数学教学案例

1、数学教学案例二次函数性质的应用一教学目标1、 能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。2、 掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。3、 提高学生归纳、建模、转化、数形结合的思想，培养学生的创新精神和实践能力。4、 让学生体验知识来源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点，体验数学的应用价值。二教学重点和难点重点：如何将生活、生产中的实际问题转化为数学问题，并用二次函数求出最大（小）值。难点：将实际应用转化为数学问题，用二次函数求最值的建模思想。三教学过程的形成过程 成功的教案形成的过程各不相同，但有两点是必不可少的：第一，借鉴他人成功的经验。许多老教师、名教师的教学经验丰富，对教材的理

2、解深刻，教学过程的处理得法，重点的突破和难点的化解都有独到的方法，是年轻教师得以学习的。值得借鉴的可以是一份完整的教案，也可以是教学过程某一个环节的教学，如新课的导入，概念的形成过程，重点的突破，难点的化解，解题步骤的归纳等学生不容易掌握的知识点。第二，执教者自身对教材的理解和独特的教学思路，在认真学习数学课程教学大纲和阅读教科书后和教学参考书后，教师明确了数学课程标准的教学理念，了解教科书中该节内容的编写意图，会形成对这一教学内容新的理解，在教学过程的设计中反映出自身的特色和风格，这样编写的教学过程才会有创新。“二次函数性质的应用举例”的教案，是一位青年教师根据如下教案进行试教，经过其他教师

3、听课点评后，再结合执教者对教材的深刻理解编写的一份教案，下面我们来看这份教案形成的过程。（一） 对被借鉴的教案的实施（课堂实录）和点评1、 复习提问师二次函数y=ax2+bx+c有哪些性质？生（略）评教师提出的问题范围太大，学生难以简要回答，只能照背教科书中二次函数的性质，花费了很多时间。这样的问题最好分解成小问题，让学生便于回答，又能复习二次函数的性质，才能达到预期的目的。师下面大家一起做投影上的练习。（出示投影）已知二次函数y=x2-3x+2，填空：(1)图象的对称轴是，顶点坐标是。直线x=, (,)(2)开口方向是。（向上）（3）当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x增大而增大；当x

4、 时，函数有最值，是。（，小，）（4）当x时，y0，若y2或1,1x0 解得：0x0师这样求窗户的最大透光面积，就转化为求什么？生求函数y=x=的最大值。师怎样求？生当x=1时，y的最大值是。师对，应注意x 的取值是否在自变量的取值范围内。（教师板书解题过程）评（1）这种问答式的讲课方式，表面上看教师提出的问题学生都对答如流，没有任何障碍，但这样的问答结果，学生有没有真正掌握了问题所在，学生的思维是否被激起？（2）新课的引入缺乏新意，照搬照抄会让学生成为解题机器。教学中应创设情境，让学生在实践中提出问题，解决问题，增加师生互动，生生互动，激发学生学习的兴趣，让学生主动地学习。师通过例1的讲解可

5、知，用二次函数的性质解决生活和生产中的实际问题时，一般步骤是：列出二次函数的解析式，列解析式时要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。在自变量的取值范围内，运用公式或通过配方法，求出二次函数的最大值或最小值。评数学课堂教育应充分发挥学生的主体作用，学生能做的尽量让学生去做，教师在必要的时候加以点拨，像这种归纳最好由学生去完成，教师对不完整之外进行补充，让学生体验一次成功的感觉。师接下来看例2。（呈现投影片）例2 如图2，B船位于A船正东26Km处，现在A、B两船同时出发，A船以每小时12Km的速度朝正北方向行驶，B般以每小时5Km的速度向正西方向行驶，求A船何时与B船相距最近，最近距离是

6、多少? A A B B图2师要求两船相距最近，应先回答下列问题。（呈现投影片）设若经过t时，两船A、B分别到A、B，则AA= ,BB。（2）AB（3）若设两船的距离为s（km），写出s关于t的函数解析式s=（4）要求出两船之间的距离的最小值只要求什么？（指定一名学生填空：AA12t，BB=5tAB26-5tAB生要求最小值只要求二次三项式169t2-260t+676的最小值。师 多项式169t2-260t+676的最小值.怎么求呢？生甲当t时，有最小值576。生乙用配方法，1695t2-260t+676=(13t-10)2+576.当13t-10=0,即t=时，有最小值576，则s的最小值为2

7、4评这个例题是一个运动点的问题，有条件的情况下最好采用多媒体动态图形，使问题更直观、形象，问题的解答过程可由学生学习小组讨论解决、以调节课堂气氛，调动学生学习积极性，培养学生团队合作能力。3、课堂练习师下面做书本的练习。1 如图3，周长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？ 图3 2 把60表示成两个正数的和，使这两个数的乘积最大。3 已知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边的最小值，以及当斜边达到最小值时的两条直角边的长。（学生练习，教师巡视指点）评课堂练习的目的是为了使学生加深对所学知识的理解，形成知识体系，把多个练习题放在一起做有些枯燥，

8、对巩固所学知识的效果不是最好，练习1、2可在例1讲解后就去完成，练习3放在例2讲解后做，这样更能使例题和练习配套，便于学生归纳总结。师请同学们考虑书本中“想一想”的问题。想一想：你能用配方法求函数y=x2+的最小值吗？（两名学生板演）生甲,.生乙,.师两个同学的答案谁正确呢？（学生沉默）师甲的结果是错误的，因为在实数范围内不存在x使x+ =0；乙的结果是正确的，当x=时， 4、课堂小结师这节课我们学习了用二次函数解决实际问题的一般步骤：（1）分析题意，选取适当的量为自变量，列出二次函数的解析式，确定自变量的取值范围。（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大（小）值。5、布置作业（略）评本

9、节课是应用所学知识解决实际问题，应通过学生主动参与、积极动手、观察、讨论、归纳去发现和解决问题，这样有利于开发学生的智力，培养学习兴趣，提高分析问题的能力。新课的引入相当关键，要能吸引学生的注意力，但本节课的引入缺乏新意，难激起学生的求知欲；对例题的解决了应引导学生去探求，教师不宜讲解过于细致，释疑要留给学生。（二）修改后成功的教案1、 创设情境，提出问题板书课题：二次函数性质的应用。（1） 实验：学生用课前准备好的长6cm的细铝线围成一个矩形。量一量，你的矩形的长和宽是多少？算一算，你的矩形的面积有多大？比一比，谁围的矩形的面积最大？（2） 思考和猜想：围成的矩形的长和宽有什么关系？矩形面积

10、最大时长和宽有什么关系呢？（学生自由发言）（ 长和宽的和是定长3cm；当长和宽相等时，面积最大）【提示】营造一个学生熟悉的但不被注意的实际情境，让学生体验“数学来自生活”、“数学就在你身边”；通过动手操作，培养学生的学习兴趣；提出问题，让学生猜想、探索，激发学生的求知欲。（3） 怎样用数学方法验证“长和宽相等时矩形面积最大”呢？ 通过多媒体动态图形观察，矩形的和变化时，宽也在变化，若长为xcm,则宽为多少？(3-x)cm 矩形的面积怎样计算？面积y（cm2）与长x（cm）有什么关系？y=x(3-x) x的取值范围由什么确定？怎样求？ 怎样求面积y(cm2)的最大值呢？【提示】培养学生用运动变化

11、的观点去分析问题，发现问题中蕴藏着一些相互联系的变量，找出最有代表性的变量设元，从而将实际问题转化为函数问题，使学生巩固数学建模思想。2、 例题分析，比较归纳（1） 例1用长6m的铝合金条围成如图4形状的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？图4学生根据实验中的矩形进行分析，探索解决问题的方法。教师结合下列问题进行启发： 本题中有哪些变化的量？哪个量与其他变量的关系都比较明显？（窗框的宽，窗框的高，窗框的面积） 设这一有代表性的量为x，请用x表示面积y。（学生口述，教师板书解题过程）【提示】与实际情形比较，培养学生类比能力，渗透比较思想，培养学生发散思维，通过例题讲

12、解，让学生体会数学应用意识。（2） 尝试反馈：如图5，用长20m的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的园子，园子前面空出一段长1m的空隙为进出小门（小门不用篱笆），怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？ 1m图5 把60表示成两个正数的和，使这两个正数的积最大。（3） 归纳用二次函数解实际问题的步骤:（学生回答，教师补充并板书） 选择适当的变量为自变量； 列二次函数的解析式； 确定自变量的取值范围； 在自变量取值范围内，求二次函数的最大（小）值，（用公式法或配方法）3、 深入探究，问题迁移（1） 出示实验中矩形的多媒体动态图形，如图6，在实验围成的矩形中，对角线L与边长（x）有何关系？学生观察

13、发现：当矩形的边长AB变化时，它的对角线L的长也随着变化。DC3-XLAXB图6能否写出L关于x的函数关系？（L0x0）（4）要求s的最小值，只要求出169t2-260t+676的最小值再开方就行了。让学生阅读课本，理解教材中的解题过程。【提示】安排课堂讨论，发掘学生思维，培养团队合作能力；通过看书，培养学生自学能力，用不同的方式进行教学活动，使课堂气氛更加活跃。4、 归纳小结（1） 这节课学习了用什么知识解决哪一类问题？（2） 解决这类问题的步骤是什么？应注意什么问题？【提示】让学生归纳教学内容，使学生对知识加深理解，形成体系，为今后继续学习打下扎实的基础。5、 迁移拓展（1） 你能用配方法

14、求出函数y=x2+的最小值吗？（2） 某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格。经试验发现，若按每件25元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件30元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。 试求y与x之间的关系式。 在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？（总利润总收入总成本）四教学反思（一）精心设计实验，创设问题情境在自然科学教学中，教师指导学生动手操作实验是非常正常的事，而数学课堂似乎与实验无缘，其实，一切知识来源于现实世界

15、，数学也是如此。新的数学理念就是要求学生了解数学发生、形成的过程，数学实验可以让深知实验中体验数学，体验从中获取数学知识的乐趣。本节课教学的引入进行了精心的设计，让学生从实验和多媒体的动态图形中得到感性的认识，又以实验为手段对有关知识进行进一步探究，从而理性地认识二次函数性质的实质。（二）步步设计问题，提高思维层次著名数学教育有波利亚曾说过：“问题是数学的心脏。”足见数学问题在数学教学中的重要地位。本节课的教学设计中，根据教学内容的进展，以矩形为载体，合理地设计了有针对性的问题，有意地将问题“复杂化”，使教学在学生已有的认识水平上展开，让学生的思维深入到解题的过程中去。同时，在解决问题的过程中又能发现新的问题，一环接着一环，学生学习的主动性随之调动，学生的参与性达到高潮。由于问题的设计能围绕学生容易产生困惑地地方展开，引导学生抓住最本质的现象进行思维，理清了思路，为教学目标的完成做好了铺路搭桥的工作。（三）归纳整理经验，体验成功乐趣总结不仅可以进一步梳理、巩固所学的知识，有利于学生对所学知识有整体认识，更重要的是提炼出让学生感受教学中的数学方法，使学生的思维水平有所提高，教学时，让学生对所学知识进行整理、归纳能提高学生独立发现问题、解决问题的能力，更容易解题的思路，形成灵活的知识块和相对稳定的解题流程，避免