数列.是等比数列；n(2) Sn 1 4an练习4数列an满足 a1-,an 1 an J一 ,求an.n n

22、练习数列an满足,ai |,ani化乳求an.练习6511数列帥中®6,an1 3an (2r；求an.练习7数列an满足:an匚,a,1,求数列an的通项公式3 an 11练82ai假设等比数列an的前n项和Sn= 2n- 1,那么22 2a2 a3an5 n 八(10 1)练习 9 求和：5, 55, 555, 5555,，9练习10求和：11(3n2) (3n 1)练习11求和:1 1212 3112 3 n练习12设an是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且bi 1 a3 bs 21 as b3 13I求an , bn的通项公式；anu求数列bn的前n项和S1 .答案14练

23、习1答案：23，a36®16273 4 2n尹3)inn 2练习2 证明：(1)注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入第二条式子得：S(n+1)-S( n)=S( n)*(n+2)/n n S( n+1)-nS( n)=S( n)*( n+2) n S( n+1)=S( n)*(2 n+2)S( n+1)/( n+1)=S( n)/n*2又S(1)/仁a(1)/仁1不等于0所以S(n)/n是等比数列由知，S(n)/n是以1为首项，2为公比的等比数列所以 S(n)/n=1*2A(n-1)=2A(n-1) 即 S(n)=n*2A(n-1) (*)代入 a(n+1) = S(n)*(n+2)/n得a(n+1)=(门+2)*2八(n-1) (n属于 N)即 a(n)=(n+1)*2(n-2) (n 属于 N 且 n>1)又当n=1时上式也成立所以 a(n)=(n+1)*2(n