等差数列前n项和性质

1、等差数列前n项和性质（1）一一.知识点回顾知识点回顾1(1)2nn ndSna1()2nnn aaS1.等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式： 142. 2011a94=1, + =0, k=_nkaa a变式（.广东高考）等差数列的前项和等于前 项和，若则 n9456789774an,0+=0,5a =0,=0,a +=0,=10nkSSaaaaaaak解：设等差数列的前 项和为S则，即即故而故等差数列前等差数列前n项和的性质（项和的性质（1）11?,1,2nnS nSSnnnnnn已知等差数列的前n项和S ，如何求a利用S 与a 的关系:a =【练习练习】（1 1）数列求和公式为：

2、）数列求和公式为：nnSn2【考点：由等差数列求和公式求通项公式考点：由等差数列求和公式求通项公式】返回3已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且lg(Sn1)n1，求，求通项公式通项公式解：解：因为因为lg(Sn1)n1，所以所以Sn110n1.即即Sn10n11.当当n1时，时，a1S1102199，当当n2时，时，等差数列等差数列前前n项和的性质（项和的性质（2）k2kk3k2k2等差数列的之和也成等差数列。即S ,S -S ,S -S ,.也成等差数列。(公差为k连续k项d)22111221112213222112(21)(1)222(42)2(1)3(31)3222(2

3、1)9342232222622()2kkkkkkkdkkdk ak akkkkkadkkdkkdk ak akkdkkkkSSkkkkk akadkkkkadSSSa1证明：设首项为a，公差为d，又21222211332(3)2(3)()2kkkkkdkkkadkakkkakk dSSSSSd而=2（）结2（）论成立。1na102030例：在等差数列中，S =10,S =40,求S4024090 1020103020303030解：由等差数列前n项和性质知S ,S -S ,S -S也成等差数列，即10，30，S - 成等差数列，30 10 （S - ）解得S2.设等差数列设等差数列an的前的前

4、n项和为项和为Sn,若若S3=9,S6=36,则则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27B1.等差数列等差数列 中，已知中，已知 na462,24, 2SSS求答案：答案：30例例2.在等差数列在等差数列an中，中，S10100，S10010.求求S110.例例2.在等差数列在等差数列an中，中，S10100，S10010.求求S110.例例2.在等差数列在等差数列an中，中，S10100，S10010.求求S110.等差数列前等差数列前n项和的性质（项和的性质（3）1(2)2.()(2)1nnnnSSSSaSSdSaSnSSanaSn奇偶所有偶偶奇奇奇奇偶偶关于奇数项

5、与偶数项和的关系的几个：1.当项数为（偶数）时：（1）当项数为2n-1（奇数）时：（1）是中间项结论2n1(2)nnSaSSdnSa偶偶奇奇1.当项数为（偶数2n）时：（1）221242121132111111()(2).22()(2).22(1)()(2)nnnnnnnnnnnnnnnnSn aSn an aanaaaan aanaaaan an anSSn dSaSaaan an a偶奇偶奇偶奇证明：2.(,)(2)1nSnSSaaSn奇奇偶中偶当 项 数 为 2n-1（ 奇 数 ） 时 ：（ 1）中 间 项 即22224221211321(1)(1)1(1)():.2(1)(2)2()(

6、2).22(1)(1)(2)(1)nnnnnnnnnnnnnnaaaaananaanaaaananananSnanaSnanaSSaaSnSna偶中奇中奇偶中奇偶证明例例1.在等差数列在等差数列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90A变式：一个等差数列的前变式：一个等差数列的前12项的和为项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为项的和之比为32:27,则公差为则公差为 .58525602525215050-奇偶奇偶解析：SS

7、dndSS 例例2一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为和分别为24和和30，最后一项与第一项之差为，最后一项与第一项之差为10.5，求此数，求此数列的首项、公差、项数列的首项、公差、项数3290,261.na奇偶例 ：已知等差数列中，共有2n-1项,S =S =求项数与中间项。:21,290261,29290,10126112 10 119nSSaaaSnnnSnn 奇偶中中中奇偶解该等差数列的项数为项即又即解得项数为返回2项数为奇数的等差数列，奇数项之和为项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之，偶数项之和为和为33，首项为首项为1，求这个数列的中间项及