利用空间向量求角和距离

1、【基础巩固】1.已知直线l 1的方向向量S1=（1,0,1）与直线丨2的方向向量S2=(-1,2,-2),则l 1与1 2夹角的余弦值为（C )血I(A)(B)(C)(D)解析 ：因 为S1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),所以S-1勺 -1-2 血71COS二丄=-.又两直线夹角的取值范围为（0,）,所以I 1和I 2夹角的余弦值为:.2. 已知点 A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),间的距离为(D )阿 8 無 厨(A)(B) (C)(D)解析：设P(x,y,z),因为i =2 ,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),若i =2 ,则

2、空间P,D两点4 _ 3/.VT D -P所庐3一一3. 在正方体ABCD-AiGD中,M是AB的中点，则sinv。旳的值等于(B )I 10 农 再(A)(B)(C) : (D)解析：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则ID(0,0,0),B i(1,1,1),C(0,1,0),M(1,0),TI所以=(1,1,1), =(1,-,0).1T-12DBVCM ；T T- TJ x _L _所以cosv呵円=l叽1側J 序.-714 210所以 sin v；,=.故选 B.4. 在长方体 ABCD-/BGD 中,AB=2,BC=2,DD=3,则 AC与 BD所成角的余弦值为

3、(A )3御3如元(A)0(B)(C)-(D)1解析：建立如图坐标系，则 D(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以：=(-2,-2,3),=(-2,2,0).BDyAC所以 cos V，m=0.所以AC与 BD所成角的余弦值为0.5. 已知正四棱柱ABCD-ABGD中,AA1=2AB，则CD与平面BDC所成角的正弦值等于(A )2V3 a/21_(A)(B)(C)(D)解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA=2AB=2则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),Ci(0,1,2),TT故 =(1,1,0), =(0,1,2),=(0,1,0)

4、.设平面 BDC的法向量r tn-DB Of1T、rr . ?1 + DC| 0,为 n=(x,y,z),贝A即 令z=1,则y=-2,x=2,所以平面BDC的一个法向量为 n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC所成的角为0 ,叶Ml 2则 sin 0 =|cos|= U=,故选 A.a a6. 已知点M(a,0,a),平面n过原点O,且垂直于向量n=(- , ,a),则点M到平面n的距离d为.OM-n-|n|解析：M=(a,0,a),则M到平面n的距离d= =& a.答案-a7. 如图正方体ABCD-ABGDi的棱长为1,O是平面ABQD的中心，则BO与平面ABGD所成角的正弦值为 .

5、1 1解析：建立空间直角坐标系，如图，则B(1,1,0),O(, ,1),- 1 1=(1,0,1)是平面ABGD的一个法向量.又 =(,-1),第BD页obday则所以BO与平面ABCD所成角的正弦值为答案:8. (2019 福州高二期中)如图，已知正方体ABCD-/BGD,棱长为4,E 为面 ADDA的中心,CF=3FC,AH=3HD.(1) 求异面直线EB与HF之间的距离；(2) 求二面角H-BE-Ai的平面角的余弦值.解：以D为原点，；，：分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立直角坐标系 Dxyz,则 E(2,0,2),B 1(4,4,0),H(1,0,4),F(0,4,1).(1)=(

6、2,4,-2),=(-1,4,-3),=(-1,0,2),设平面EBFH的法向量为n=(x,y,z).t+ 4y - 2Z = 0,：； !； 一即即:H- I :/I.取 x=1,则 z=-3,y=-2,则 n=(1,-2,-3),|n-EH| |-l+0-6|异面直线EB与HF之间的距离为二 I =(2)=(2,4,-2),=(2,0,-2),=(-1,0,2),设平面HBE的法向量为m=(x ,y ,z ),叫EB】=力即2空+= 0,取 x =2,则 y =- ,z =1.所以 m=(2,-,1).设平面ABE的法向量为m2=(x,y,z),贝A三1即I 2x_2z = -取 x=1,

7、y=0,z=1,贝卩 m2=(1,0,1),所以 cos =r 2 I二因为二面角H-BiE-Ai为钝二面角, 所以二面角H-BiE-Ai的平面角的余弦值为- 【能力提升】9. 在正方体ABCD-ABGD中,E为BB的中点，则平面AED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B )(A)(B)(C)(D)解析：如图所示,建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则 d(o,o,o),a i(i,o,i),E(i,i,),所以=(1,0,1), =(i,i,).设平面AED的法向量为n=(x,y,z),= 0Ttn-DE = 0,令 x=1,得 y=- ,z=-1,所以 n=(1,-,-1).又平面

8、ABCD勺一个法向量为=(0,0,1),第H-B页T X 所以 cos=-.2所以平面AED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.10. 已知矩形ABC与ABEF全等 Q-AB-F为直二面角,M为AB的中点,FM与BD所成角为0 ,且cos 0 =:,则AB与BC的边长之比为(C )(A)1 : 1(B): 1 (C): 2 (D)1: 2解析：设AB=a,BC=b建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则相关各a点坐标为 F(b,0,0),M(0,0),B(0,a,0),D(0,0,b),a=(-b,0),=(0,-a,b),所以| =-|cos整理得4X +5X -26=0,所以

9、=:.故选C.11. (2019 烟台高二检测)棱长为1的正方体ABCD-A.CD1中,E,F分别是BC,CD的中点，则点D到平面EFDB的距离为解析:以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系，I1则 D(0,0,0),F(0,0),E(,1,0),D 1(0,0,1).所以：=(-，-,0),门=(-,-1,1).1 11-x-y+ z = 0,设n=(x,y,z)为平面EFDBi的法向量，贝I易求平面EFDB 个的法向量为n=(-1,1,芍，TI|DFn| 1又=(0, ,0),所以 d=卜1 =.|答案：12. 在直三棱柱ABC-A B C中，底面ABC是边长为2的正三角形，D是棱A

10、C的中点，且AA =2 .(1) 试在棱CC上确定一点 M,使A 皿平面AB D ; 当点M为棱CC中点时，求直线AB与平面A BM所成 角的正弦值.解:(1)因为直三棱柱ABC-A B C中，底面ABC是边长为2的正三 角形,D 是棱A C的中点，所以B D丄A C ,所以B D丄平面ACC A ,所以B D丄A M,所以在棱CC上确定一点M,使A M!平面AB D ,只要过A 作A Ml AD交CC于点M即可.(2) 如图以A为原点，以，为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐 标系， 因为直三棱柱ABC-A B C中，底面ABC是边长为2的正三角形,第7页D是棱A C的中点，且AA =2 .所

11、以 A(O,O,O),B (,1,2),A(0,0,2),B(,1,0),M(0,2,),所以 =(. ,1,2),=(0,2,-),=(,1,-2),设平面A BM的一个法向量为n=(x,y,z),n-AM =匸-*r 2y - 0,则l阿即限辰令y=i,则n=(花,1,农)，设直线AB与平面A BM所成的角为0 .sin 0 =|cos|=| I；门 |=,】二 乂 二所以当点M为棱CC中点时，直线AB与平面A BM所成角的正弦值为：.【探究创新】13. 如图，在四棱锥 P-ABCD中,PA丄平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5, / DABM ABC=90 ,E 是 CD的中点.

12、(1)证明:CD丄平面PAE;若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD勺体积.解：如图，以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设PA=h，则相关的各点坐标为A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).TTT(1)易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).因为: =-8+8+0=0,=0,所以 CDL AE,CDLAP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线所以CDL平面PAE. 由题设和(1)知，,分别是平面PAE平面ABCD勺法向量，而PB 与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成