概率Ch4-1数学期望

1、一、数学期望的概念一、数学期望的概念三、数学期望的性质三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的概率分布能够完整地描述随机变量的概率性随机变量的概率分布能够完整地描述随机变量的概率性质，从中可以了解到随机变量落入某个区间的概率，但质，从中可以了解到随机变量落入某个区间的概率，但是这还不足以给人留下直观的总体印象是这还不足以给人留下直观的总体印象另外，在一些实际问题中，常常不需要去全面考察随机另外，在一些实际问题中，常常不需要去全面考察随机变量的整体变化情况

2、，只需知道随机变量的某些统计特变量的整体变化情况，只需知道随机变量的某些统计特征就可以了征就可以了例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好均长度越长、偏离程度越小，质量就越好第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的概率分布能够完整地描述随机变量的概率性随机变量的概率分布能够完整地描述随机变量的概率性质，从中可以了解到随机变量落入某个区间的概率，但质，从中可以了解到随机变量落入某个区间的概率

3、，但是这还不足以给人留下直观的总体印象是这还不足以给人留下直观的总体印象另外，在一些实际问题中，常常不需要去全面考察随机另外，在一些实际问题中，常常不需要去全面考察随机变量的整体变化情况，只需知道随机变量的某些统计特变量的整体变化情况，只需知道随机变量的某些统计特征就可以了征就可以了再如，在评定一批灯泡的质量时，主要看这批灯泡的平再如，在评定一批灯泡的质量时，主要看这批灯泡的平均寿命和灯泡寿命相对于平均寿命的偏差，平均寿命越均寿命和灯泡寿命相对于平均寿命的偏差，平均寿命越长，灯泡质量越好，灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越长，灯泡质量越好，灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小，灯泡的质量就越稳定小，灯

4、泡的质量就越稳定第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征从这两个例子可以看到，某些与随机变量有关的数字，从这两个例子可以看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但却可以概括描述它在虽然不能完整地描述随机变量，但却可以概括描述它在某些方面的特征某些方面的特征这些能代表随机变量主要特征的数字，称为随机变量的这些能代表随机变量主要特征的数字，称为随机变量的数字特征本章介绍随机变量的几个常用数字特征：数数字特征本章介绍随机变量的几个常用数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数学期望、方差、协方差和相关系数4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.1

5、4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念1. 1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望某年级有某年级有100名学生，名学生，17岁的有岁的有20人，人，18岁的有岁的有30人，人，19岁的有岁的有50人，则该年级学生的平均年龄为人，则该年级学生的平均年龄为事实上，平均年龄是以频率为权重的加权平均值事实上，平均年龄是以频率为权重的加权平均值100501930182017 3 .18100501910030181002017 4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念1. 1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数

6、学期望【例例4-1】(掷骰子游戏掷骰子游戏)规定掷出规定掷出1点得点得1分；掷出分；掷出2点或点或3点得点得2分；掷出分；掷出4点、或点、或5点、或点、或6点得点得4分，共掷分，共掷n次投次投掷一次所得的分数掷一次所得的分数X是一个随机变量，则是一个随机变量，则X的分布律为的分布律为试问：预期平均投掷一次能得多少分？试问：预期平均投掷一次能得多少分？解：解：若在若在n次投掷中，得次投掷中，得1分的共分的共n1次，得次，得2分的共分的共n2次，次，得得4分的共分的共n3次，次，X124pi1/62/63/64.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.1 4.1.1 数学期望的概

7、念数学期望的概念1. 1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望【定义定义4.1】 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为PX = xi = pi，i = 1, 2, , 若级数若级数 绝对收敛，则称绝对收敛，则称 为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望或或均值均值记为记为E(X)或或EX，即，即 (4.1)若级数若级数 发散，则称随机变量发散，则称随机变量X的数学期望不存在的数学期望不存在说明：说明：(1) 随机变量随机变量X的数学期望的数学期望E(X)是一个常量，与一是一个常量，与一般的平均值不同，它是从概率的角度计算随机变量般的平均值不同，它是从概率的角度

8、计算随机变量X所有所有可能取值的平均值，具有重要的统计意义可能取值的平均值，具有重要的统计意义 1iiipx 1iiipx 1)(iiipxXE 1iiipx4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念1. 1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望【定义定义4.1】 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为PX = xi = pi，i = 1, 2, , 若级数若级数 绝对收敛，则称绝对收敛，则称 为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望或或均值均值记为记为E(X)或或EX，即，即 (4.1)若级数若级

9、数 发散，则称随机变量发散，则称随机变量X的数学期望不存在的数学期望不存在说明：说明：(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变各项次序的改变而改变. 1iiipx 1)(iiipxXE 1iiipx 1iiipx例例1 甲甲, , 乙两人进行打靶乙两人进行打靶, ,所得分数分别记为所得分数分别记为,1X,2X它们的分布律分别为它们的分布律分别为,8 . 02 . 002101kpX1 . 03 . 06 . 02102kpX试评定他们的成绩的好坏试评定他们的成绩的好坏.解解 我们来计算我们来计算1X的数学期望的数学期望, , 得得

10、8 . 18 . 022 . 0100)(1 XE(分分).这意味着这意味着, ,如果甲进行很多次的射击如果甲进行很多次的射击, , 那么那么, , 所所得分数的算术平均就接近得分数的算术平均就接近 1.8, ,4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望).(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(2分分 XE很明显很明显, , 乙的成绩远不如甲的成绩乙的成绩远不如甲的成绩. .而乙所得分数的而乙所得分数的数学期望为数学期望为4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期

11、望的概念1. 1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望【例例4-3】设随机变量设随机变量XB(n，p)，求，求E(X)解：解：由于由于 k = 1, 2, , n. 所以所以由由,)1(knkknppCkXP nkknkknppCnpXE1)1()1(111)1()( nkkXkPXE0)( 10)1(1)1(nkknkknppCnpnpppnpn 1)1(,11 knknCknC nkknkknppkC0)1(4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念1. 1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望【例

12、例4-4】设随机变量设随机变量XP( )( 0)的泊松分布，求的泊松分布，求E(X)解：解：由于由于 k = 0, 1, 2, , 因而因而,! ekkXPk 0)(kkXkPXE 1)!1(kkek 11)!1(kkke 0!kkke ee 0!kkekk 4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念2. 2. 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望【定义定义4.2】 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，若，若积分积分 绝对收敛，则称其为绝对收敛，则称其为X的数学期望或均值的数学期望或均值

13、记为记为E(X)或或EX，即，即 (4.2)若积分若积分 不收敛，则称不收敛，则称X的数学期望不存在的数学期望不存在著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子：著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子：dxxxf )(dxxxfXE )()(dxxxf )(4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念2. 2. 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望设随机变量设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为服从柯西分布，其概率密度为由于积分由于积分发散，因而发散，因而E(X)不存在不存在)1(1)(2xxf )1(|2xdxx dxx

14、xf )( 02)1(2xxdx 4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念2. 2. 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望【例例4-6】设随机变量设随机变量XU(a，b) ，求，求E(X)解：解：由于均匀分布的概率密度为，由于均匀分布的概率密度为，因而因而 其其它它 , 0,1)(bxaabxf)(222abab dxxxfXE )()( badxabx2ba 4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.1 4.1.1 数学期望的概念数学期望的概念2. 2. 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的

15、数学期望【例例4-7】设随机变量服从参数为设随机变量服从参数为 的指数分布的指数分布,求求E(X)解：解：由于指数分布的概率密度为，由于指数分布的概率密度为，因而因而 ,00,xexf xelse E Xxfx dx0 xxedx1 正态分布正态分布),(2NX 2221,2xf xex 22212xE Xxedx作代换作代换,xtxt于是于是2212tE Xt edt22221122ttedttedt4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望在实际中，我们常需求随机变量函数的数学期望在实际中，我们常需求随机变量函

16、数的数学期望例如，一个零件的横截面为一个圆，圆的直径例如，一个零件的横截面为一个圆，圆的直径X是一个是一个随机变量，则截面面积也是随机变量，如果我们知道随机变量，则截面面积也是随机变量，如果我们知道X的的概率分布，而现在需要求的是概率分布，而现在需要求的是Y的数学期望的数学期望像这样已知随机变量像这样已知随机变量X的概率分布，如何计算的概率分布，如何计算X的某个的某个函数函数g(X)的数学期望？的数学期望？当然，由于当然，由于g(X)也是随机变量，它的概率分布可以通过也是随机变量，它的概率分布可以通过X的概率分布求出来，然后再用数学期望的定义计算的概率分布求出来，然后再用数学期望的定义计算g(

17、X)的数学期望，这个方法似乎有些麻烦的数学期望，这个方法似乎有些麻烦.4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望在实际中，我们常需求随机变量函数的数学期望在实际中，我们常需求随机变量函数的数学期望例如，一个零件的横截面为一个圆，圆的直径例如，一个零件的横截面为一个圆，圆的直径X是一个是一个随机变量，则截面面积也是随机变量，如果我们知道随机变量，则截面面积也是随机变量，如果我们知道X的的概率分布，而现在需要求的是概率分布，而现在需要求的是Y的数学期望的数学期望像这样已知随机变量像这样已知随机变量X的概率分布，如何计算

18、的概率分布，如何计算X的某个的某个函数函数g(X)的数学期望？的数学期望？那么是否可以不通过求那么是否可以不通过求g(X)的概率分布，而根据的概率分布，而根据X的概的概率分布直接求得率分布直接求得g(X)的数学期望呢？答案是肯定的，我们的数学期望呢？答案是肯定的，我们不加证明地给出以下定理：不加证明地给出以下定理：4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【定理定理4.1】 设设Y为随机变量为随机变量X的函数：的函数：Y = g(X) (g是连是连续函数续函数)，(1) 设设X是离散型随机变量是离散型随机变量,，其

19、分布律为，其分布律为 k=1, 2,，若级数，若级数 绝对收敛，则有绝对收敛，则有 (4.3)(2) 设设X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，若积分，若积分 绝对收敛，则有绝对收敛，则有 (4.4),kkpxXP 1)(kkkpxg )()(XgEYE 1)(kkkpxgdxxfxg )()( )()(XgEYEdxxfxg )()(4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【例例4-8】设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求求E(2X 1)，E(X 2)解解：E(2X 1

20、) = 2 (1) 1 0.1 + 2 0 1 0.2 + 2 1 1 0.4 + 2 2 1 0.3 = 0.8， E(X2) = (1)2 0.1 + 02 0.2 + 12 0.4 +22 0.3 = 1.7X1012pi0.10.20.40.34.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【例例4-9】某矿物的一个样品中含有杂质的比例为某矿物的一个样品中含有杂质的比例为X，其，其概率密度为概率密度为一个样品的价值（以元计）为一个样品的价值（以元计）为Y = 5 0.5X，求，求E(Y).解：解： 其它其它, 0

21、10,23)(2xxxxf 102)23)(5 . 05(dxxxx)5 . 05()(XEYE dxxfx)()5 . 05()(65. 4元元 4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【定理定理4.2】 设设Z是随机变量是随机变量X，Y的函数的函数Z = g(X，Y)，g是连续函数是连续函数(1) 若若(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为则有则有（设该级数绝对收敛）（设该级数绝对收敛） (4.5), 2 , 1, jipyYxXPijji 11),(jijjiipyxg

22、),()(YXgEZE4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【定理定理4.2】 设设Z是随机变量是随机变量X，Y的函数的函数Z = g(X，Y)，g是连续函数是连续函数(2) 若若(X，Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)则有则有（设该积分绝对收敛）（设该积分绝对收敛） (4.6)dxdyyxfyxg ),(),( ),()(YXgEZE4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【例例

23、4-10】一餐馆有三种不同价格的快餐出售，价格分一餐馆有三种不同价格的快餐出售，价格分别为别为7元，元，9元，元，10元随机选取一对前来进餐的夫妇，元随机选取一对前来进餐的夫妇，以以X表示丈夫所选的快餐的价格，以表示丈夫所选的快餐的价格，以Y表示妻子所选的快表示妻子所选的快餐的价格，又已知餐的价格，又已知X和和Y的联合分布律为的联合分布律为 (1) 求求min(X, Y )的数学期望；的数学期望；(2) 求求X +Y的数学期望的数学期望 Y X791070.050.050.1090.050.100.351000.200.104.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.

24、1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【例例4-10】(1) 求求min(X, Y )的数学期望；的数学期望；(2) 求求X +Y的数学期望的数学期望解解：(1) Emin(X, Y ) (2) E(X +Y) Y X791070.050.050.1090.050.100.351000.200.10 3131),min(jiijjipyx05. 07 10. 09 05. 07 90.35 05. 07 10. 01020. 0907 10. 07 （元）（元）6 . 8 10. 02020. 01935. 01910. 01805. 016 元）元）(25.18 05. 014

25、 05. 016 10. 017 4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【例例4-11】设设(X，Y)的概率密度为的概率密度为求求E(X)，E(Y)，E(X + Y)，E(X2 + Y2)解解：由于由于f(x，y)的非零区域为的非零区域为D：0 x 2，0 y 1 其其它它, 010, 20, 3/ )(),(yxyxyxf DdxdyyxxfXE),()(95)23(1813),()(202010 dxxdydxyxydxdyyxyfYED 20)12(61dxxx 20103dydxyxx911 4.1 4

26、.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.2 4.1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望【例例4-11】设设(X，Y)的概率密度为的概率密度为求求E(X)，E(Y)，E(X + Y)，E(X2 + Y2)解解：由于由于f(x，y)的非零区域为的非零区域为D：0 x 2，0 y 1 其其它它, 010, 20, 3/ )(),(yxyxyxf DdxdyyxfyxYXE),()()(2222916 DdxdyyxfyxYXE),()()( 20103)(dxdyyxyx6133)(201022 dxdyyxyx4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.

27、3 4.1.3 数学期望的性质数学期望的性质(1) 设设c是常数，则有是常数，则有E(c) = c(2) 设设X是随机变量，设是随机变量，设c是常数，则有是常数，则有E(cX) = cE(X)，E(X + c) = E(X) + c(3)设设X，Y是随机变量，则有是随机变量，则有 E(X + Y) = E(X) + E(Y)(4) 设设X，Y是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有E(XY) = E(X)E(Y)该性质该性质(3), (4)可推广到有限个随机变量的情形可推广到有限个随机变量的情形4.1 4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望l4.1.3 4.1.3 数学期望的性质数学期望的性质证明：证明：(1) c是这样的随机变量，它只可能取值是这样的随机变量，它只可能取值c，因而它，因而它取取c的概率为的概率为1，于是，于是E(c) = c 1 = c以下仅就以下仅