实验模态分析

1、试验模态分析与振动测试技术一、引言一、引言 随着社会科学技术的飞速发展，现代工业对各种机器的要求越来越高，故现代机器的设计已不是原来古典意义上的设计了。古典意义上的机械设计一般称之为“静态设计静态设计”，也就是说在满足零部件或结构的功能设计后，主要进行机构的强度、刚度的设计校核。而现代机械设计则不但要满足静态设计的要求，而且对机构提出了动态特殊要求。即所谓的“动态设计动态设计”。 目前，工程中的桥梁、汽车、飞机等，从强度、刚度这角度来说，他们基本是安全的。然而还经常发生破坏现象，其主要原因是机构不符合动态设计要求。举个例子说，一列火车或汽车在桥梁上行驶，会使桥梁产生振动，如果火车或汽车对桥梁的

2、激励频率与桥梁结构本身的某一阶固有频率相等或非常接近。那么桥梁就会发生共振现象。这对桥梁的破坏是很大的，桥梁的部件容易产生疲劳屈服，这大大缩短了桥梁的寿命，严重的会直接发生桥梁倒塌事故。狭义地说，现代机构设计主要是考虑这方面问题。以上说明了试验模态分析这门课在科学技术中所处地位。而现代结构动态设计的理论基础结构动态设计的理论基础有两部分，即：振动分析振动分析、试验模态分析试验模态分析二、试验模态分析技术的发展二、试验模态分析技术的发展 早期研究实验观察振动试验主要目的是：（1）确定振动响应量的大小和范围；现代则更注重另外一个目的是，（2）理论模型的验证预测；或总称动力学建模。虽然，“试验模态”

3、这个名称现已流行，其原理上世纪中就已提出，但早期不叫试验模态。它们已经经历了不同的阶段，例如，曾使用过“共振实验共振实验”和“机械阻抗法机械阻抗法”等名称来描述这类试验技术。这一课题的重要里程碑之一是1947年肯尼迪（kennedy）和潘库（Pancu）的论文Use of vectors in vibration measurement and analysis。文中的叙述方法用来精确地确定航空结构的固有频率和阻尼值，这种方法沿用了许多年，直至六十年代测量和测量和信号分析技术信号分析技术迅速地发展起来。它为更精密的测量和更有效而广泛的应用铺平了道路。 1963年毕晓普（Bishop）和格拉德威

4、尔（Glodwell）的论文Steady stale vibration描述了共振实验原理的现状，当时，理论大大领先于实验的水平。在同一时期的另一项工作，是在塞尔特（Salter）所著的书中从完全不同的观点提出的，即用非解方法来处理测量数据。该方法较之现在借助于计算机自动地完成同样的工作相比，要占用较多的人力。塞尔特方法成功地在该项结构振动的研究中引入了重要的物理概念。到1970年主要是，传感器、电子学和数字分析仪以及计算机技术等方面都有了重要的发展，从而又建立了目前的试验模态分析技术。而现在所谓“试验模态分析试验模态分析”这一名称的意义，通常指“对系统或部分的一个实验过程，其目的是获对系统或

5、部分的一个实验过程，其目的是获得其动态或振动特性的数学描述得其动态或振动特性的数学描述”。对于不同的应用，其数学描述或模型也是不同的，在一种情况下可以是对固有频率和阻尼系数的估计，而在另一种情况下又可以是质量-弹簧-阻尼系统的模型建立。三、现代模态分析的定义：三、现代模态分析的定义： 对于 个自由度的线性定常有阻尼系统，其运动微分方程为：N )()()(tftxKxCtxM 式中： M C K上式是用系统的物理坐标 描述的运动方程组。在其每一个方程中均包含系统各点的物理坐标，因此是一组耦合方程。当系统自由度数目很大时，求解十分困难。( )x t( )f t( )x t( )x t)(tx 为系

6、统的质量刚度阻尼矩阵阻尼矩阵为系统的自由度及外界对系统的激励能否将上述耦合的方程组变换成非耦合的，独立的微分方程组，这就是模态分析要解决的根本任务。故所以，所谓模态分析方法就是：以无阻尼系统的各阶主振型所对应的模态坐标来代替物理坐标，使坐标耦合的微分方程组解耦为各个坐标独立的微分方程组，即iiiiigqkqcqm Ni, 2 , 1从而求出系统的各阶模态参数，即从而求出系统的各阶模态参数，即 、 、以及以及 。 这就是模态分析的经典定义。这就是模态分析的经典定义。imicik i目前线性系统的理论与技术趋于成熟。四、试验模态分析的基本内容四、试验模态分析的基本内容 试验模态分析技术的基本内容是

7、以下三部分的全面综合：振动分析理论基础；振动分析理论基础；振动测试技术；振动测试技术；动态（信号）数据分析技术；动态（信号）数据分析技术；过去认为这三部分是由每一方面的专家从事的不同的专题范畴，而现在我们探索的这一课题要求在这三方面都要深入的理解和应用能力，才能将试验模态这门技术学好并掌握。五、试验模态分析的工程应用五、试验模态分析的工程应用试验模态分析技术是一项综合性技术可以应用于各个工程部门及各种工程结构。这一技术在航空、航天、造船、机械、建筑、核工程、交通运输、兵器等工程部门中得到广泛应用。试验模态分析技术和有限元分析一起成为结构动力学的两大支柱。模态分析技术的应用可以归结为下列几个方面

8、：1 1、评价实际结构系统的动态特性、评价实际结构系统的动态特性在处理结构的振动问题时，必须对其动态特性有全面的了解。结构的动态特性通常用各阶模态参数（模态频率，模态振型及模态阻尼）来描述。通过对结构的模态分析可以求得上述动态特性参数，从而评价结构得动态特性是否符合要求，并校验理论计算结果的正确性。试验模态分析是建立在试验的基础上的因此所得到的动态特征参数比较准确（尤其是低阶模态），特别是可以识别系统的阻尼，而在有限元分析中阻尼是人为假设的。2、在新产品设计中进行结构动态特性的预估及、在新产品设计中进行结构动态特性的预估及优化设计优化设计在新产品设计中，通常采用有限元分析计算结构系统的动态特性

9、，但是正是如上面所指出的，由于在建立有限元模型时，在边界条件的处理以及力学模型的简化上，往往与实际结构的差异较大，这便导致动力分析结果失去实用价值，特别是对于大型复杂结构，这种差距更大。用模态分析所得到的模态参数对有限元模型进行修改，使其更符合实际从而提高有限元分析的精度。其次，用模态分析的结果进行结构动力修改，使动力特性达到预定的要求，并使其优化，这也是模态分析的目的之一。模态分析进入产品的设计阶段，并与有限元分析、CAD、CAT、CAE相结合构成所谓“理想设计过程”（Ideal Design Process）是模态分析技术发展的一个方向。3、诊断及预报结构系统的故障、诊断及预报结构系统的故

10、障近年来，结构故障技术发展迅速，而模态分析技术已经成为故障诊断的一个重要的方法。利用结构模态参数的改变来诊断故障是一种有效的方法。例如根据模态频率的变化可以判断裂纹的出现；根据振型的分析可以确定断裂的位置。；根据转子支承系统阻尼的改变，可以诊断与预报转子系统的失稳等等。4、控制结构的辐射噪声、控制结构的辐射噪声结构辐射噪声是由于结构振动所引起的。结构振动时，各阶模态对噪声的贡献并不相同，对噪声贡献较大的几阶模态称为“优势模态”。抑制或调整优势模态，便可以降低噪声。而优势模态的确定，必须建立在模态分析的基础上。5、识别结构系统的载荷、识别结构系统的载荷 某些结构在工作时所承受的载荷很难测量，这时

11、，可以通过实测响应和模态分析所得到的模态参数俩加以识别。此方法在横态航空及核工程中应用较广。试验模态分析与测试技术第一章单自由度模态分析理论11 引言引言模态分析的理论基础是在机械阻抗与导纳的概念上发展起来的。虽然机械阻抗的概念早在20世纪30年代就已经形成，但发展成为今天这样较为完整的理论与方法，却经历了较长的岁月。近二十多年来，模态分析理论吸取了振动理论、信号分析、数据处理数理统计以及自动控制理论中的有关“营养”，结合自身内容的发展，形成了一套独特的理论，为模态分析及参数识别技术的发展奠定了理论基础。12单自由度频响函数分析单自由度频响函数分析 单自由度系统是最基本的振动系统。虽然实际结构

12、均为多自由度系统，但单自由度系统的分析能揭示振动系统很多基本的特性。由于他简单，因此常常作为振动分析的基础。从单自由度系统的分析出发分析系统的频响函数，将使我们便于分析和深刻理解他的基本特性。对于线性的多自由度系统常常可以看成为许多单自由度系统特性的线性叠加。 下面我们分别对粘性阻尼和结构阻尼系统的频响函数理论进行讨论，并推导他们的表达式。一、粘性阻尼系统一、粘性阻尼系统对粘性阻尼系统，假设其阻尼力与振动速度成正比，方向与速度相反，即 dfcx fmx, ck（11） 式中： 及 均为时间 的函数。xft对于自由振动（ ），上式可以写为：0f 0mxcxkx其解的形式为: stxXesX式中：

13、 为复数； 为不依赖时间的量。（13） mxcxkxf系统的力学模型如图所示。其振动运动方程为： （12） （14） 对（12）式两边进行拉普拉斯变换，并假设初始值为0，可得2() ( )( )mscsk x sf ss( )x s( )x t( )f s( )f t式中： 为拉氏变换因子； 为 的拉氏变换， 而 则为 的拉氏变换。对自由振动而言，可得20mscsk由上式可解得 的两个根，s221,204122cckmsjmm 20km式中： ，系统的无阻尼固有频率； 为阻尼比。00(2)(2)c cckmcm 为无量纲因子。一般钢结构属于小阻尼， 0.01 0.1对 的阻尼称为欠阻尼。 1（

14、15） （16） （17） （18） 则模态解的形式为：20001( )ittitatx tXeeee 这是带复固有频率的振动单模态，可分为两部分：X0t衰减振荡周期指数衰减( )x t2021T tXe0虚部(或振动部分)，频率为：2001 实部(或衰减部分)，阻尼比为：0a前面的 ， 为共轭复数，他们的实部为衰减因子，反映系统的阻尼；其虚部表现有阻尼系统的固有频率。模态模型两部分 的物理意义表示在典型自由响应图中，（如图）1s2s)(H（15）式中的 具有刚度特性，故称为系统的动刚度动刚度。在一定的激励作用下，其数值与系统的响应 成反比。他具有阻止系统振动的性质。因此称为系统的机械阻抗机械

15、阻抗，简称阻抗（与电学中的阻抗有类似之处），现令 2()mscsk( )x s2( )Z smscsk其倒数称为机械导纳，简称导纳，又称传递函数机械导纳，简称导纳，又称传递函数，21( )H smscsk（19） （110） 若对（12）式在付氏域进行变换，即 ，则阻抗与导纳公式可写为：sj2( )Zkmcj21( )Hkmcj式中 又称为频率响应函数，简称频响函数频率响应函数，简称频响函数。( )H 位移导纳，传递函数及频响函数都具有柔度的性质，故又称为动柔度动柔度。在实际应用上（对稳定线性弹簧质量系统而言）这三个名称并不严格加以区别。（111） （112） 由（110）式及（112）式可见

16、，传递函数与频响函数均为复数。（112）式还可以表示为222( )()()()()kmcHjkmckmc2222112(1)(2)(1)(2)jkc式中， 称为称为频率比频率比。0 （113） 由（111）式可见，系统的位移阻抗由三部分组成，即质量阻抗、阻尼阻抗及刚度阻抗。他们分别为质量阻抗 ;阻尼阻抗 ;刚度阻抗 2mj kk他们的位移导纳分别为各自的倒数，即质量导纳 刚度导纳 刚度导纳 21m1j k1k上述阻抗与导纳公式均为位移阻抗与位移导纳。若系统的输出若系统的输出为速度或加速度，则同样可得速度阻抗于加速度导纳。为速度或加速度，则同样可得速度阻抗于加速度导纳。对于不同的阻尼器，其阻抗与

17、导纳的表达式亦不同。表1给出了单自由度系统各元件的各种阻抗与导纳的表1达式。表一 单自由度系统元件的阻抗与导纳系统元件位移速度加速度线性弹簧粘性阻尼刚体质量结构阻尼器dZdHvZvHaZaHkmcjkg1jkgkgkg2kgj2jkg1mm1j mj m21m2mjccj1cc1j cj c2k2kjkkj1kk大家可以发现表1的规律，若由左边项求右边项时，对阻抗则除 。对导纳则乘 ；若由右边项求左边项时，则对阻抗则乘 ，对导纳则除 。jjjj2( )Zkm21( )Hkm 对无阻尼系统，可由（111）及（112）式很方便地求出其阻抗与导纳的表达式：（13b）；（13c）二、结构阻尼（滞后阻尼

18、）系统二、结构阻尼（滞后阻尼）系统对于实际金属结构，常常不能用粘性阻尼来描述他们的衰减特性。实际结构的阻尼主要来源于金属本身材料的内部摩擦（内耗）内部摩擦（内耗）及各部件连接界面（如螺部件连接界面（如螺钉、铆钉、忖垫等）钉、铆钉、忖垫等）之间的相对滑移相对滑移。因此结构阻尼主要由材料内部阻尼与滑移阻尼两部分组成。结构阻尼的阻尼力 与振动位移成正比，相对比位移超前900，即与速度方向相反，即df式中 为结构阻尼系数，他与刚度 成正比，kdfjx（114）gk （115）g式中 为结构损耗因子，或称结构阻尼比，是无量纲因子。对结构阻尼系统而言，运动方程可写成mxkxj xf由（115）式，上式可改

19、写为(1)mxjg kxf（116）对上式两边进行拉氏变换，可得2(1) ( )( )msjg k x sf s(117）因此传递函数及频响函数分别为221( )(1)1( )(1)H smsjg kHjg km （118）将上式写为实部与虚部，222222211( )(1)(1)gHjkgg （119）（116）式中的 称为复刚度称为复刚度。(1)jg k由（113）式与（119）式比较可见，对粘性阻尼和结构阻尼，频响函数表达式具有相似的形式，只要将只要将 与与 相相互置换互置换，便可得到各自的频响函数表达式。2g其中： 为加速度频响函数； 为速度频响函数； 为位移频响函数. 以上所述的频响

20、函数是位移位移 为对象推导而得。频响函数还可以用速度与加速度来表示。x22( )( )()( )( )avddHj HjHH （120）( )aH( )vH( )dH 在实际应用中，由于测量加速度比较方便（主要是传感器的原因），故加速度导纳应用比较普遍。与上述三种导纳相对应的有三种阻抗，即位移阻抗（又称动柔度）、速度阻抗（又称机械阻抗）、加速度阻抗（又称视在质量）。他们是相应导纳的倒数。1.3 单自由度系统频响函数数据曲线单自由度系统频响函数数据曲线表现方式、特性及描述表现方式、特性及描述 有了单自由度系统基本位移导纳频率函数表达式之后，我们转而注意这些数据数据的各种显示或表达方法。首先讨论频

21、响函数基本形式的变化，然后探索用图形表示其特性的不同方法，最后，探讨所形成的图形中某些有用的几何性质。1.3.1频响函数数据的图形表示频响函数数据的图形表示 频响函数数据绘图的复杂性在于导出的频响函数是复函数，他们有三个量，即频率频率、复函数的实部实部、虚部虚部。而这些量不能全部展示在一张标准的xy图上。因为平面曲线只能表示两个变量，从而描述频响函数就有各种不同的组合。下面我们讨论三种最常见的表达形式： （1）、频响函数的模（幅值）作为频率的函数（简称幅频图）图；相位作为频率的函数图（简称相频图）（又称波德图B0de）。 （2）、频响函数的实部作为频率的函数图（简称实频图）；虚部作为频率的函数

22、图（简称虚频图）。 （3）、实部作为虚部的函数图（尼奎斯特图Nyquist）,（一个不含频率信息的图）。相位3601800位移导纳141050频率Hz(a)无阻尼单自由度系统的 导纳图0 20 40 60 80 100 我们下面来讨论一下这些曲线的用途并说明每种图的特殊优点或功能：典型的无阻尼单自由度系统位移导纳的经典波德图（如图(a)所示）。该系统响应的速度导纳和加速度导纳分别见如图(b),(c)。（见所发的图）相位3601800速度导纳1510500 20 40 60 80 100频率Hz(b)无阻尼单自由度系统的 导纳图相位3601800加速度导纳210频率Hz(c)无阻尼单自由度系统的

23、 导纳图0 20 40 60 80 100 由于振动数据很多，表示频响函数特性的可能问题之一，是数据分布在较宽的数据范围内，无论使用上述频响特性图的何种形式，总有一些数据不能包括在内。采用对数坐标可解决这个问题。(a)无阻尼单自由度系统的对数对数 导纳图10kg100kg1000kg位移导纳（0Db=1m/N）-100-120-140-1601 10 100频率105N/m106N/m107N/m10000kg我们下面来讨论一下这些曲线的用途并说明每种图的特殊优点或功能：现将上面列出的三个频响函数图的频率轴和幅值轴都采用对数坐标，并重新画出曲线图（如图）。10kg100kg1000kg速度导纳

24、（0DB=1m/N）-60-80-100-1201 10 100频率(b)无阻尼单自由度系统的对数对数 导纳图107N/m106N/m105N/m10kg100kg1000kg105N/m106N/m107N/m加速度导纳（0DB=1m/N）-20-40-60-80-1001 10 100频率(c)无阻尼单自由度系统的对数对数 导纳图坐标变换的结果可把每张图分成三部分：1、低频直线图；2、高频直线图；3、带有陡崤的幅值和相位变化的共振区。用对数对数对数坐标对数坐标的另一好处是，他把有关的频响函数特性分离成单个的质量元件和弹簧元件。从图中可以看出这些质量和刚度特性在对数坐标中呈直线。质量和刚度元

25、件的频率响应频响函数 质 量刚 度位移导纳： 速度导纳： 加速度导纳： ( )H)(logH( )vH)(logVH( )aHlog( )aHm21)log(2)log(mk1)log(kmi1ki)log()log(m)log()log(km1k2)log(m)log()log(2k（2）、小粘性阻尼单自由度系统的一对实频和虚频图实频和虚频图见如图。我们已给出了所有三种类型的频响函数图，从这些图中可以看出共振区相位的变化情况其特点在于，一个图上曲线的零点总是另一图上的曲线峰值（最大或最小）处发生。这里必须注意，在用实频和虚频表示频响函数特性时，不能用对数坐标，因为对数坐标不能兼容正值和负值。

26、30-3位移导纳（实部）0 20 40频 率30-5-10位移导纳（虚部）0 20 40频 率位移导纳图0.50-0.5速度导纳（虚部）0 20 40频 率(Hz)速度导纳（实部）10.50-30 20 40频 率(Hz)速度导纳图加速度导纳图加速度导纳图500-50加速度导纳（实部）0 20 40频 率(Hz)100500-50加速度导纳（虚部）0 20 40频 率（Hz）（3）、尼奎斯特图尼奎斯特图即矢量端图，是被工程广泛使用并能有效地显示共振区细部的方法。如图所示。ReImReImReIma 位移导纳 b 速度导纳c 加速度导纳具有结构阻尼单自由度系统的尼奎斯特图从图中可以看出各个图形很

27、象一个圆。事实上，除粘性阻尼的速度导纳以及结构阻尼结构阻尼的位移导纳为一个精确圆，其他则只是一个近似圆。其阻尼愈小，则图形愈圆。（如图）图中表示了单自由度粘性阻尼系统的尼奎斯特形式的频响函数图。这种图的特点是将离开共振区的点彼此靠的很近，这样就突出了共振区，故尼奎斯特图对试验模态具有很大的吸引力。1.5.2单自由度系统频响函数的特性单自由度系统频响函数的特性（图形的数学形式不讲）下面讨论一下单自由度系统频响函数的两种典型情况的一些基本几何特性。（1）、粘性阻尼系统尼奎斯特速度导纳图当频率从零扫描到无穷大的时，两个轨迹都是精确的圆。现讨论粘性阻尼情况从（17）式和（113）式得速度导纳为：222

28、222)()()()()(cmKmKicciKiHiHV(224)2222)()()Re(cmKcHV2222)()()()Im(cmKmKHV)21)(Re(cHUV)(Im(VHV 22222222222221)()(4)()(ccmKccmKVU故；令和于是 （125）因此，在 )Re(VH)Im(VH对 的曲线图上，当 0c21变化时，将画出半径为 ，圆心在 1(Re,Im0)2c处的圆，如图(b)所示。 c21（2）、结构阻尼系统尼奎斯特位移导纳图对于迟滞（结构）阻尼的情况，可从方程（19）得到略有差别的频响函数表达式：222221)h()mK(ih)mK(ih)K()(H（126）

29、22222)()()()Re(hmKmKH222)()()Im(hmKhH故 也就是说，对于一个有结构阻尼的单自由度系统来说，其位移导纳尼奎斯特图将是一个半径为 12()h，圆心在 12(0,)h见图(a) 的圆。（见发的图表）（见发的图表）虽然没有得到象上述粘性阻尼那样的表达式，但可以看出：222)21()21(Im(Re)hh （127）1.6 各种不同激励下频响函数的表达式各种不同激励下频响函数的表达式 频响函数（或传递函数）反映系统输入、输出之间的关系，并表示系统的固有特性。它与激励力的形式与大小（限于线性范围以内）无关。但是在不同类型激励力的作用下，它的表达形式常不同。下面我们对正弦

30、、周期、瞬态及随机等几种激励类型，确定频响函数的表达式。一、简谐激励一、简谐激励 对于线性时不变系统，在简谐激励力作用下，系统的运动为简谐运动，并且频率与力频率相同。)()(tjFetf)()(tjXetx激励力为：位移响应为：式中， 及 分别为激励与响应的相位角； ， 为激励力与响应的复数幅值。 因此，位移频响函数（位移导纳）为：)(jdeFXfxH（128）FX在实际工程结构分析与测量时，应变常常是十分重要而且易于测量的一个量。应变片作为一种传感器亦经常被采用，因为它的体积小、质量轻，对试件的约束小，而且可通过它测量应变，从而计算应力。此时，系统的输入为力，输出为应变，因此应变阻抗及导纳可

31、分别表示为： 另外目前工程中还有应变导纳的概念，这对实际测量很有好处。FZ FH应变阻抗: ； 应变导纳: 式中是对应物理量的傅立叶变换。二、周期激励二、周期激励 周期激励力具有周期性，但不一定是正弦力，例如方波、锯齿波激励力等属于此类周期激励力。此时系统的频响函数不再具有如（214）式所示的简单形式。但是，众所周知，任何周期函数，总可以用傅立叶分析方法展开成一系列具有频率、幅值与相位的正弦级数。设激励力为 ，)(tf则可写成1)()(ntjnneftfTnn2，这样，便可得到力函数的各个频率分量。同理，对响应亦可写成 1)()(ntjnnextx对周期函数而言，频响函数定义为各频率点上响应与

32、激励力之复数幅值比，)()()(tftxHn（129）响应 与 激励的级数具有相同的离散频率，他们都等于 的整数倍。)(tx)(tfT/2式中 、 均包含幅值与相位两个成分。)(tx)(tf三、瞬态激励三、瞬态激励对瞬态振动而言，激励与响应均非周期函数。但是他们常常是绝对可积的力函数（如脉冲力、阶跃力等），他们满足狄利克雷（D）条件，因此其傅立叶变换可由下式计算：dtetfftj)()(同理，对响应亦有dtetxxtj)()(此时，系统的频响函数定义为系统的输出（响应）与输入（激励）之傅立叶变换之比，)()()(fxH（130） 我们亦可以在拉氏域中定义频率响应函数，此时频率响应函数又称为传递

33、函数。它定义为系统的输出与输入的拉氏变换之比。)()()(sfsxsH（131）傅氏域及拉氏域的频响函数和传递函数的描述如图所示。( )H( )H sj传递函数与频率响应函数图O 曲面曲线( )H s( )H由上式可知:( )( ) ( )xHf对上式进行傅立叶逆变换，得：defHtxtj)()(21)(令激励为脉冲激励令激励为脉冲激励，即 0)(tf1)()()(dtetdtetfftjtj此处表示在 时作用得单位函数，又称为D函数。此时得系统响应为单位脉冲响应系统响应为单位脉冲响应，以 表示。已知 0t )(th故 deHthtxtj)(21)()(（132a）dtethHtj)()(（132b）他们互为傅立叶变