矩阵的简单应用.

1、引例：引例：以下是一月份三个分公司销售电脑配件的数量情况：键盘软驱光盘光驱南京分公司1412311154北京分公司144239925武汉分公司122328825问题：问题：假设电脑配件的平均利润是:磁盘3元/个,软驱22元/个,光盘4元/个,光驱45元/个，试求出南京分公司一月份电脑配件的销售总利润.解： 南京分公司的销售量是：14123 11154磁盘软驱光盘光驱一月份不同的配件的销售利润是322445磁盘软驱光盘光驱32214123 11154445141 323 22 111 454 45 本题是行矩阵与列矩阵的乘积，最后得到的是一个数，在这个问题中体现了矩阵的最简单的应用.一个矩阵是一

2、张由数据(或字母)排列成的表,它能把原本纷繁复杂的事物或数学对象的数学规律简单明了地表示出来,使人一目了然。同时对矩阵施行某些运算，则可以使我们看清事物之间或对象之间蕴含的数学规律。矩阵的简单应用例例1 1、已知盒子、已知盒子A A 中装有中装有3 3只大小和重量相同的小球，其中只大小和重量相同的小球，其中2 2只黑色只黑色的，的，1 1只白色的；盒子只白色的；盒子B B中装有中装有 5 5 只大小和重量相同的小球，其中只大小和重量相同的小球，其中 3 3 只黑色的，只黑色的，2 2只白色的。假定只白色的。假定 A A，B B 两个盒子很难分辨，而且可两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要

3、求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有多大？的概率有多大？数学应用数学应用解：12,12AMB 不妨设摸到黑色小球的可能性为X，摸到白色小球的可能性为Y，取出一个盒子的概率可以表示为：从两个盒子中摸出一个球是黑色小球(X)和一只白色小球(Y)的概率： A B2335,1235XNY于是，先取出一个盒子，再从里面摸到一只黑色小球或白色小球的概率就可以由矩阵运算求得： A B231352 121352XAYB 19301130XY 19.30答:先取出一个盒子，从中摸到一只黑色小球的概率为例2 2 某运动服销售店经销A A，B B

4、，C C，D D四种品牌的运动服，其尺寸分别有S S（小号）、M M（中号）、L L（大号）、XLXL（特大号）四种，一天内，该店的销售情况如下表所示（单位：件）：1101XL5542L3435M1023SDCBA型号品牌假设不同品牌的运动服的平均利润是 A A 为 20 20 元/件，B B为15元/件，C C为 3030元/件，D D为2525元/件，请问：那种型号的运动服在这天获得的利润最多？解：各种型号的运动服销量是： A B C DS3201M5343L2455XL 1011不同品牌的平均利润是：A 20B 15C 30D 25320120534315 245530101125则3

5、202 150 30 1 255 203 154 303 253 204 155 305 251 200 15 1 30 1 25 11534038575答：L型号的运动服在这天获得的利润最多.点评：4 44 1本题是一个矩阵与一个矩阵的乘法的应用，其方法与二阶矩阵的乘法类似。两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时，才能作乘法，m nn pmABCp一般地，规定与的乘积为的矩阵，它的元素1 122,i jijijinnjca ba ba b11121111211121212njpiiinnnn jn pn pmmmnm naaabbbbaaabbbbaaa1112111212j

6、piiijipmmmjmpm pcccccccccccc例3 3 如图所示的是A A，B B，C C三个城市间的交通情况。小月想从其中某一个城市出发直达另一个城市，她可以有几种选择?如果她想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另外一个城市，她又可以有几种选择？ABCABC021201110AMBC 它们的结点分别是A A，B B，C C，试画出一个网络图。例4 4 已知一级路矩阵表示一个网络图，ABC课本练习：第 81 81 页 第 3 3 题，第77页 探究它的数学原理是：发送方将要传送的信息数字化后用一个矩阵 X X 表示（不足的元素可以补 0 0，字与字之间的空格也以 0 0 记），

7、在矩阵的左边乘上一个双方约定好的可逆矩阵A A，得到B=AXB=AX，则B B即为传送出去的密码。试问接收方应用如何解密？例5 5 在军事密码学中，密码发送的流程如图所示，密 码 B若A1A1，Z Z 2626。现已知发送方传出的密码为 7 7，1313，3939，6767，双方约定的可逆矩阵为，试破解发送的密码。解：739B=,1367令23,45A因为所以由题意得：23739AX=X=B=451367-123739X=451367 23=,111所以发送方发密码对应的明码为2，1，3，11，再对照英文字母表知对方所发信息为“back”.本题告诉我们，矩阵知识在军事学的密码问题中有很广泛的应

8、用，其纽带是双方约定的可逆矩阵.例6 6 自然界生物种群的成长受到多种因素影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀及至自然灾害等等。因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。现假设两个相互影响的种群 X X，Y Y 随时间段变化的数量分别为有关系式：，其中试分析 20个时段后这两个种群的数量变化趋势。解：11612,432aMb 令由题意知：11,nnnnaaMbbM因此，的特征多项式为212( )3432f1241 特征值，对应的特征向量分别为122131 ，1222 ，要想计算20个时段后的种群的数量变化，则有20212

9、021aaMbb则有19219aMb1201aMb，课本练习：第 81 81 页 第 1 1，2 2 题120201aMMb而201222M （）20201222MM 21202021212 42121ab 即（）424123 242412023 2 .答： 个时段以后，种群X,Y的数量分别约为和点评：点评：用特征值和特征向量的有关知识解决有关实际问题，要看得出的结论与实际问题是否吻合。1、矩阵来源于生活需要，在实际问题中有着广泛的应用、矩阵来源于生活需要，在实际问题中有着广泛的应用。矩阵不仅在数学领域有着诸多的用处，在实际生产、。矩阵不仅在数学领域有着诸多的用处，在实际生产、生活中也有着广泛的用武之地。生活中也有着广泛的用武之地。回顾反思：回顾反思：2、面对一个简单的实际问题，要善于把它抽象成一个数、面对一个简单的实际问题，要善于把它抽象成一个数学模型，明确以下几点：矩阵是一个数表，矩阵与几何学模型，明确以下几点：矩阵是一个数