微积分下复习2014

1、微积分微积分(II)(II)期末复习期末复习题型：题型：填空题填空题 15%基本计算题基本计算题 55-65%证明题证明题 5-15%选择题选择题 15%选择题常考内容：选择题常考内容：1、多元函数连续、可微、可偏导之间的关系；、多元函数连续、可微、可偏导之间的关系；2、求多元数量值函数积分：二重积分、三重积分、求多元数量值函数积分：二重积分、三重积分、 第一类线面积分计算第一类线面积分计算. (注意注意对称性对称性)；3、幂级数的、幂级数的阿贝尔定理阿贝尔定理；5、一个给定级数的收敛情况、一个给定级数的收敛情况（是绝对收敛或条件收敛或发散或不定）（是绝对收敛或条件收敛或发散或不定）4、傅立叶

2、级数的、傅立叶级数的狄立克莱收敛定理狄立克莱收敛定理；务必掌握的计算：务必掌握的计算：1、求多元函数的偏导数、求多元函数的偏导数.2、求多元函数的、求多元函数的(无条件、条件）无条件、条件）极值极值3、求空间曲线的、求空间曲线的切线与法平面切线与法平面； 求空间曲面的求空间曲面的切平面与法线切平面与法线；(,)0f xmz ynz 尤其是尤其是抽象函数抽象函数的偏导数的偏导数. 如如: ;方程所确定的方程所确定的隐函数隐函数的偏导数的偏导数.如如:(,)zf xy xy、用、用格林公式格林公式计算第二类曲线积分；计算第二类曲线积分；用用高斯公式高斯公式计算第二类曲面积分计算第二类曲面积分或二型

3、线积分或二型线积分 与路径无关与路径无关. .、求幂级数的、求幂级数的收敛域收敛域及其及其和函数和函数; ; 将函数将函数f(xf(x) )展开为幂级数、傅立叶级数展开为幂级数、傅立叶级数5 5、计算、计算二重积分、三重积分二重积分、三重积分、第一类曲面积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分第二类曲面积分证明题常考内容：证明题常考内容：常数项级数的收敛性证明。常数项级数的收敛性证明。多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可偏导函数可偏导例题例题00( ) (,)B f xy 必不存在；00( ) lim( , )xxy

4、yAf x y必不存在；00( ) ( , )(,)C f x yxy在必不可微；0000()(,),(,)xyD fxyfxy 必不存在；222222221()sin, 0,1. 0, 0,:(1) ( , )(0,0)?(2)(0,0)?xyxyxyzxyf x y 已知已知试问在点处是否可微试问在点处是否可微偏导数在点是否连续偏导数在点是否连续0( ,0)(0,0)(1)(0,0)limxxf xfzx 解解201sin|lim0,xxxx:(0,0)0,yz 同理可得同理可得22()() ,(,)(0,0),xyzfxyf 令令2. 0(0,0)(0,0)limxyzzxzy 2222

5、01lim ()() sin()()xyxy 0, ( , )(0,0).z x y在点处可微在点处可微22222211(2)2 sincos;zxxxxyxyxy 0lim,xy xzx 不存在不存在(0,0),zx 在处不连续在处不连续:(0,0).zy 同理在处不连续同理在处不连续 2230z.zz x,yfxy,yz,dz,.x 若若由由确确定定 求求 0fxy,yzx,y解两边分别对求偏导数解两边分别对求偏导数120zffx 12zfxf 1210zffy 122zffyf zzdzdxdyxy11222fffdxdyff 120zffxx 两边对 求偏导数两边对 求偏导数11f12

6、f zx zx 2f 21f22f zx 22zx 0 12zfxf 将代入可得将代入可得zf ff ff ff f.xff2211211212112222322 0fxy,yzxzyy21,3,在边界上在边界上3:(1,),2得驻点得驻点xyzyxyyzxxxy22420420 解 由解 由4 4(4,0)(,)3 3得区域内驻点和得区域内驻点和zz4 464(4,0)0,(,),3 327z39(1,),24 zxyxyxyxy6.(4)1,0,6.求函数在求函数在所围区域上的最大值与最小值所围区域上的最大值与最小值4.yxxzxx26(16),212 ,在边界上在边界上zz4 464(,

7、),(3,3)18.3 327 最大值最小值最大值最小值yz0,0,在边界上在边界上:(3,3),得驻点得驻点z(3,3)18, z(1,5)10, x y( , ),解 设椭圆上任意一点解 设椭圆上任意一点dxy2213(236) ,F x yxyxy222( , , )(236)(44)令令xyd22(236),13xyd|236|,13 则则xyxy227.44,2360. 在在椭椭圆圆上上求求一一点点使使其其到到直直线线的的距距离离为为最最短短5xyFxyxFxyyFxy224(236)206(236)80440 8 383( ,), (,) ,5 5558 3( ,).5 5则所求点

8、则所求点()舍去舍去 二重积分的计算步骤二重积分的计算步骤1 1、作积分区域图、作积分区域图. .2 2、根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系；、根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系； 3 3、化二重积分为二次积分；、化二重积分为二次积分； (1) (1)直角坐标系中，需确定是先对直角坐标系中，需确定是先对y y后对后对x x积分还积分还 是先对是先对x x后对后对y y积分积分; ; (2) (2)极坐标系中，一般是先对极坐标系中，一般是先对r r后对后对 积分积分. .注意注意: : (1) (1)坐标系选择不当坐标系选择不当, ,不仅会增加计算难度不仅会增加计算难度, ,而且还而

9、且还 可能导致积不出来；可能导致积不出来； (2) (2)直角坐标系中，积分次序选择不当直角坐标系中，积分次序选择不当, ,也可能会也可能会 增加计算难度增加计算难度, ,甚至积不出来甚至积不出来. . 一、三重积分在直角坐标系下的计算一、三重积分在直角坐标系下的计算二、三重积分在柱面坐标系下的计算二、三重积分在柱面坐标系下的计算三、三重积分在球面坐标系下的计算三、三重积分在球面坐标系下的计算 三重积分的计算三重积分的计算法法1: “先一后二法先一后二法”(投影法投影法)法法2: “先二后一法先二后一法”(截面法截面法)21( , )( , )( , , ).xyzx yzx yDdxdyf

10、x y z dz21( , , )zccDdzf x y z dxdy三重积分在直角坐标系下的计算：三重积分在直角坐标系下的计算：( , , )zDf x y z dxdy 而而 容易积分时容易积分时,才考虑才考虑“先二后一法先二后一法”.注注: 当当 截面截面D z容易确定、容易表达；容易确定、容易表达；(1) “先一后二法先一后二法”(投影法投影法)(2) “先二后一法先二后一法”(截面截面法法)21( , )( , )( cos , sin , ).rzrzrDrdrdf rrz dz 21( cos,sin, )zccDdzf rrz rdrd 三重积分在柱坐标下的计算：三重积分在柱坐

11、标下的计算：则可选用柱坐标系则可选用柱坐标系.若若 (1)被积函数为被积函数为f(x2+y2) ；(2)区域区域V的边界面的方程含的边界面的方程含x2+y2 ；（如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等）如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等） 实质：实质： 将直角坐标系中的将直角坐标系中的“先一后二先一后二”法或法或“先二后一先二后一”法中的法中的“二二”在极坐标系中计算在极坐标系中计算. 被积函数为被积函数为f(x2+y2 +z2 )； 区域区域V的边界面为球面、圆锥面等的边界面为球面、圆锥面等. 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素三重积分在球面坐标下的计算：三重积分在球面坐标

12、下的计算：2sindvd d d cos,sinsin,cossinzyx02, )00 ( - 球坐标最佳适用情况：球坐标最佳适用情况：方法三、方法三、(直接法直接法) 化为定积分。化为定积分。方法二、格林公式方法二、格林公式:方法一、积分与路径无关方法一、积分与路径无关,LPdxQdy平面上的第二类线积分的计算：( (注意注意: :积分无关的区域积分无关的区域 D D 必须是单连通区域必须是单连通区域!)!)( (注意注意:(1):(1)积分曲线积分曲线 L L 要封闭要封闭; ; (2)P,Q (2)P,Q函数要在区域函数要在区域D D内有连续偏导内有连续偏导.).)().LDQPPdx

13、Qdydxdyxy QPxy需计算及，第二类曲面积分的计算第二类曲面积分的计算方法二：总投影法（定义法）方法二：总投影法（定义法）;方法三：分别投影法方法三：分别投影法.方法一：高斯公式法方法一：高斯公式法;()sVPQRPdydz Qdzdx RdxdydVxyz( (注意注意: :曲面曲面S S要封闭要封闭!)!)注意：注意：1. 线、面积分的被积表达式中的线、面积分的被积表达式中的(x,y,z) 满足积分曲线或曲面的方程。满足积分曲线或曲面的方程。2. 利用对称性可简化积分的运算利用对称性可简化积分的运算. (但第二类线、面积分的对称性不仅与被但第二类线、面积分的对称性不仅与被 积积函数

14、及积分区域有关而且还与积分区域的方函数及积分区域有关而且还与积分区域的方向有关！向有关！)（但二重但二重积分与三重积分没有此特性！积分与三重积分没有此特性！）故可将曲线故可将曲线(曲面曲面)方程直接代入方程直接代入被积表达式化简被积表达式化简!2224025.:(4)( , ).xx xdxf x y dy 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分化下列二次积分为极坐标形式的二次积分222402( , )xx xdxf x y dy 解解2202cos( cos , sin )df rrrdr 1.1例题例题 322226 6:00Ddxdy.Daxyxa,ya. 求，其中 为矩形闭区域求，其中

15、为矩形闭区域:解解12=DD 原式原式 4cos300222ardrdar 2sin302242ardrdar .a6 aaxy1D2Dcosar sinar 2.222223402V.zdVVxyzz, xyx，其其中中 是是由由曲曲面面，解在柱坐标系中解在柱坐标系中VVzdVzdV12 .54 rdrdrzdz22cos420002 围成的区域围成的区域. 222252201Vxy dVVzxy ,z.，其中 是由不等式，其中 是由不等式所围的闭区域所围的闭区域12:VVV解在柱坐标系中解在柱坐标系中1: 01Vz,01r,02 .22: 0212 02Vzr ,r,.21120002dr

16、drr dz 原式原式222220102rdrdrr dz 45 2115 4. Vxyz dVVxyzzxyz,22222222540求，其中 是由曲面求，其中 是由曲面，所围的闭区域，所围的闭区域 解 原式解 原式2232004sinddd .4 2 5.222(7),2(0);SzdSSxyzRz R 其中 为球面其中 为球面122,;S S解 把球面拆成 个半球面解 把球面拆成 个半球面222:,xOyD xyR在上的投影均为在上的投影均为2221:,SzRRxy上半球面上半球面2222:,SzRRxy下半球面下半球面222221,xyRzzRxy6.12SSSzdSzdSzdS222

17、212DRdxdyRxy 34.R 222222()DRRRxydxdyRxy 222222()DRRRxydxdyRxy 2222002RrRddrRr 例例7. 计算计算 ，其中，其中L为抛物面为抛物面z=x2 +y2 与平面与平面x+y+z=1的交线，从的交线，从z轴的轴的正向往负向看去是逆时针方向。正向往负向看去是逆时针方向。222222()()()Lyzdxzxdyxydz 解：取解：取S为平面为平面z=1-x-y 位于抛物面位于抛物面z=x2 +y2 内部部内部部分的上侧，若向分的上侧，若向 xOy 面投影，其法向：面投影，其法向：(1 1 1)n ， ，由斯托克斯公式：由斯托克斯

18、公式：投影区域投影区域22113:()().222Dxy 原原式式222222Sdydzdzdxdxdyxyzyzzxxy 2(11)(1 1 1)Dxyxydxdy ， ，4Ddxdy 3462 2(1)(1)()Sx dydzy dzdxxy dxdy 2()()()Syz dydzzx dzdxxy dxdy 222222222222Syzxydydzdzdxdxdyxzyzxyzxxyyzzx 32D解：由高斯公式：解：由高斯公式：其中其中: 12 0 02.4V , ,，222240013sinIddd 2319332(1)(22 )255 22440013sinddd 8. 计算计算 ，其中其中S为由不等式为由不等式 所确所确定的闭区域的全表面外侧定的闭区域的全表面外侧，f(u)具有连续的导数具有连续的导数。33311( )( )SyyIx dydzfy dzdxfz dxdyzzyz 2222214xyzzxy ，2223()VIxyzdV 解：解：sin2( )tan( )PxyxxQx， ,QPxy 要使方程为全微分方程，则要使方程为全微分方程，则从而可得：从而可得：( )( )tan0 xxx 例题例题9. 设函数设函数 具有连续导数，具有连续导数， ，已，已知曲线积分知曲线积分 与路径与路径无关；无关；( )x (0)2 sin