有限元分析与应用习题课

1、有限元分析与应用有限元分析与应用-习题课习题课21. 线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是如何采线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是如何采用弹性力学问题基本方程？用弹性力学问题基本方程？答：答： (1) 假设单元的位移场模式 eNf (2) 代入到几何方程，得 eB (3) 代入到物理方程，得 eDB (4) 代入到虚功方程或最小势能原理，得到单元刚度方程 eeKF (5) 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程 KF (6) 引入位移边界条件后， K非奇异，解上式得结点位移。 32. 图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格划分如图，试求

2、：网格划分如图，试求：(1) 计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽；计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽；(2) 根据图中结构的边界约束状态，指出那些结点自由度的根据图中结构的边界约束状态，指出那些结点自由度的位移已知并且为何值。位移已知并且为何值。题2 图p87625431912354678910解：解：101d2B4d)(,041uu041vv43. 弹性力学有限元中，平面等参数单元中的弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数等参数”概念是概念是何意思？何意思？ 该单元在跨相邻单元时，该单元在跨相邻单元时，位移场连位移场连续吗？续吗？ 应力场连续吗？应力场连续吗？答：答：在

3、单元中，位移描述的形函数和单元形状描述的形函数是相同的，参数个数相等，称为等参数元。相邻等参元之间，位移是连续的，应力场不连续。54. 回答下列问题：回答下列问题：(1) 弹性力学平面问题弹性力学平面问题4节点等参元，其单元自由度是节点等参元，其单元自由度是多少？多少？单元刚阵元素是单元刚阵元素是多少？多少？答：答：平面问题4节点等参元，其单元自由度是8个； 单元刚阵元素有64个。(2) 弹性力学空间轴对称问题三角形弹性力学空间轴对称问题三角形3节点单元，其单元自节点单元，其单元自由度是由度是多少？多少？单元刚阵元素是单元刚阵元素是多少？多少？答：答：轴对称问题三角形3节点单元，单元自由度是6

4、个；单元刚阵元素有36个。64. 回答下列问题：回答下列问题：答：答：空间问题4节点等参元，其单元自由度是12个；单元刚阵元素有144个。(3) 弹性力学空间问题弹性力学空间问题4节点等参元，其单元自由度是节点等参元，其单元自由度是多少？多少？单元刚阵元素是单元刚阵元素是多少？多少？75. 对于平面、空间实体单元，位移有限元计算结果中，对于平面、空间实体单元，位移有限元计算结果中，位移和应力解结果的精确度是相当吗？如果精度不相位移和应力解结果的精确度是相当吗？如果精度不相当，哪一个解较精确？当，哪一个解较精确？答：答：对于平面、空间实体单元，位移有限元计算结果中：位移解的精度较好。6. 判断判

5、断（ ）1. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 。 （ ）2. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型。（ ）3. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 。 （ ）4. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚度来作模型化处理的话会得到一样的答案 。 6. 判断判断（ ）5. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好。 （ ）6. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度。 （ ）7. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 。（ ）8. 一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 7. 填空填空1平面应力

6、问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是： ，变形发生在板面内；后者受力特点是： 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。2平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： ，三个独立的应变分量： ，但对应的弹性体几何形状前者为 ，后者为 。3位移模式需反映 ，反映 ，满足 。4单元刚度矩阵的特点有： ， ，还可按节点分块。5轴对称问题单元形状为： ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 问题处理。平行于板面且沿厚度均布载荷作用平行于板面且沿厚度均布载荷作用单元边界上位移连续单元边界上位移连续垂直于板面垂直于板面x x，y y，xyxyx x，y y

7、，xyxy薄板薄板长柱体长柱体刚体位移刚体位移常应变常应变对称性对称性奇异性奇异性二维二维三角形或四边形截面的空间环形单元三角形或四边形截面的空间环形单元7. 填空填空平衡方程、物理方程、几何方程平衡方程、物理方程、几何方程6等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算载荷的积分运算。8一个空间块体单元的节点有 个节点位移： 。 9变形体基本变量有 ; 基本方程有 。

8、10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元 6等参数单元指的是： 。等参数单元优点是： 。7有限单元法首先求出的解是 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 eD B7有限单元法首先求出的解是 节点位移节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为u，v，w3位移、应变、应力位移、应变、应力10. 实现有限元分析标准化和规范化的载体就是 。单元单元8. 选择选择（1）等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用）等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用_ _的结的结点和点和_的插值函数。的插值函数。（A）不相同，不相同）不相同，不相同（B）相同，相同）相同，相同（C）相同，不相同）相同，不相同（D）不

9、相同，相同）不相同，相同B8. 选择选择（2）有限元位移模式中，广义坐标的个数应与）有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_相等。相等。（A）单元结点个数）单元结点个数（B）单元结点自由度数）单元结点自由度数 （C）场变量个数）场变量个数B8. 选择选择（3）如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是）如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是完备性是指试探函数必须至少是_完全多项式。完全多项式。（A）m-1次次 （B）m次次 （C）2m-1次次B8. 选择选择（4）与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成）与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化

10、成了了_形式，因此，不用进行回代计算。形式，因此，不用进行回代计算。（A）上三角矩阵）上三角矩阵（B）下三角矩阵）下三角矩阵 （C）对角矩阵）对角矩阵 C8. 选择选择（5）对分析物体划分好单元后，）对分析物体划分好单元后，_会对刚度矩阵的半会对刚度矩阵的半带宽产生影响。带宽产生影响。（A）单元编号）单元编号（B）单元组集次序）单元组集次序（C）结点编号）结点编号C8. 选择选择（6）n个积分点的高斯积分的精度可达到个积分点的高斯积分的精度可达到_阶。阶。（A）n-1 （B）n （C）2n-1（D）2nC8. 选择选择（7）引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵的）引入位移边界条件是为了

11、消除有限元整体刚度矩阵的_。（A）对称性）对称性 （B）稀疏性）稀疏性 （C）奇异性）奇异性C8. 选择选择（8）在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序）在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为列作为权函数，这类方法称为_。（A）配点法）配点法 （B）子域法）子域法 （C）伽辽金法）伽辽金法C8. 选择选择（9）采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一）采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般般_。（A）近似解总小于精确解）近似解总小于精确解 （B）近似解总大于精确解）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡）近似解在精确解上下震荡

12、（D）没有规律）没有规律C8. 选择选择（10）对称荷载在对称面上引起的）对称荷载在对称面上引起的_分量为零。分量为零。（A）对称应力）对称应力 （B）反对称应力）反对称应力 （C）对称位移）对称位移 （D）反对称位移）反对称位移D9. 简答简答（1）简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。）简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。（a）对称性；）对称性；（b）奇异性；）奇异性；（c）主对角元恒正；）主对角元恒正；（d）稀疏性；）稀疏性；（e）非零元素带状分布）非零元素带状分布9. 简答简答（2）简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般）简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。原则。 一

13、般原则有一般原则有:(a) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；(b) 选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；(c) 多项式的选取应由低阶到高阶；多项式的选取应由低阶到高阶；(d) 尽量选取完全多项式以提高单元的精度尽量选取完全多项式以提高单元的精度. 9. 简答简答（3）有限元法分析的目的是什么？）有限元法分析的目的是什么？ 有限元方法分析的目的：有限元方法分析的目的：(a) 对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和物理方

14、程。立平衡方程、几何方程和物理方程。(b) 针对具有任意复杂几何形状的变形体，完整得获取在复杂针对具有任意复杂几何形状的变形体，完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。外力作用下它内部的准确力学信息。(c) 力学分析的基础上，对设计对象进行强度力学分析的基础上，对设计对象进行强度(strength)、刚度、刚度（stiffness）评判，修改、优化参数。）评判，修改、优化参数。 9. 简答简答（4）有限单元法分析步骤）有限单元法分析步骤. (a) 结构的离散化结构的离散化(b) 选择位移模式选择位移模式(c) 分析单元的力学特性分析单元的力学特性(d) 集合所有单元平衡方程，得到整体结

15、构的平衡方程集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程(e) 由平衡方程求解未知节点位移由平衡方程求解未知节点位移 (f) 单元应变和应力的计算单元应变和应力的计算9. 简答简答（5）简述有限单元法的收敛性准则。）简述有限单元法的收敛性准则。 (a) 完备性要求完备性要求 如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，阶，则有限元解收敛性条件之一是单元位移函数至少是则有限元解收敛性条件之一是单元位移函数至少是m阶完阶完全多项式。全多项式。(b) 协调性要求协调性要求 如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是如果在能量泛函中所出现的位移

16、函数的最高阶导数是m阶，阶，则位移函数在单元边界界面上必须具有直到则位移函数在单元边界界面上必须具有直到m-1解的连续解的连续导数，即导数，即Cm-1连续性。连续性。9. 简答简答（6）考虑下列三种改善应力结果的方法（考虑下列三种改善应力结果的方法（a）总体应力磨）总体应力磨平、（平、（b）单元应力磨平和（）单元应力磨平和（c）分片应力磨平，请分别将）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高它们按计算精度（高低）和计算速度（快低）和计算速度（快慢）进行排序。慢）进行排序。计算精度计算精度（a）（c）（b）计算速度计算速度（b）（c）（a）9. 简答简答（a）总体应力磨平）总体应力磨平10. 计

17、算计算如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E=1，泊松比v=0；单元的边长a=1及结点编号见下图所示。试求：(1) 形函数矩阵N ；(2) 应变矩阵B和应力矩阵S；(3) 单元刚度矩阵Ke。123aa10. 计算计算解：解：设右图所示的各点坐标为点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）于是，可得单元的面积为 12A 2a，及)(21)(21)(21333322221111ycxbaANycxbaANycxbaAN123aa23132113311xxcyybyxyxa31213221122xxcyybyxyxa12321332233xxcyybyxyxaa1=0a2=0a3

18、=0b1=ab2=0b3=-ac2=ac3=0c1=-a10. 计算计算解：解：设右图所示的各点坐标为点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）于是，可得单元的面积为 12A 2a，及)(21)(21)(21333322221111ycxbaANycxbaANycxbaAN123aa0y)ax(a2A1Nay)0 x(02A1Nay)ax(02A1N32110. 计算计算解：解：设图1所示的各点坐标为点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）于是，可得单元的面积为 12A 2a，及123123 NNNNIIINNN（1）形函数N为123aa10. 计算计算解：解：123123 NNNN

19、IIINNN（1）形函数N为123aa（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为LNB xNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxN33221132132100000010. 计算计算解：解：123123 NNNNIIINNN（1）形函数N为123aa（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为LNBa00aaa00a0a00a000aa1210. 计算计算解：解：123123 NNNNIIINNN（1）形函数N为123aa（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为DBS xNyNxNyNxNyNyN0yN0yN00 xN0 xN0 xN210001011E332211321321210. 计算计算解：

20、解：123123 NNNNIIINNN（1）形函数N为123aa（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为DBS 2a002a2a2a00a0a00a000aaEa00aaa00a0a00a000aa12100010001E2210. 计算计算解：解：123aa（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为DBS 2a002a2a2a00a0a00a000aaE2（1）形函数N为（3） 单元刚度矩阵KetAtATTSBDBBKe10. 计算计算解：解：123aa（3） 单元刚度矩阵Ke1001110200020020201001111021311201134EttA2a002a2a2a00a0a00a00

21、0aaEa00aaa00a0a00a000aa1tAtA2T2TTSBDBBKe11. 计算计算11. 计算计算11. 计算计算解：解：jmmmmiiiijjj1N /m21N /m124563（1）根据对称性，计算模型如右图所示。（2）每个单元的合理合理局部编号，如右图所示。所谓“合理”即使半带宽B最小）12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（1）什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？答：平面应力问题是指薄板受平行于板面且沿厚度均布载荷作用，只有xy面上三个应力分量x，y，xy非零。平面应变问题是指长柱体受平行于横截面且沿长度均布载荷作用，只有xy面上三个应变分量x，y，xy非零。

22、12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（2）单元剖分时应注意哪些问题？答：规模适当、单元形状尽量接近正多边形、不同材料部分划分在不同单元、不同厚度或不同截面划分在不同单元、集中力作用点及分布载荷密度变化处设置节点、应力集中区域单元划分密度要大、疏密过渡要平缓、希望了解某处位移此处设置节点、边界点设置节点。12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（3）什么是位移模式？位移模式应满足哪些条件？答：位移模式是在单元范围内的位移函数，是坐标的函数。位移模式通常应满足a）反映刚体位移；b）反映常变形；c）单元边界上位移连续，三个条件。12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（4）什么是节点

23、力？什么是节点载荷？ 答：节点力是单元给节点的力或节点给单元的力，等于单元的弹性力；节点载荷是外界作用在弹性体节点上的力。 12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（5）什么是单元分析？说说单元分析的大致过程。 答：单元分析就是寻求单元节点力与节点位移之间的关系。单元分析的大致过程：设定位移模式即用节点位移表达单元内任意一点位移、建立应变与位移之间的几何方程、建立应力与应变之间的物理关系、由虚功原理建立节点力与单元内任意一点应力之间的平衡关系，从而得到单元刚度方程。12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（6）单元刚度矩阵有哪些特点？说说它们的物理意义。 答：单元刚度矩阵具有对称性、奇

24、异性，可按节点分块。对称性反映了功的互等关系功的互等关系，奇异性说明单元在无约束情况下可以发生刚体位移，由于每个节点具有相同的自由度，因此单元刚度矩阵可按节点分成若干相似的子块。功互等定理功互等定理 对于线弹性体，作用在同一构件上第一组力对于线弹性体，作用在同一构件上第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，一组力引起的位移上所做的功， 12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（7）如何引入约束条件？答：引入约束条件：a）对角元改1法，将刚度矩阵中有位移约束的自由度对应的行和列对角元改为1，其它元素改

25、为0，载荷向量中对应元素置为已知位移值，其它载荷元素减去已知位移值与该行对应列刚度系数之积。b）乘大数法，将刚度矩阵中有位移约束的自由度对应的行和列对角元乘以一个非常大的数，载荷向量中对应元素改为该大数乘以对角元刚度系数再乘以已知位移值。c）降阶法，将整体方程组中有位移约束的自由度对应的行和列删除，得到一组降阶的修正方程，一般适用于手工计算。 12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（8）平面问题中对称边界条件是什么？答：平面问题中对称边界条件：对称轴上节点垂直于对称轴方向的位移为零。用有限元程序计算分析一结构的强度须提供哪些数据？a）总体信息：问题类型，单元类型，单位制等；b）几何信息：

26、节点坐标，单元节点组成，板厚度，梁截面等；c）材料信息：弹性模量，泊松比，密度等；d）载荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布体力等；e）约束信息：对称约束，反对称约束，固定约束等。 12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（9）有限元分析的大致步骤是什么？ 答：首先进行结构离散化结构离散化，将无限个自由度的弹性体用有限个自由度的离散结构模拟，再进行单元分析单元分析，即找出单元节点力与节点位移之间的关系，最后进行整体分析整体分析，即组集总刚、引入约束、形成整体载荷向量、方程组求解。解出节点位移，再求单元应力等。12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（10）什么是轴对称问题？什么是空

27、间问题？它们的节点有哪几个自由度？答：轴对称问题是指几何结构、所受载荷和约束都关于同一轴对称的情况，可作为二维问题处理。空间问题指结构几何形状不属于杆、板、壳、轴对称等特殊情况的一般块体，由空间块单元模拟。轴对称问题节点两个自由度：径向、轴向位移，空间问题节点三个自由度：x、y、z三方向平移。 12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（11）轴对称单元与平面单元有哪些区别？答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（12）已知几何矩阵B和弹性矩阵D，推导轴对称单元的刚度矩阵。 答： , , , eeeeefNBDFK2 eTKBD B rdrdz12. 一些概念及术语理解一些概念及术语理解（13）能给出解析式的解就是精确解，只能以数值方式求得解都是近似解。这种说法对不对？为什么？答：不一定应用解析法时，往往有很多假设条件，将很多工况理