关注几何特征,优化解几运算

1、南海中学 金莹引言：引言： 建立平面直角坐标系，用代数的方法来研究几何问题建立平面直角坐标系，用代数的方法来研究几何问题是学习解析几何的核心内容。然而在实际教学中发现，是学习解析几何的核心内容。然而在实际教学中发现，学生对上述理念容易接受，但在具体求解过程中常常学生对上述理念容易接受，但在具体求解过程中常常陷入陷入“找到了路找到了路”，却，却“走不出路走不出路”的困境。究其原因，的困境。究其原因，一方面解析几何试题的解答需要有较强的数形结合思想一方面解析几何试题的解答需要有较强的数形结合思想和逻辑推理能力；另一方面对运算能力要求也很高，往和逻辑推理能力；另一方面对运算能力要求也很高，往往需要选

2、择合理的运算途径和运用一定的运算技能来简往需要选择合理的运算途径和运用一定的运算技能来简化计算。化计算。学习解析几何应该将学习解析几何应该将“代数方法代数方法”和和“几何特征几何特征”结合结合起来，起来，“以形助数、以数辅形以形助数、以数辅形”。所以，今天同学们就。所以，今天同学们就来跟我一起走进解析几何的几何世界，用你敏锐的眼光来跟我一起走进解析几何的几何世界，用你敏锐的眼光去捕捉它的几何特征，找到解题的好方法。去捕捉它的几何特征，找到解题的好方法。一、智慧锦囊常见图形的几何特征：（展开你的联想）（1）三角形：角平分线一、智慧锦囊常见图形的几何特征：（展开你的联想）（1）三角形：中线直角三角

3、形：勾股定理、射影定理、特殊角的三角值（2）四边形：）四边形：矩形（对角线相等）；菱形（对角线垂直）矩形（对角线相等）；菱形（对角线垂直）（3）圆：）圆：轴（中心）对称、直径所对的圆周角是直角、轴（中心）对称、直径所对的圆周角是直角、垂径定理、相交弦定理等。垂径定理、相交弦定理等。【垂径定理垂径定理：垂直于：垂直于弦弦的直径的直径平分这条弦，并且平分弦所对的平分这条弦，并且平分弦所对的弧弧。】二、真题回放二、真题回放三、典例剖析小题小做，从特殊位置入手！对吗？如果是一般情形，面积是否大于对吗？如果是一般情形，面积是否大于4 4？三、典例剖析小结：先表示出弦长小结：先表示出弦长AC，BD，作出弦

4、心距，作出弦心距12,d d 后，抓住矩形这个几何图形，对角线为定值，后，抓住矩形这个几何图形，对角线为定值， 巧妙利用基本不等式求最值巧妙利用基本不等式求最值。当且仅当两条当且仅当两条 相互垂直的弦相等时，四边形面积最大。相互垂直的弦相等时，四边形面积最大。三、典例剖析本题中的几何特征是怎样挖掘出来的？本题中的几何特征是怎样挖掘出来的？用什么方法求面积的最大值？用什么方法求面积的最大值？几何解法： 换个角度看问题，这个三角形是等腰三角形，腰长始终等于圆的半径2，变化的是角度AOC， 解题心得：解题心得：当条件发生变化时，方法也会跟着变。当条件发生变化时，方法也会跟着变。不同的问题情境需要我们

5、以敏锐的眼光去捕捉题目中不同的问题情境需要我们以敏锐的眼光去捕捉题目中蕴含的几何特征，才能蕴含的几何特征，才能“以形助数以形助数”，“优化运算优化运算”。下面的两道解答题又该怎样破解呢？另解：有学生受到四边形那题的启发，还是用基本不等式另解：有学生受到四边形那题的启发，还是用基本不等式求面积的最值。解法如下：求面积的最值。解法如下：画板小结：这两题都是以圆为背景，利用条件中的几何特征为解题突破口，以形助数，巧妙实现解法的优化。那么，你能总结一下刚才用到的几何特征吗？垂直平分线， 垂径定理， 直径所对的角90，结合抛物线定义， 特殊角30（求斜率）、 相似比。 以上的几道题都彰显了几何解法的优越性，而解析几何以上的几道题都彰显了几何解法的优越性，而解析几何的本质是用代数方法研究几何问题。所以，数与形是相辅的本质是用代数方法研究几何问题。所以，数与形是相辅相成的。有些具有几何特征的问题，则需要用代数方法去相成的。有些具有几何特征的问题，则需要用代数方法去解决。解决。总结： 本节课通过几道高考题，抛砖引玉，说明在解析几何的求解中要适度关注几何特征，可以起到优化运算，巧妙解题的效果。借用华罗庚先生的一首诗送给同学们！数与形，本是相倚依，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；焉能分作两边飞；数无形时少直觉，数无形时少直觉，