理论力学复习指导

1、理论力学复习指导郭 志 勇 编西北工业大学出版社2002 年 11 月第一篇静力学.中心内容：力系的简化（合成）与平衡条件二.基本概念1 力、刚体、平衡、约束、静力学公理、常见约束类型及其反力（绳索、光滑支承面、 固定铰支座、滚动支座、固定端、轴承）；二力杆2 汇交力系合成的几何法、力多边形、力的投影、分解、两者关系，合成的解析法3 力矩、平面力偶的性质，三要素合力矩定理，平衡方程的各种形式及条件;4 力线的平移、平面一般力系的简化结果； 桁架内力的计算方法，物系平衡问题解法5 静滑动摩擦定律，摩擦角空间力偶矩矢，空间力系简化结果，空间力迟 PiXi Xc送 PiZiZc r p6 力对轴之矩

2、，力对点之矩矢，两者关系， 系平衡方程7.重心、形心三.解题要点1. 适当地选取研究对象，正确地画出其受力图（受力图是关键）。 所选的研究对象上至少要有一个已知力和一个未知力，且受力的个数越少越好。 .研究对象一定要从周围的物体中隔离出来，不要连同约束一起画。 .一定要根据约束的性质画约束反力，不要主观臆断。一见典型的约束符号，则其反力确 定无疑。 .研究整体时，所有中间铰处的内力不要画出来。 对于物系问题，是先拆开还是先整体研究，通常：对于构架，若其整体的外约束反力不 超过4个，应先研究整体；否则，应先拆开受力最少的哪一部分。对于连续梁，应先拆开受 力最少的哪一部分，不应先整体研究。 .拆开

3、物系前，应先判断系统中有无二力杆，若有，则先去掉之，代之以对应的反力。在 任何情况下，二力杆不作为研究对象，它的重要作用在于提供了力的方向。 拆开物系后，应正确的表示作用力和反作用力之间的关系、字母的标注、方程的写法。 .对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开，力偶不要搬家。 .定滑轮一般不要单独研究，而应连同支撑的杆件一起考虑。2 .根据受力图，建立适当的坐标轴，应使坐标轴与尽可能多的力的作用线平行或垂直， 以免投影复杂；坐标轴最好画在图外，以免图内线条过多。3 .判断力系的类型，列出对应的平衡方程：汇交力系几何法:力多边形自行封闭平行力系解析法0 (R / y)0取矩时,矩心应选在尽

4、可能多的未知力的交点上,以避免方程中出现过多的未知量。汇交力系工丫 = 0间平亍力系(Fi / z)X = 0龙丫 = 0匕Z = 0辽Z = 0r mx = 0Q my = 0mx空间力系取矩时，矩轴不一定是坐标轴，可以对任何直线取矩，使尽可能多的力的平行或相 交的直线作为矩轴，以减少方程中的未知数。4.考虑摩擦时，需分析运动的可能趋势(若运动趋势不明显，则可假设，并分别考虑 各种可能)，从而正确地判断出摩擦力的方向；未到临界时，摩擦力的大小只能由平衡方程 求出，只有在临界状态下，才能补充定滑动摩擦定律：F 尸Nf,它与平衡方程无关。待求 的量其结果往往有一个范围。第二篇 运动学一.中心内容

5、单纯用几何的方法描述物体在空间的位置随时间变化的运动学性质(运动方程、轨迹、速度、加速度等)二.各章要点点的运动：研究点在一个固定坐标系下的运动。按点运动的轨迹分为： 点的直线运动 X二x(t) , V二X , a二V二X点的曲线运动已知曲线:用用角然坐标未知曲线：用直角坐标1. 直角坐标法建立直角坐标系，将所研究的点置于该系下一般位置，写出该点的位置坐标(x,y),纯粹 用几何图形找出该坐标与已知条件的关系，表成时间t的单值连续函数，即为运动方程：X 二 x(t), y = y(t)消去时间即为轨迹： y = f (x)速度：Vx =x ,Vy = y ,!22v = x y力卩速度：Q =

6、 X ay = y2. 自然法 沿已知轨迹建立自然坐标，将所研究的点置于该系下一般位置，写出该点的弧长坐标s,纯粹用几何图形找出该弧长与已知条件的关系，表成时间t的单值连续函数，即为运动方程：S 二 s(t)速度：v = St加速度：sa 二an a Tn stP全加速度大小： a = Ja： + a；全加速度的方向：恒指向曲线内凹的一侧当aT为常量时，有:s = sV3. 两方法间的关系:v = v o+ a t t20+ v ot+ a Tt /22o = 2a t s-'2'2x y.刚体的基本运动1. 平动：直线平动曲线平动 定义特性：平动时，刚体上各点的轨迹、速度、加

7、速度完全相同，只需研究其上任一点即可2. 转动(定轴转动)运动方程：'二(t)角速度：二 角加速度:转动刚体上一点的速度：v = r2加速度：an = ra = ra = Jaj + aj = r Jg2 +国 4当&为常量时，有:© = © o+2 23 -3 023 ot+ £ t /2=2 £©点的合成运动研究一个点在两个不同坐标系下的运动及其关系1.基本概念相对点的运动动点点的运动绝对牵连点：动系上瞬时与动点重合的点系动刚体的运动，牵连F系 静牵连点相对于静系的速度、加速度分别称之为牵连速度和牵连加速度。速度合成定理:V

8、aVe Vr加速度合成定理:牵连运动为平动aa二 a。 ar牵连运动为转动a aae ar ak其中 a k = 2 3 v r称为科氏加速度大小: a k=2 3 Vrsin a方向：右手系或将Vr沿3旋转9002. 解题要点 .正确地选取并明确地指出动点和动系:a. 动点和动系不能在同一刚体上；b. 在某一物体上，动点相对该物体的位置应是不变的点；c. 动点的相对运动轨迹要清晰可辨；d. 常取两物体的接触点、滑块、套筒、小环、小球等为动点。 .对动点进行速度分析并图示，列出速度合成定理，常用几何法求速度。 .正确判断牵连运动类型，从而对动点进行加速度分析并图示（已知的量不能画错，未知 的量

9、可以假设），列出对应的加速度合成公式，常用 投影法求加速度。投影轴取在不需要求 的未知量的垂线方向，以避免该未知量在方程中出现。.刚体的平面运动1. 基本概念定义，利用定义正确地判断出作平面运动的构件分解:平面运动可分解为随任选基点的平动和绕该基点的转动两部分。平动与基点的选 择有关，而转动与基点的选择无关，即刚体的©、3、£不随基点的变化而变化。2. 求速度的三种方法 .基点法：Vb二V a+ V BA其中 Vba=AB- 3 BA 方向与AB垂直适用于任何情况，常取速度为已知的点作基点 .速度投影法：V ACOS a = V BCOS B适用于已知某点速度的大小和方向及

10、另一点速度的方向，求其大小的情况；它不能求刚体的角速度。 .瞬心法：找出瞬心C,则此时刚体可以看作是绕瞬心 C的瞬时转动，冈I体上任一点的速 度为：vb =BC- 3 BC适用于瞬心好找、且瞬心到所求点的距离好算的情形。瞬心的位置：过两点作速度的垂线，交点即为瞬心；只滚不滑的轮子与地面的接触点，等3. 瞬时平动的概念瞬时平动时：刚体上各点的速度相等，加速度不相等。刚体的角速度3 =0,角加速度&工04. 求加速度的基点法(唯一的方法)：取加速度为已知的点A作基点，则刚体上任一点B的加速度为n丄1aB = aA aBA aBA其中anBA =AB3 2aT ba=AB-£5.解

11、题思路将系统置于待求瞬时的位置，而不要放在一般位置；分析各构件的运动类型及整个机构 运动的传递过程，从运动为已知的构件开始，分析关键连接点的速度、加速度，并标注在图 上；重点研究作平面运动的构件，逐步从已知过渡到未知。同时应注意合成运动与平面运动 的综合应用。三.结语对于整个运动学部分，关键要分析清楚系统中各部分的运动类型， 从而界定题目的类属, 进而采用对应的方法。若系统中有套筒、滑块滑槽、两物体的接触点有相对运动、联系两物体的小环、管中的 小球等则属于合成运动之题目；若系统中有作平面运动的构件，则属于平面运动之题目；若 两者都有，则属于综合题。一. 中心内容:二. 各章要点第三篇 动力学.

12、质点运动微分方程dv m一 dt研究作用于物体上的力与物体机械运动间的关系ma. = Fn投影式解决两类问题1. 已知运动求力，正问题，求导即可；1).F =C 、2. 已知力求运动，逆问题，积分：2).F =F(t)、直接积分；3).F =F(v)”解题步骤:（略）4).F = F (x)变形 口巴空=F(x) mvdv 二 F (x)dx dx dt.动量定理1.质系的动量：K=M/C ,K=艺 mvi2.质系的动量定理：dKeF dtdKx«_ e.投影式二二Fxdte若-F " 0 ,则系统动量守恒：K=K若EFx =0,则系统动量在x方向守恒K<=K

13、6;3.质心运动定理：Mac=2 Fmxc = IX厂 nmac=Fn投影式或myc =工丫mac= TFt若外力在某轴上投影为0,且系统初始静止，则质心在该轴上保持守恒imi xirmiyi4. 质心坐标xc , yc工 mjrmi5. 用途：主要用来求1）系统约束反力2）质心守恒时各质点移动的位置.动量矩定理1. 质系的动量矩（对固定点O）Ho=2 ho=2 ri X mvi转动刚体的动量矩（对固定轴z） HZ= Jz 3dIHo 2. 质系的动量矩定理M。dtdHz v投影式-二二mzdt上式对固定点O质心C、瞬心P（卩。=常数）均成立，其形式不变 若外力对某轴之矩为,则在该轴上动量矩守

14、恒。'，定轴转动刚体微分方程Jz£ = Mmxc =龙 X屯平面运动刚体微分方程myc =龙YJc 名=M c2Jz二p为回转半径平移轴公式均质圆轮均质杆JzJCJCJCMd1MrMl126. 用途：用于转动或平面运动系统求外力或加速度。7. 注意事项：1).若动力学方程个数少于未知量个数，则需补充运动学条件，物体间连接处的速度、角速 度、加速度、角加速度之间存在一定关系，有时要补充一些运动学公式。2).轮子作纯滚动时,注意补充：Vc二.动能定理1. 功重力的功 弹力的功W = _Ph1 2 2 w k( 2 - 2)2 转动刚体上力偶矩的功W = 一 M 理想的约束反力不做

15、功 只滚不滑的摩擦力不做功平面运动刚体1MvC =Jc2 22.动能质点动能T1 2 mv2质系动能T1 2 mivi2平动刚体T1 2=2MvCC为质心转动刚体T=1 JB 22Jz Z为转轴1 Jp2P 为瞬心3. 质系的动能定理T2 - 4. 用途：求解具有理想约束的系统中某物体的 v、3、a、£等,它不能求得约束反力5. 解题要点 选整体为研究对象，不要拆开； 分析各物体的运动形式，写出系统初始和末了的动能 Ti和T2； 计算所有力的功； 代入动能定理，解之。若求a、£,则将动能定理两端对时间t求导。.普遍定理综合应用1. 正确掌握各定理特征： .动量定理与动量矩定

16、理只涉及系统的外力，而与内力无关； .动量定理揭示质系质心的运动，反映系统移动时的动力学性质； .动量矩定理反映系统绕某定点或某定轴转动的动力学性质； .动能定理涉及系统的始末位置，不涉及约束反力。2. 根据题目的要求，联系各定理的特征，决定所采用的方法： .如果给出了系统的始末位置，求v、3、a、g ,而不涉及约束反力时,用动能定理;（若涉及反力，也可先由动能定理求出v、a、后用其他方法求反力） .求反力或绳子内力用质心运动定理； .对于转动刚体可用动量矩定理或定轴转动微分方程； .对平面运动刚体可用平面运动微分方程； .注意综合应用。.动静法（达朗伯原理）1. 惯性力的施加及其计算 质点G

17、=-ma加在该质点上， 平动刚体G=-mac加在质心C, 转动刚体主矢G=-mac加在转轴乙2主矢大小主矩平面运动刚体Gn = mr尹G = mrc ；M|=-J z £主矢 G=-mac加在质心C主矩 M=-J C £2. 解题步骤（基本与静力学解题步骤同） .取研究对象（对于物系要拆开），作受力图； .根据运动类形，施加对应的惯性力（加惯性力时直接与a、£画反向,计算时不再代负 号）。 根据力系的类属，列出对应的静力学平衡方程; .注意补充运动学条件； .联立求解。3. 说明：原则上,动静法可以解决任何动力学问题，不论是涉及速度、加速度还是涉及反力均可。只是难

18、易程度不同而已。因此，它多用于已知运动（v、a、g）求反力之情.虚位移原理1.概念：虚位移、自由度、广义坐标2. 原理：三F八r = 03. 用途：解决受理想约束质点系的静平衡问题4. 用法： .以整体为研究对象，若不求反力则不必拆开； .画出所有主动力；若需求某一约束反力，则解除该约束代之以对应的反力并视其为主动力； .给系统一虚位移，找出各力作用点处虚位移间的关系。若各处虚变形不易观察，则建立该点坐标，对坐标变分一次即为其虚位移（坐标原点应选在无虚位移的固定点）； 计算各主动力在对应的虚位移上所作的虚功； 代入虚位移原理，消去独立的虚位移，求未知量。.单自由度系统的振动本章的难点是运动微分方程的建立，建立方程常用的方法有：质点运动微分方程、刚体定 轴转动微分方程、刚体平面运动微分方程。1.无阻尼自由振动方程mx kx = 0 或 mx解（响应）x = A sin（ t ：）固有频率° = J- mr静伸长法一-g- s能量法Tmax - VmaxJ 2振幅A - x°2初相位tg ：亠0xm axXm ax等效刚度串联并联2. 有阻尼自由振动方程mx ex kx = 0 2mx + 2nx +