近世代数复习提纲

1、.近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3） ( ab) 1b 1a 1 ,(a 1 ) 1a ；（4） abacbc ；（5） axbxa 1b ； yabyba 1 。3、元素的阶使 ame成立的最小正整数m 叫做元素 a 的阶，记作 | a |m ；若这样的正整数不存在，则称 a 的阶是无限的，记作| a |。（1） | a | | a 1 | ,| a | | g 1ag | (gG ) 。（2）若 ame，则 | a |m ； | a | m由 ane可得 m | n 。（3）当群 G 是有限群时，aG

2、 ，有 | a |且 | a |G| 。（4） | a | n| ar |n ，其中 d(r ,n) 。dnrn 。证明 设 | ar | | k 。因为 (ar ) d(a n )de ，所以 kd另一方面，因为 (ar ) karke ，所以 n rk ，从而 nrk ，又 ( r ,n ) 1，dddd所以 n k ，故 kn 。dd;.注：1| ab | | a | b |，但若 abba ，且(| a | , | b |) 1，则有（P70.3）。| ab | | a | b |2 |G|a G , | a |；但 a G , | a |G |。例 1令 G aC |n Z ,an1

3、 ，则 G 关于普通乘法作成群。显然， 1是 G 的单位元，所以aG ，有 | a |，但|G|。二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。3、变换群：集合 A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。（1）变换群的单位元是A 的恒等变换。（2） A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。（3）一般地，变换群不是交换群。（4）任一个群都与一个变换群同构。4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。例 2设(123

4、) ,(13)(24) 是 S5 中元素，求。解1234512345123 4 512 345(123)(13)(24)3214 5143 2 5(142)2314 5413 25（1） n 元集合 A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作 Sn 。（2） | Sn |n! 。（3）每个 n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。（4） (i1i 2 L ik ) 1(ik L i2i1) 。（5）任一有限群都与一个置换群同构。5、循环群：若群 G 中存在元素 a ，使得 G(a) an | nZ ，则称 G 是循环群。（1）循环群是交换群（ P61.1）。（2）素数阶

5、群是循环群（ P70.1）。;.（3）循环群的子群是循环群（P65.4）。（4）当 |G |时，G ZG L , a 2 , a 1 , e a0 , a , a2 , L ；当|G|n 时， G ZnG e a0 , a , a2 , L , an 1 。（5） | G | | a |（6）当 |G |时， G 有且仅有两个生成元 a , a 1 ；当 | G| n 时， G 有且仅有 (n) 个生成元，这里 (n) 表示小于 n 且与n 互素的正整数个数。且当(m , n)1 时， am 是 G 的生成元。（7）若 G 与 G 同态，则1 G 也是循环群；2当(a)a 时， G(a) ；3

6、 G 的阶整除 G 的阶。例 3（ P79、 3）三、子群1、定义：设 H 是群 G 的非空子集，若 H 关于 G 的于是也构成群， 则称 H 是 G 的子群，记作 HG 。2、等价条件（ 1）群 G 的非空子集 H 是子群a , bH ，有 ab ,a 1Ha , bH ，有 ab 1H（ 2）群 G 的非空有限子集 H 是子群a , b H ，有 abH 。3、运算（1）若 H1 ,H 2G，则 H1I H 2G （可推广到任意多个情形） 。（2）若 H1,H 2G，则 H1U H2未必是 G 的子群。（3）若 H1,H 2G ，则 H 1H 2 h1 h2 | h1 H 1 , h2 H

7、 2 未必是 G 的子群。（4）若 H1,H 2G，则 H1H2不是 G 的子群。;.4、陪集设 HG ，则 G 的子集 aH ah | hH 叫做 H 的包含 a 的左陪集； G 的子集 Ha ha | hH 叫做 H 的包含 a 的右陪集。（1）一般地， aHHa 。（2） aHbHb 1aH ； HaHbab 1H ； aH ( Ha )HaH 。（3） aH ( Ha )GaH 。（4） aHbH (HaHb )(aH ) I (bH )( Ha ) I ( Hb) 。（5） aH | aG 是 G 的一个分类， Ha | aG 也是 G 的一个分类。即GU aH ，且 ( aH )

8、I (bH )（当 aHbH 时）a G或GU Ha ，且 ( Ha ) I ( Hb)（当 HaHb 时）a G5、指数：群 G 的子群 H 的左陪集（右陪集）个数叫做H 的指数，记作 G : H 。当|G|时，有|G| |H |G:H。6、不变子群设 H 是群 G 的子群，若aG ，都有 aHHa ，则称 H 是 G 的不变子群，记作 HG 。群 G 的子群 H 是不变子群aG ，有 a 1 HaHaG ,hH ，有 a 1haH 。例 4（ P74、 1）例 5（ P74、 3）1? 不变子群的交是不变子群。2? 交换群的子群是不变子群。3? 群 G 的中心 C (G ) aG |xG

9、, xaax 是 G 的不变子群。;.4? 设 H 1 , H 2G 且有一个是不变子群，则H1H 2G 。7、商群设 H G ，令 G H aH | aG ，aH ,bHG H ，定义(aH )(bH )( ab) H则它是 G H 的代数运算，叫做陪集的乘法。 G H 关于陪集的乘法作成群，叫做 G 关于 H 的商群。当|G|时，有|G H |G|。| H |四、群同态设是群 G 到 G 的同态满射，则1、 G 也是群；2、 (e)e；3、 (a1 )(a)1 ；4、 | ( a) | a | ；5、 ker aG |(a)e G ；6、 G kerG (: a ker(a) ；7、 HG

10、( H )G ；8、 HG(H )G ；9、 HG1(H ) G；10、 H G1(H )G 。注：若 H G ，则映射: a aH ( a G ) 是 G 到 G H 的同态满射，叫做自然同态。环论部分一、基本概念1、环的定义;.设 R 是一个非空集合，“”与“。”分别是加法与乘法运算，若（ 1） R 关于“”作成交换群（叫做加群） ；（ 2） R 关于“。”封闭；（ 3）a , b , cR ，有 a o(b oc)(a ob) oc ；（ 4）a , b , cR ，有a o(bc)a obaoc(bc) oab oac oa则称 R 关于“”与“。”作成环。2、基本性质（ 1） a o

11、(b c) a oba oc ， (bc) oa b oa c oa ；（ 2） 0 oa a o0 0 ；（3） (a) oba o( b)(a ob) ；（4） (a) o(b) a ob；（ 5） a o(b1L b n )a ob1 La ob n , (b1 L bn ) oa b1 oa L b n oa ；mnmn（6） (a i ) o( b j )a i ob j ；i1j 1i 1j1（7） a m oa na m n , ( a m )na mn ；（8）当 R 是交换环时，a ,bR ，有(a b)nanC n1an 1b L C nn 1ab n 1b n 。3、环的

12、几种基本类型设 R是环（ 1）交换环： a , bR ，有 ab ba 。例 6（P89.2）（ 2）有单位元环：存在 1R ，使得a R ，有 1a a1a 。（ 3）无零因子环： a , bR ，当 a0 , b 0 时， ab0 。注：无零因子环的特征： 无零因子环 R 中的非零元关于加法的阶， 叫做 R 的特征。;.1 无零因子环 R 的特征，或是 或是素数；2 当无零因子环 R 的元素个数 | R |有限时， R 的特征整除 | R | 。（ 4）整环：有单位元无零因子的交换环。（ 5）除环：有单位元 1( 0) ，且非零元都有逆元。（ 6）域：交换的除环。二、两类特殊的环1、模 n

13、 剩余类环： Z n0 , 1 , 2 , L , n 。（ 1） Z n 是有单位元的交换环，且1 是 Z n 的单位元；（ 2） aZ n ， a0 ，则 a 不是零因子( a ,n)1；（ 3） Z n 无零因子n 是素数；（ 4） aZ n ， a0 ，则 a 不是零因子 a 是可逆元；（ 5） Z n 是域n 是素数。2、多项式环： R x f ( x)an xnLa1 xa0 | an , L , a1 , a0R 。例 7（P109.2）三、理想1、定义：设 U 是环 R 的非空子集，若（ 1） a , bU ，有 a bU ；（ 2） a U ,r R ，有 ar , ra U

14、 。则称 U 是环 R 的理想子环，简称理想。注： 1理想一定是子环，但子环不一定是理想。2 环的中心是子环，但未必是理想。2、运算（ 1）若 U 1 , U 2 是环 R 的理想，则 U 1 I U 2 也是环 R 的理想（可推广到任意多个情形）。（2）若 U1 , U 2 是环 R 的理想，则 U1 UU 2 未必是环 R 的理想。;.（ 3）若 U 1 ,U 2 是环 R 的理想，则 U1U 2 u1u2 | u1U 1 ,u2U 2 也是环 R 的理想。（4）若 U1 , U2 是环 R 的理想，则 U1U2不是环 R 的理想。3、生成理想：设 A 环 R 的一个非空子集， 则 R 的

15、所有包含 A 的理想的交仍是 R 的理想，这个理想叫做由A 的理想，记作 ( A) 。（1） ( A) 是 R 的包含 A 的最小理想。（ 2）当 A a 时，记 ( A) ( a)，叫做由 a 生成的主理想。1当 R 是交换环时， ( a) rana | rR , nZ ；2当 R 是有单位元环时， (a)mxiay i | x i ,y i R ；i 13当 R 是有单位元的交换环环时，(a) ra | rR 。（3） A a1 , a2 , L , an ，记 ( A)( a1 ,a2 , L , an ) 。且有(a1 , a2 , L , an ) (a1) (a2 ) L( an

16、)例 8（ P113.例 3）例 9（ P114.3）4、最大理想：设 U 是环 R 的理想，且 UR 。若包含 U 的环 R 的理想，只有 U 与R ，则称 U 是环 R 的最大理想（极大理想） 。（1）环 R 的理想 U (R) 是最大理想当 R 的理想适合 UR 时，必有U或R。（ 2）环 R 的理想 U (R) 是最大理想商环 R U 只有平凡理想。（ 3）设 R 是有单位元的交换环，则R 的理想 U (R) 是最大理想商环 R U 是域。例 10（P119.1）已知： R abi | a ,bZ 。求证： R (1i ) 是域。;.证明：因为 R 是有单位元的交换环， 所以abi(1i) ，存在 xyiZ (i ) 使得abi( xyi )(1i )( xy)( xy)i所以 ax y , bx y ，由此可见，当 x ,y 奇偶性相同时， a ,b 同为偶数；当 x ,y 一奇一偶时， a , b 同