电磁场与电磁波(第三章)

1、第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波学习目标学习目标掌握静电场的基本方程和边界条件，掌握静电场中的电位函掌握静电场的基本方程和边界条件，掌握静电场中的电位函数及其微分方程，掌握电

2、位的边界条件；理解电场能量和能量数及其微分方程，掌握电位的边界条件；理解电场能量和能量密度的概念，会计算一些典型场的能量，会计算典型双导体的密度的概念，会计算一些典型场的能量，会计算典型双导体的电容；电容；掌握恒定电场的基本方程和边界条件，了解静电比拟法，会掌握恒定电场的基本方程和边界条件，了解静电比拟法，会计算典型导体的电阻；计算典型导体的电阻；掌握恒定磁场的基本方程和边界条件，理解矢量磁位及其微掌握恒定磁场的基本方程和边界条件，理解矢量磁位及其微分方程，了解标量磁位的概念。理解磁场能量和能量密度，会分方程，了解标量磁位的概念。理解磁场能量和能量密度，会计算一些典型场的磁场能量，会计算典型回

3、路的电感；计算一些典型场的磁场能量，会计算典型回路的电感；理解静电场的唯一性定理及其重要意义；理解静电场的唯一性定理及其重要意义；掌握镜像法和分离变量法基本原理，并求解典型问题。掌握镜像法和分离变量法基本原理，并求解典型问题。第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波4面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量

4、静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波6面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 有何突变边界？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波2. 边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq积分形式：积分形式：0)(0)(21n21nEEDDee02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面

5、上不存在面电荷，即 ，则，则0S第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波8介质2介质121212E1Ene 理想介质情况理想介质情况 界面两侧场矢量的方向关系界面两侧场矢量的方向关系 介质表面的自然边界条件介质表面的自然边界条件002t1tn2n1EEDD212n21n12n2t1n1t21/tantan DDEEEE第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 0nnEDeeS0tnEDS或或 导体表面的边界条件导体表面的边界条件导体介质2, 011, 020E1E

6、Ene第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波10面对的问题！分析求解方法：l 已有方法及其适用范围？l 利用静电场的特性，研究新方法及其优越性？典型应用？关联的一般性物理问题？第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波0E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为称为静电场的电位函数或简称电位。静电场的电位函数或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义E3.1.2 电位函数电位函数优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题0u第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波

7、12求求电场强度与电位函数的关系电场强度与电位函数的关系已知已知已知已知求求如何求出电位函数？E l dEl dd l dE E E第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波2. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：同理得，面电荷的电位： 1()( )d4VrrVCR故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR线电荷的电位：线电荷的电位：rrRCSRrrSSd)(41)(第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与

8、电磁波3. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有ldE将将ddddllllE上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。)()(ddQPlE

9、QPQPP、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即)(CC选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个

10、参考点。4. 电位参考点电位参考点第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r ，则，则000( )( )ddPPoOPOElErE r若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则( )0O0( )PEr 000( )coszPEre r EE r 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向的方向一致，即一致，即 ，则有，则有00zEe E0E0ExzOPr 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。第第 3 章章 电磁场与

11、电磁波电磁场与电磁波在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，0EED202标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波6. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l0时时 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：0dlim21021PPlElDSe)(21nDD由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分

12、界面上无自由电荷，即0Snn1122常数，常数，SnSnn112221第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间

13、均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( )x2( ) x第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用边界条件，有利用边界条件，有xb12( )( ),bb

14、0210( )( )Sx bxxxx 处，处，最后得最后得0 x 处，处，1(0)0 x a2( )0a 处，处，所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波21 两区的介质不同？ 用高斯定理求解？ 用Maxwell微分方程求解？ 其它坐标系下的同类问题？延伸应用思考：obaxy两块无限大平行板0S12121E2E第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波22面对的问题！分析求解方法！典型应用：l 静电感应l 静电屏蔽关联的一般性物理问题？第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用

15、于电子设备的电路中： 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体

16、系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即qC 1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的的 导体组成的电容器，其电容为导体组成的电容器，其电容为12qqCUE02U1qq第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波25导体系统的结构、几何尺寸、形状和其周围的电介质导体系统的结构、几何尺寸、形状和其周围的电介质与导体的与导体的带电量和电位无关带电量和电位无关决定电容量大小的因素决定电容量大小的因

17、素第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和q ； 计算电容的方法一计算电容的方法一：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。21dlEU (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的方法二计算电容的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U ； (4) 由由 得到得到 ;nESS (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ；E (3) 由由 得到得到E ; SSSqd (5) 由由

18、 ，求出导体的电荷，求出导体的电荷q ；UqC (6) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 解：解：设内导体的设内导体的电荷为电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场44rr22qqDe,Eerr同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，b 例例 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其间，其间填充介电常数为填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容

19、孤立导体球的电容aboababqbaqEdrUba 4114ababUqC 4aC 4第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例 3.1.4 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D ，且，且D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故故可近似地认为电荷分别均匀分布在两可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理

20、，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为lDa011( )()2lxE xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故单位长度的电容为故单位长度的电容为001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.1.5 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电位差内外导体间的电位

21、差1( )dd2bblaaUEell 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波30面对的问题！分析求解方法！典型应用!关联的一般性物理问题:l 静电场的能量l 电容的储能l 静电力第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波31 静电场能量的分布空间静电场能量的分布空间静电场

22、具有能量的实验证据静电场具有能量的实验证据3.1.4 静电场的能量静电场的能量 第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基

23、本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波1. 静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q 。 充电过程中某一时刻的电荷量为充电过程中某一时刻的电荷量为dq 、获得电位为、获得电

24、位为 。 则外电源做功为则外电源做功为: d q,电场能量增量电场能量增量 d q 。 电荷增至最终值电荷增至最终值q ，外电源所做的总功即为电荷为，外电源所做的总功即为电荷为q的带电体的带电体具有的电场能量具有的电场能量We 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具具有的电场能量为有的电场能量为 qCqdqCqdqqWqq2121200eVWd21de第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有对于多导体组

25、成的带电系统，则有iq 第第i 个导体所带的电荷个导体所带的电荷i 第第i 个导体的电位个导体的电位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e 第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波体积体积V外的电荷密度外的电荷密度0，若将上式中的积分区，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时，则无限扩大时，则211 O( O()DRR)、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR故故11dd22SVDSE

26、D V 推证推证：()DDD ()ddVSD VDSE D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDV第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波2. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。EDw21e电场能量密度：电场能量密度：e1d2VWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE 第第 3 章章

27、 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.1.6 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 VVEDWd21e 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEa

28、raara 方法二方法二：利用利用 计算计算 VVWd21e 先求出电位分布先求出电位分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 虚位移法：虚位移法：假设第假设第i 个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi 的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFi dgi ，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe 。根据根据能量守恒定律，该系统的功能关系为能量守恒定律，该系统的功能关系为edddSiiWF gW其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电

29、源所提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。导体的电荷不变。3.1.5 静电力静电力第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波所有带电体都所有带电体都不和外电源相连接不和外电源相连接，则，则 dWS0，因此，因此1. 各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变(恒电荷系统恒电荷系统)eddiiF gW 式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。eiiWFg q不变不变2. 各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变(恒电位系统恒电位系

30、统)各带电导体应分别各带电导体应分别与外电压源连接与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量，外电压源向系统提供的能量11dd ()dNNSiiiiiiWqqe1111dd()d22NNiiiiiiWqq系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量即即ed2dSWWeddiiF gWeiiWFg 不变不变第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波0()lx bbxCdd所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为220e001()22bUWCUlxxd02e00()2xUWbUFxd不变由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为eiiWFg不变 解解 平行板电容器的电容为平行板

31、电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器部分填充介质的平行板电容器dbU0lx 例例3.1.8 有一平行金属板电容器，极有一平行金属板电容器，极板面积为板面积为lb，板间距离为，板间距离为d ，用一块介，用一块介质片（宽度为质片（宽度为b、厚度为、厚度为d ，介电常数为，介电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。求介质片所受的静电力。由于由于0，所以介质，所以介质片所受到的力有将其片所受到的力有将其拉进电容器的趋势拉进电容器的趋势第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与

32、电磁波22e022 ()qdqWCblxx2e020()2 ()xqWdqFxblxx 不变000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算eiiWFg q不变不变设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q 不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于同样得到同样得到第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波43静态电场问题按电荷静止或运动情况分类静电场恒定电流场静止静止 任意任意0J 匀速运动匀速运动 有限有限0J 第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波44面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电

33、磁波3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 本节内容本节内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波46面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 有何特殊现象？l 边界有何物理量的突变？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波47 什么情况下会产生恒定电流场的问题？什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！导电媒质中存在电场的时候！第第 3 章章

34、电磁场与电磁波电磁场与电磁波480 ED 0J 出发点Maxwell方程组条 件本构关系边界条件DEJE1212()0()nnSeEEeDD12(JJ )0ne 静态电场问题第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别： （1 1）恒定电场可以存在于导体内部。）恒定电场可以存在于导体内部。 （2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性

35、质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 一、恒定电场的基本方程和边界条件一、恒定电场的基本方程和边界条件第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波EJ0d0dlESJCS00EJ1. 基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度)(rE 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数0EE0 J由由0)(02第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波2. 恒定电场的边界条件恒定电场

36、的边界条件0dlEC0dSJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe 场矢量的边界条件场矢量的边界条件2nn1JJ即即2t1tEE即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD场矢量的折射关系场矢量的折射关系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电位的边界条件电位的边界条件nn221121, 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分

37、量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面； 说明说明：b11、a第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E)(12媒质媒质2 2媒质媒质1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，则则 10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0

38、，即导体，即导体 中的电流和电场与分界面平行中的电流和电场与分界面平行。第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波54面对的问题！分析方法：l 哪些方法最适合？典型应用？关联的一般性物理问题？第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波55什么情况下会产生恒定电流场的问题？什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！导电媒质中存在电场的时候！分析解决问题的关键是求电场强度 基于已知电荷的方法 基于电流（欧姆定律） 基于电位的方法20第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波56（1 1）利用欧姆定律（导电媒质的本构关系）表示了电场强度）利用欧姆定律（导电媒质的本构关系）表示

39、了电场强度 基于电流求解分析恒定电场问题的方法（2 2）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量JEdQPUEl第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波57 电位函数满足电位函数满足LaplaceLaplace方程方程121212nn 基于电位求解分析恒定电场问题的方法 电位的边界条件电位的边界条件201212()snn 1t2t1n2n00EEJJ1n2n()SDD()E 第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、 1 和和 2、 2 ，外加电压，外加

40、电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解解：极板是理想导体，：极板是理想导体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上下21122121212112()SDDJUdd 介第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半，外导体半径为径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面

41、半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1 和和 2 、电导率为电导率为 1 和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自）介质分界面上的自由电荷面密度。由电荷面密度。J1212I外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1abc11、22、0U第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ,则由则由 可得电流密度可得电流密度Sd,JSI()2IJeac1

42、11()2JIEeab 介质中的电场介质中的电场222()2JIEebc 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。J012ddbcabUEE1E2E1n2nJJ 由由12JJJ第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波12021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()

43、ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波12011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面

44、密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波二、二、 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解

45、。这种求解场这种求解场的方法称为比拟法。的方法称为比拟法。D0U静电场静电场J0U恒定电场恒定电场第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC0d, 0dlESDCS第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁

46、场与电磁波65面对的问题！分析方法！典型应用：l 导体的电阻和电导关联的一般性物理问题？第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即UIG 其

47、倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即IUGR1三、三、 漏电导漏电导第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I ；(2) 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J ；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。21dlEUUIG/ 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的

48、电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。ESISJdUIG/ 计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CGCG第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、b，长长度为度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导)/ln(2ablU

49、IG绝缘电阻绝缘电阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba则则lIJ2lIJE2设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I 。I第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 利用静电比拟利用静电比拟:同轴线单位长度的电容为同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线同轴线同轴线l长度的电容为长度的电容为mFablUlCll/ln2电导电导mSablUIG/)/ln(2第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波70分类分析求解静态电磁场问题分类分析求解静态电磁场问题静态电场按场的类型静态磁场静电场恒定电场第第 3 章章 电

50、磁场与电磁波电磁场与电磁波71 一、静止电荷产生的场（静电场）n 导体（导体（ ）内部的电场为零）内部的电场为零n 导体表面的切向电场为零导体表面的切向电场为零 等势体等势体n 导体内部的电荷为零导体内部的电荷为零n 电荷只能位于导体表面，密集于表面尖锐部分电荷只能位于导体表面，密集于表面尖锐部分n 应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针，应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针， 静态电场的典型现象和结论0第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波72 二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）n 导体（导体（ ）内部可）内部可存在存在电场电场n 导体表面的切向电场一般导体表面的切向电场一般非非零零 非非等

51、势体等势体n 导体内部可导体内部可有运动有运动电荷，但电荷，但净电荷量净电荷量为零为零n 净电荷只能位于导体表面净电荷只能位于导体表面n 理想导体（理想导体（ ）内部电场为零，电流为零）内部电场为零，电流为零n 理想导体边界上的电场垂直于表面理想导体边界上的电场垂直于表面 等势体等势体典型静电场现象 0,JE第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波73面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波本节内容本节内容 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场

52、的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感电感 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波75面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 突变边界上有何现象？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波760HJB 出发点Maxwell方程组条 件本构关系边界条件1212()()0snneeHHJBB 静态（恒定）磁场问题HB 第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波0HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程

53、基本方程BH2. 边界条件边界条件本构关系：本构关系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则积分形式积分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波78面对的问题！分析求解方法：l 已有方法及其适用范围？l 利用静磁场的特性，研究新方法及其优越性？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波1) 矢量磁位的定义矢

54、量磁位的定义2) 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由AA 0BBA 即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的造成的。为了得到确定的A，可以对，可以对A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁场中通常场中通常规定规定，并称为库仑规范并称为库仑规

55、范。0A()AAA 1. 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波3) 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：AB0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 4) 磁矢位的表达式磁矢位的表达式3( )1( )d( )( )d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR 31()RRR JB第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波2. 磁矢位的边界条件磁矢位

56、的边界条件（可以证明满足（可以证明满足 ） 0A对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJ细线电流细线电流：CRlIrACd4)( 面电流面电流：CSRrJrASSd)(4)( 由此可得出由此可得出CVRrJrAVd)(4)( SCSBlAddCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAA第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波3. 恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电一般

57、情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（流（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有即在无传导电流即在无传导电流（J0）的空间中，可以引入一个的空间中，可以引入一个标量位函数来标量位函数来描述磁场。描述磁场。1) 标量磁位的引入标量磁位的引入0HmH 标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位2) 磁标位的微分方程磁标位的微分方程在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中2m0第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波3) 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件m1m212nn和和m1m2静电位静电位 磁标位磁标位 磁标位与静电位的比较磁标位与静电位的比较0,ED0,0HBE

58、mH m1m2m1m212,nn121212,nn静电位静电位 0ED磁标位磁标位 m 0HB第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波84面对的问题！分析求解方法：l 已有方法及其适用范围？l 利用静磁场的特性，研究新方法及其优越性？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波85面对的问题！分析求解方法！典型应用：l 电感（自感、互感）关联的一般性物理问题？静态磁场第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波1. 磁通与磁链磁通与磁链 ii3.3.3 电感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回

59、路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o ；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 设回路设回路 C 中的电流为中的电流为I ，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C

60、交链的磁链交链的磁链为为 ，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值IL称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感ILiiILoo2. 自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流和磁链的大小电流和磁链的大小无关。无关。 自感的特点自感的特点：第第 3 章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 解解：先求内导体的内自感。设同轴先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为