量子力学-第二章-定态薛定谔方程

1、第二章第二章 定态薛定鄂方程定态薛定鄂方程（一）定态（一）定态SchrSchrdingerdinger方程，定态方程，定态 （二）能量本征值方程（二）能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质（四）定态的性质 （五）如何由定态得到一般解（五）如何由定态得到一般解（一）定态（一）定态SchrSchrdingerdinger方程，定态方程，定态),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr )(2)()()(22rVtftfdtdri 讨论有外场情况下的讨论有外场情况下的 SchrSchrdinger dinger 方程：方程：E )()(

2、2)()(22rErVtEftfdtdi令：令：/)(iEtetf Etiertr )(),( 于是：于是：V(r)V(r)与与t t无关时，可以无关时，可以分离变量分离变量代代入入)(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi )()(tfr 两两边边同同除除等式两边是相互无等式两边是相互无关的物理量，故关的物理量，故应应等于与等于与 t, r t, r 无关无关的常数的常数 此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角频率的关系是正弦型的，其角频率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就是体系处于波函数就是体系处于波

3、函数(r,t)(r,t)所描写所描写的状态时的能量。也就是说，此时的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数种状态称为定态，波函数(r,t)(r,t)称为定态波函数。称为定态波函数。Etiertr )(),( 空间波函数空间波函数(r(r) )由方程由方程)()(222rErV和具体的边界条件所确定。和具体的边界条件所确定。该方程称为该方程称为定态定态 SchrSchrdinger dinger 方程。方程。 （1 1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的

4、本征值方程相同。这与数学物理方法中的本征值方程相同。 数学物理方法中：数学物理方法中：微分方程微分方程 + + 边界条件构成本征值问题边界条件构成本征值问题； EHEV 22或或 （2 2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件波函数的自然边界条件。 因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量常量 E E 称为称为算符算符 H H 的的本征值本征值；称为称为算符算符 H H 的的本征函数本征函数。

5、（3 3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称的状态（简称能量本征态能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。（二）能量本征值方程（二）能量本征值方程（三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数(r,t(r,t) )和在这些态中的能量和在这些态中的能量 E E。其具体步骤如下：。其具体步骤如下：)()(22

6、2rErV ,2121nnEEE ，本本征征函函数数本本征征值值：/exp)(),(tiErtrnnn 1| )(|2 drCnn（1 1）列出定态）列出定态 SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据波函数三个标准）根据波函数三个标准条件求解能量条件求解能量 E E 的的本征值问题，得：本征值问题，得：（3 3）写出定态波函数即得）写出定态波函数即得到对应第到对应第 n n 个本征值个本征值 E En n 的定态波函数的定态波函数（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数 C Cn n（四）定态的性质（四）定态的性质（2 2）几率流密度与时间无关）几

7、率流密度与时间无关nnntr ),( 2),(nnnnnitrJ （1 1）粒子在空间几率密度分布与时间无关）粒子在空间几率密度分布与时间无关)/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )()(rrnn )/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn )( rJn 4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）常量（不随时间变化）dxxxixQxdxtxxixQtxpxQnnnn)()/,()(),()/,(),(),(*mnnmdrrr)()(*0p

8、x常量)(),(),(/xectxctxnnntiEnnnn（3）处于定态时力学量（不显含时间）的期待值是常数推论正交归一性薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为其中展开系数由初始条件定)()0 ,()0 ,(xcxcxnnnnnn由定态波函数的正交归一性dxxxcn)0 ,()(*我们来求处在),(txnnnnnnnnmnmmmntiEtiEmmnmnmntiEtiEmnmnmntiEtiEEcEccEcceedxxExcceedxxHxcceedxtxHtxHmnmnmn2*/*/*/*)()()()(),(),(nnnnnnmnmmntiEtiEmnmnmntiEtiEmnmnmn

9、tiEtiEccccceedxxxcceedxxxcceedxtxtxmnmnmn2*/*/*/*)()()()(),(),(1能量的期待值我们在来看),(tx的归一化从上面两个式子可以看出，2nc),(txnE具有几率的概念，当对测量能量时，测到的几率是2nc也可以说体系是部分地处于,.,.,21n态，各个态出现的几率分别是,.,.,22221nccc需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，( , )( ),niE tnnx tx e其几率和期望值都不依赖时间， 但是一般解并不具备这个性质； 因为不同的定态具有不同的能量，在计算时 含时指数因子不能相互抵消 2.22.2一维无限深势阱一维无限深

10、势阱l求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S S方程方程 l（2 2）解方程）解方程 l（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解 l（4 4）定归一化系数）定归一化系数 axaxxV|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程方程可方程可 简化为：简化为： 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(2222222 xExVxdxdxExxVxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxExd

11、xdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域， 用用 I I 、II II 和和 III III 表示，其上的波函数分表示，其上的波函数分别为别为I I(x),(x),IIII(x(x) ) 和和 IIIIII (x) (x)。则方程为：则方程为： 2 2xxIIIIIxxIeDeDxBxAeCeC2121cossin（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解xIeC 1 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解

12、释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是 (-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。.0cossin,0IIIIIIxBxA则解为：)(222EV 00lim)(1 IaIeCa 所所以以0 III 同同理理：-a 0 aV(x)IIIIII 1 1。单值，成立；。单值，成立； 2 2。有限：当。有限：当x x - - ， 有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。(2) (2) 解方程解方程3 3。连续性。连续性: :在势的分界点在势的分界点, 0cossin0)(aBaAaII由波函数的连续性：由波函数的

13、连续性：. 0cossin0)(aBaAaIIax 点,ax点,由此得到0sinaA0cosaBA和B不能同时为零,否则波函数处处为零(处处为零的波函数总是满足薛定谔方程的),这在物理上是没有意义的.因此,我们得到两组解0cos0aA0sin0aB,.5 , 3 , 12nna,.6 , 4 , 22nnananEn22228(1) 2.6-8对第一种情况,我们必须有 对第二种情况,我们必须有 n=0对应于波函数恒为零的解没有意义, n等于负整数时不给出新的解.由(2.6-5,10)体系的能量为可以看出由无限多个能量值, 它们组成体系的分离能级,每一个能级对应一个n, 我们称n为量子数.正整数

14、 (2.6-11)(2)2.6-92.6-10axaxnxanAn, 0,.,6 , 4 , 2,2sinaxaxnxanBn, 0.,5 , 3 , 1,2cosaxaxnaxanAn, 0.,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1),(2sin我们得到的两组波函数解 2.6-12这两组解可以合并为一个式子 2.6-14 2.6-13aaaanaAdxaxanAdxaxanAdx121)(cos)(2sin2 2 22 2aA1 tEitEinnnneaxanaextx)(2sin1)(),(由归一化条件求出 所以一维无限深势阱中粒子的定态波函数是2siniiee)22()22(2121

15、),(ntExanintExaninnneaieaitx),(txn利用公式可以将正弦波写成指数函数由此可知是由两个沿相反方向传播振幅相等的平面波叠加而成的驻波 波函数在势阱外时为零,即粒子被束缚在势阱内部.通常把在无限远处为通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态零的波函数所描写的状态称为束缚态,一般来讲一般来讲,束缚态所属的能级是分立束缚态所属的能级是分立的的.体系能量最低的态称为基态体系能量最低的态称为基态,一维无限深势阱中的粒子的基态是一维无限深势阱中的粒子的基态是n=1的的本征态本征态.0-aan=4n=3n=2n=122220-aan=4n=3n=2n=1（6 6）粒子的

16、能级间隔）粒子的能级间隔相邻两个能级的能量差：相邻两个能级的能量差：2222222221)2(1)2(2)2(2)1(aananEEEnn 相邻两个能级的能量差与势阱宽度的平方成反比。因此，量子化现相邻两个能级的能量差与势阱宽度的平方成反比。因此，量子化现象对于空间范围很小的微观体系才显著。象对于空间范围很小的微观体系才显著。 一维无限深势阱应用举例：一维无限深势阱应用举例：解释有机燃料分子（多烯烃）不同颜色的根源。解释有机燃料分子（多烯烃）不同颜色的根源。 有机燃料分子是线性分子，电子在分子内运动是自由的，但不能跑出分有机燃料分子是线性分子，电子在分子内运动是自由的，但不能跑出分子外，可以简

17、化为电子在一维无限深势阱中运动。设分子限度为子外，可以简化为电子在一维无限深势阱中运动。设分子限度为2a，例如，例如 1 1）靛蓝，其）靛蓝，其 a a大，大， 小，他吸收低频光，反射高频光，因此呈蓝小，他吸收低频光，反射高频光，因此呈蓝紫色。紫色。 2 2）刚果红，其）刚果红，其 a a小，小， 大，他吸收高频光，反射低频光，因此呈大，他吸收高频光，反射低频光，因此呈红色。红色。hE hE （三）宇称（三）宇称),(),(trtrrr （1 1）空间反射变换：空间矢量反向的操作。）空间反射变换：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有： ),(),(trtr 称波函数具有偶宇称

18、；称波函数具有偶宇称；),(),(trtr 称波函数具有奇宇称；称波函数具有奇宇称；),(),(trtr （3 3）如果在空间反射下，如果在空间反射下，),(),(trtr 则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。2.3 2.3 线性谐振子线性谐振子 （一）引言（一）引言 l（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子 l（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子 l（二）线性谐振子（二）线性谐振子 l（1 1）方程的建立）方程的建立 l（2 2）求解）求解 l（3 3）应用标准条件）应用标准条件 l（4 4）厄密多项式）厄密多项式 l（5 5）求归一化系数）求归一化系数 l（6 6）讨

19、论）讨论l（三）实例（三）实例（一）引言（一）引言（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子dxdVF 因因为为 量子力学中的线性谐振量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。场中运动的粒子。 kxxkxdtxd 其其中中0222 在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，受的粒子，受弹性力弹性力F = - kxF = - kx作用，由牛顿第二定律可以作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：写出运动方程为：其解为其解为 x = Asin(x = Asin( t + ) t + )。这种运动称为简。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。谐振动

20、，作这种运动的粒子叫谐振子。若取若取V V0 0 = 0 = 0，即，即平衡位置处于势平衡位置处于势 V = 0 V = 0 点，则点，则kxdxV 所所以以0221Vkx 02221Vx 2 k因因：2221xV（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子l 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动以分解成若干彼此独立的一维简

21、谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。重要的。 例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势V V是二者相对距离是二者相对距离x x的函数，的函数，如图所示。在如图所示。在 x = a x = a 处，处，V V 有一极小值有一极小值V V0 0 。在。在 x = a x = a 附近势可以展开附近势可以展开成泰勒级数：成泰勒级数： 222)(! 21)(! 11)()(axxVaxxVaVxVaxaxaxV(x)0V02220)(!21axxVVax 2

22、0)(21axkV axxVk 22其其中中： 取新坐标原点为取新坐标原点为(a,V(a,V0 0) )，则，则势可表示为标准谐振子势的形式：势可表示为标准谐振子势的形式：221)(kxxV 可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。0)(0 axxVVaV（1 1）方程的建立）方程的建立0)(2120)(2122222222222 xxEdxdxxEdxd 或或：则则方方程程可可改改写写为为：，其其中中令令： x22222222212212xdxdxpH 线性谐振子的线性谐振子的 HamiltonHamil

23、ton算符：算符：定态定态 SchrSchrdinger dinger 方程方程 ：为简单起见，引入无量纲变量为简单起见，引入无量纲变量代替代替x x， Exdd20)(222 其其中中此式是一变系数二阶常微分方程。此式是一变系数二阶常微分方程。（2 2）求通解）求通解0222 dd2/22/122 ecec 所所以以为求解方程，我们先看一下它的渐为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当近解，即当 时波函数时波函数 的行为。在此情况下，的行为。在此情况下， 1 1其中其中 H() H() 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即： l 当

24、当有限时，有限时，H()H()有限；有限； l 当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证() 0() 0。0)1(2 HHH 2/2)()( eH将将()()表达式表达式代入方程得代入方程得 关于关于 待求函数待求函数 H() H() 所满足的方程：所满足的方程：令：渐近形式，我们自然会在无穷远处有的波函数为了使方程2/22220)(exdd2. H()2. H()满足的方程满足的方程此方程称为此方程称为 HermiteHermite 方程。方程。3.3.Hermite Hermite 方程的方程的级数解级数解2220010)1()1(22 kkkkkkkkkkkkkkbkkbHkbH

25、kbH 0)1(2)2)(1(2 kkkkkbkbkkb kkkbH0以级数形式来求解，令：以级数形式来求解，令：kkkkkbHkk )2)(1(220则则：令令kkkkkb )2)(1(20 用用 k k 代替代替 kk变变成成：则则方方程程0)1(2 HHH 由上式可以看出：由上式可以看出： b b0 0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数；为偶数的系数； b b1 1 决定所有角标决定所有角标k k为奇数的系数。为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：线性独立解。可分别令：b b0 0 0, b 0, b1 1=0.

26、 H=0. Heveneven(); ); b b1 1 0, b 0, b0 0=0. H=0. Hoddodd().).kkbkkkb)2)(1(122 即：即： b bk+2k+2(k+2)(k+1)- b(k+2)(k+1)- bk k 2k + b 2k + bk k(-1) = 0 (-1) = 0 从而导出系数从而导出系数 b bk k 的递推公式：的递推公式：0)1(2)2)(1(2 kkkkkbkbkkb 该式对任意该式对任意都成都成立，故立，故同次幂前同次幂前的系数均应为零。的系数均应为零。只含偶次幂项只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项则通解可记为：则通解可记为： H =

27、 cH = co o H Hoddodd + c + ce e H Heveneven = (c = (co o H Hoddodd + c + ce e H Heveneven e) exp- e) exp-2 2/2/2（3 3）用标准条件定解）用标准条件定解(I)=0 (I)=0 exp-exp-2 2/2|/2|=0=0 = 1 = 1 H Heveneven()|()|=0=0 = b = b0 0 H Hoddodd()|()|=0=0 = 0 = 0 皆有限皆有限(II) (II) 需要考虑无穷级数需要考虑无穷级数H()H()的收敛性的收敛性为此考察相邻为此考察相邻 两项之比：两

28、项之比：22222)2)(1(12 kkkkbbkkkkk 考察幂级数考察幂级数expexp2 2 的展开式的收敛性的展开式的收敛性 )!1()!(!2!11exp222422kkkk 比较二级数可知：比较二级数可知： 当当时时， H()H()的的渐近行为与渐近行为与expexp2 2 相同。相同。单值性单值性和和连续性连续性条件自然满足，只剩下第三个条件自然满足，只剩下第三个有限性有限性条件需要进行讨论。条件需要进行讨论。 因为因为H()H()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点， 即势场有跳跃的地方以及即势场有跳跃的地方以及x=

29、0, x x=0, x 或或=0, =0, 。2222222222)1(1)!1()!()!()!1( kkkkkkkkk 相相继继两两项项之之比比：所以，总波函数有如下发散行为：所以，总波函数有如下发散行为： 为了满足波函数有限性要求，幂级数为了满足波函数有限性要求，幂级数 H()H() 必须从某一项截断变必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求成一个多项式。换言之，要求 H()H() 从某一项（比如第从某一项（比如第 n n 项）起项）起 以以后各项的系数均为零，即后各项的系数均为零，即 b bn n 0, b 0, bn+2n+2 = 0. = 0.0)2)(1(122 nnbnnn

30、b 递推关系递推关系结论结论 基于波函数基于波函数 在无穷远处的在无穷远处的 有限性条件导致了有限性条件导致了 能量必须取能量必须取 分立值。分立值。 expexpexpexp)()(2212212221H 212 EE因因为为012,0 nbn所所以以有有：因因为为,2,1 ,0)(21 nnE 于于是是最最后后得得：（4 4）厄密多项式）厄密多项式 从有限性条件得到从有限性条件得到 H(H() )是多项式，是多项式，该多项式称为厄密多项式，记为该多项式称为厄密多项式，记为H Hn n() )，于是，总波函数可表示为：于是，总波函数可表示为：)(exp221 nnnHN 022 nnnnHH

31、H 0)1(2 HHH expexp)1()(22 nnnnddH由上式可以看出，由上式可以看出，H Hn n() ) 的最高次幂是的最高次幂是 n n 其系数是其系数是 2 2n n。归一化常数归一化常数H Hn n() ) 也可写成封闭形式：也可写成封闭形式： = 2n+1 = 2n+1 下面给出前几个厄密多项式具体表达式：下面给出前几个厄密多项式具体表达式： H H0 0=1=1；H H2 2=4=42 2-2 -2 ；H H4 4 = 16 = 164 4-48-482 2+12 +12 H H1 1=2=2；H H3 3=8=83 3-12-12；H H5 5=32=325 5-16

32、0-1603 3+120+120厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系：厄密多项式的递推关系： 022)(2111 nnnnnnHHHnHddH 应应 用用 实实 例例例：已知例：已知 H H0 0 = 1, H = 1, H1 1=2=2，则根据上述递推关系得出：则根据上述递推关系得出： H H2 2 = 2H = 2H1 1-2nH-2nH0 0 = 4 = 42 2-2-2基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x(x) )的递推关系：的递推关系：

33、 )()2)(1()() 12()() 1()()()()()()2)(1()() 12()() 1()()()()(22212112222121211212222xnnxnxnnxxxxxnnxnxnnxxxxxxnnnndxdnnnnndxdnnnnnnnnn （5 5）求归一化常数）求归一化常数 分分 步步 积积 分分该式第一项是一个多项式与该式第一项是一个多项式与 exp-exp-2 2 的的 乘积，当代入上下限乘积，当代入上下限=后，该项为零。后，该项为零。继续分步积分到底继续分步积分到底因为因为H Hn n的最高次项的最高次项 n n的系数是的系数是2 2n n，所以，所以 d d

34、n nH Hn n /d /dn n = 2 = 2n n n! n!。则谐振子波函数为：则谐振子波函数为： 其其中中：)(!2)(2/22xHenxnxnndxHHeNdxnnnnn)()(122 (I)(I)作变量代换，因为作变量代换，因为=x=x， 所以所以d=dxd=dx； (II)(II)应用应用H Hn n() )的封闭形式。的封闭形式。 deHeHnnnnnnddnddNnddnNn)() 1()() 1(21122112 deHnnnddnddNn)() 1(21121 !2 nnnN deHdeHnnnnnnddddnNnddnnN)() 1()() 1(211222 deH

35、nddNnnnnn22)() 1( !2!2) 1(2222ndennNnNnnn （6 6）讨论）讨论 3. 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并是非简并的。值得注意的是，基态能量的。值得注意的是，基态能量 E E0 0=1/2=1/2 0 0，称为，称为零点能零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的相性的表现，能量为零的“静止的静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。波是没有意义的，

36、零点能是量子效应。expexp)1()(22 nnnnddH1. 1. 上式表明，上式表明，H Hn n() )的最高次项是的最高次项是(2)(2)n n。所以。所以, , 当当 n = n = 偶，则厄密多项式只含偶，则厄密多项式只含的偶次项；的偶次项； 当当 n = n = 奇，则厄密多项式只含奇，则厄密多项式只含的奇次项。的奇次项。2. 2. n n具有具有n n宇称宇称 上式描写的谐振子波函数所包含的上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-exp-2 2/2/2是是的偶函数，所以的偶函数，所以n n的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 H Hn n() ) 决定为决定为 n n 宇称。

37、宇称。)(!2)(2/22xHenxnxnnn = 0n = 1n = 24. 4. 波函数波函数 然而，量子情况与此然而，量子情况与此不同不同, ,对于基态，其几率密对于基态，其几率密度是：度是： 0 0() = |() = |0 0()|()|2 2 = N = N0 02 2 exp- exp-2 2 (1) (1)在在= 0= 0处找到粒子处找到粒子的几率最大；的几率最大； (2)(2)在在|1|1处，即在处，即在阱外找到粒子的几率不为阱外找到粒子的几率不为零零, ,与经典情况完全不同。与经典情况完全不同。 以基态为例，在经典以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在情形下，粒子将被限制

38、在| x| 1 | x| VE V0 0 情况情况 区区区区区区IIIaxkIIaxkIxk00000321322221211 因为因为 E 0, E VE 0, E V0 0, , 所以所以 k k1 1 0, 0, k k2 2 0. 0. 上面的方程可改写为：上面的方程可改写为：xikxikxikxikxikxikeCCeeBBeeAAe112211321通解： 上述三个区域的上述三个区域的 SchrSchrdinger dinger 方程可写为：方程可写为：axaxVExEE000003232022121222定态波函数定态波函数1 1,2 2,3 3 分别乘以含时因子分别乘以含时因子

39、 exp-iEtexp-iEt/ / 即可看出：即可看出：式中第一项是沿式中第一项是沿x x正向传播的平面波，第二项是沿正向传播的平面波，第二项是沿x x负向传播的平面波。由于负向传播的平面波。由于在在 x a x a 的的III III 区没有反射波，所以区没有反射波，所以 C=0C=0，于是解为：，于是解为： xikxikxikxikxikCeeBBeeAAe12211321 利用波函数标准条件来定系利用波函数标准条件来定系数。首先数。首先, ,解单值、有限解单值、有限条件满足。考虑连续性条件满足。考虑连续性: :1. 1. 波函数连续波函数连续) 1 () 0 () 0 (:021BBA

40、Ax) 3 () 0( ) 0( :0221121BikBikAikAikx2. 2. 波函数导数连续波函数导数连续)2()()(:12232aikaikaikCeeBBeaaax) 4()( )( :12212232aikaikaikCeikeBikBeikaaax)4()3()2()1(1221221222211aikaikaikaikaikaikCekeBkBekCeeBBeBkBkAkAkBBAA1121121121122)(2)(2)(2)(BkkkBkkkABkkkBkkkA1121121211122/ )(2/ )(2/ )(2/ )(BBkkkkkkkkkkkkAA解出写成矩阵

41、形式CkekkBCkekkBakkiakki2)(122)(122)(2)(2121002/)(02/)(2)(122)(122121CkekkkekkBBakkiakki002/)(02/)(2/ )(2/ )(2/ )(2/ )(2)(122)(121121121211122121CkekkkekkkkkkkkkkkkkkAAakkiakki4. 4. 透射系数和反射系数透射系数和反射系数求解方程组得求解方程组得: :AekkekkakkkiAAekkekkekkCaikaikaikaikaik221221221221222222122121)()(sin)(2)()(4 为了定量描述入射

42、粒子透射势垒的几率和被为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被 势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。I I 透射系数：透射系数： 透射波几率流密度与入射波透射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为透射系数几率流密度之比称为透射系数 D = JD = JD D/J/JI III II 反射系数：反射系数： 反射波几率流密度与入射波反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为反射系数几率流密度之比称为反射系数 R = JR = JR R/J/JI I 物理意义：物理意义：描述贯穿到描述贯穿到 x a x a 的的 IIIIII区中的粒子在单位区中的粒子在

43、单位时间内流过垂时间内流过垂直直 x x方向的单位面积的数目与入射粒子（在方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x 0 x a x a 的的IIIIII区，另一部分则被势垒反射回来。区，另一部分则被势垒反射回来。反射系数为：反射系数为：AekkekkakkkiAAekkekkekkCaikaikaikaikaik221221221221222222122121)()(sin)(2)()(4由于由于（2 2）E VE V0 0 情况情况故令：故令：k k2 2=ik=ik3 3， 其中其中k k3 3=2(V=2(V0 0-E)/ -E)/ 1/21/2。这样把前面公式中的。这样把前面公式中的 k

44、 k2 2 换成换成 ikik3 3 。 并注意到：并注意到：sin iksin ik3 3a = i sinha = i sinh k k3 3a a2321322232132223212321322232123214sinh)(sinh)(4sinh)(4kkakkkakkkRkkakkkkkD 即使即使 E VE V0 0，在一般情况下，透射系数，在一般情况下，透射系数 D D 并不等于零。并不等于零。0 aV(x)xV0入射波入射波+ +反射波反射波透射波透射波因因 k k2 2=2(E-V=2(E-V0 0)/ )/ 1/21/2，当，当 E VE 1a 1时时444)(431331

45、322412321241223212321 akkkkkakekkekkkkD)(2020220233133116EVakakkkkkaeDeDeD 故故4可略可略akakakakakeeeakee3333324122132)()(sinh,则：即势垒既宽又高，于是透射系数透射系数则变为：则变为：41,13133123 akkkkkeak时时，且且当当必必大大于于因因为为粗略估计，认为粗略估计，认为 k k1 1 k k3 3 （相当于（相当于E VE V0 0/2/2）, , 则则 D D0 0 = 4 = 4是一常数。是一常数。下面通过实例来说明透射系数的量级大小。下面通过实例来说明透射系

46、数的量级大小。于是：于是：20020)(16161331VEVEDkkkk 例例1: 1: 入射粒子为电子。入射粒子为电子。设设 E=1eV, VE=1eV, V0 0 = 2eV, = 2eV, a = 2a = 2 10 10-8-8 cm = 2 cm = 2 ， 算得算得 D 0.51D 0.51。若若a=5a=5 10 10-8-8cm = 5cm = 5 ， 则则 D 0.024D 0.024，可见，可见 透射系数迅速减小。透射系数迅速减小。 质子与电子质量比质子与电子质量比 p p/e e 1840 1840。 对于对于a = 2a = 2 则则 D 2 D 2 10 10-38-38。 可见透射系数明显的依赖于可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow Gamow 首先用势垒穿透成功的说明首先用势垒穿透成功的说明 了放射性元素的了放射性元素的衰变现象。衰变现象。例例2: 2: 入射粒子换成质