安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第六章--多元函数微分学第七节

1、第七节第七节 多元函数的极值多元函数的极值一、无条件极值一、无条件极值二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法三、最小二乘法三、最小二乘法四、小结四、小结 思考题思考题1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .一、无条件极值一、无条件极值(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 定理定理 1 1（必

2、要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数)

3、,(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点可导极值点可导极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得

4、驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，无条件极值：无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件限制并无其他条件限制. .求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D 内的所有驻点处的函数值、不可偏内的所有驻点处的函数值、不可偏导点的函数值、在导点的函数值、在D D 的边界上的最大值和最小值在的边界上的最大值和最小值在一起比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最一起比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求

5、函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图如图,解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2

6、 , 4( f64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxD, 0)6 , 0(f引例：引例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机光盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机光盘和录音磁带，设他购买购买 张光盘，张光盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效用函数为效用函数为 设每张光设每张光盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108

7、yx二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为 在工程问题中，常常需要根据两个变量的在工程问题中，常常需要根据两个变量的几组实验数值几组实验数值实验数据，来找出这两个变实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式通常把这样得到量的函数关系的近似表达式通常把这样得到的函数的近似表达式叫做的函数的近

8、似表达式叫做经验公式经验公式. .问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？三、最小二乘法三、最小二乘法例例8 8为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间验：经过一定时间( (如每隔一小时如每隔一小时) )，测量一次刀，测量一次刀具的厚度具的厚度, ,得到一组试验数据如下：得到一组试验数据如下： 观观察察可可以以认认为为)(tfy 是是线线性性函函数数, ,并并设设,)(battf 其其中中a和和b是是待待定定常常数数. .tyo1 247356824252627如图，在坐标纸上画出如图，在坐标纸上画

9、出这些点，这些点，因为这些点本来不在一条直线上，我们只因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的能要求选取这样的 ，使得，使得 在在 处的函数值与实验数据处的函数值与实验数据 相相差都很小差都很小ba,battf )(710,ttt710,yyy解解首先确定首先确定)(tf的类型的类型. .就是要使偏差就是要使偏差 )7 , 2 , 1 , 0()( itfyii都很小都很小.因此可以考虑选取常数因此可以考虑选取常数 ，使得，使得 ba, 702)(iiibatyM定义定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数择常数 的方法叫做的方法叫做最小二

10、乘法最小二乘法ba,这种确定常数的方法是通常所采用的这种确定常数的方法是通常所采用的.最小来保证每个偏差的绝对值都很小最小来保证每个偏差的绝对值都很小M把看成自变量把看成自变量 和和 的一个二元函数，的一个二元函数，ab那么问题就可归结为求函数那么问题就可归结为求函数 在那在那些点处取得最小值些点处取得最小值.),(baMM 7070; 0)(2, 0)(2iiiiiiibatybMtbatyaM令令即即 7070. 0)(, 0)(iiiiiiibatytbaty将括号内各项进行整理合并，并把未知数将括号内各项进行整理合并，并把未知数 和和 分离出来，便得分离出来，便得ab)1(.8,707

11、07070702 iiiiiiiiiiiybtatytbta计算得计算得,2870 iit,140702 iit, 5 .20870 iiy0 .71770 iiity代入方程组（代入方程组（1）得）得 . 5 .208828,71728140baba解此方程组，得到解此方程组，得到.125.27,3036. 0 ba这样便得到所求经验公式为这样便得到所求经验公式为)2(.125.273036. 0)( ttfy由（由（2）式算出的函数值）式算出的函数值 与实测与实测 的有的有一定的偏差一定的偏差.现列表比较如下：现列表比较如下：)(itfiyit01234567实实测测iy27.026.82

12、6.526.326.125.725.324.3算算得得)(itf27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000偏偏差差-0.125-0.021 -0.018-0.0860.1890.093-0.003-0.200偏差的平方和偏差的平方和 ，它的平方根它的平方根 108165. 0 M329. 0 M我们把我们把 称为称为均方误差均方误差，它的大小在一定，它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏系的近似程度的好坏M例例9 9 在研究单分子化学反应速度时，得到

13、下列数据：在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：6.58.912.216.622.731.041.957.6242118151296387654321ii iy其中其中 表示从实验开始算起的时间，表示从实验开始算起的时间， 表示时刻表示时刻反应物的量试定出经验公式反应物的量试定出经验公式 y).( fy 解解)( fy 由化学反应速度的理论知道，由化学反应速度的理论知道， 应是应是指数函数：指数函数：, mkey 其中其中 和和 是待定常数是待定常数.km由于由于所以仿照例所以仿照例1中的讨论中的讨论,通过求方程组通过求方程组)3(lg8,lg81818181812 iiiiiiiiiii

14、ybayba 的解的解,把把 确定出来确定出来.ba,lgbay 讨论：讨论：通过计算得通过计算得,10881 ii ,1836812 ii , 3 .10lg81 iiy.122lg81 iiiy 将他们代入方程组（将他们代入方程组（3）得）得 . 3 .108108,1221081836baba解这方程组，得解这方程组，得 .8964. 1lg,045. 04343. 0kbma.78.78,1036. 0 km因此所求经验公式为因此所求经验公式为.78.781036. 0 ey多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结最小二乘法最小二乘