化工流体力学 第三章

1、第三章第三章 黏性流体力学黏性流体力学 本章要点：本章要点： 1. 黏性流体的运动方程及边界条件与初始条件（运动方程的基黏性流体的运动方程及边界条件与初始条件（运动方程的基本性质和求解方法）本性质和求解方法） 2.低雷诺数流理论低雷诺数流理论 3.层流稳定性及经典湍流理论层流稳定性及经典湍流理论 4.高雷诺数流，边界层理论高雷诺数流，边界层理论 5.典型黏性流体运动（绕流、管流、射流及尾流）典型黏性流体运动（绕流、管流、射流及尾流）概概 述述 前面所述理想流体，作为真实流体的近似模型，在解决阻力、能耗及扩散等问题是并不适用，对于这些问题，必须考虑流体的黏性。解决问题思路：两种方法-（1）建立运

2、动基本方程-作出合理简化-求得速度分布进而计算 其他量。 （2）所研究问题进行物理分析-适当模型简化-建立数学方程。例如：对于非等温流动，考虑能量方程再结合初始条件和边界条件就可以确定系统中温度、速度、浓度随位置及时间的变化。相应的，对于有化学反应时，考虑化学反应的速率方程再结合初始条件和边界条件就可以求解。3.1 黏性流体的运动方程及其性质与求解3.1.1 运动方程的建立 本节主要是在考虑黏性对运动的影响作用下，黏性流体的运动方程即奈维-斯托克斯方程的建立。以应力表示的运动方程 下图为一微元控制体，如图所示，微元体的应力状态由9个应力分量所决定，三个为法向应力向量，六个为切向应力向量。其中，

3、六个切应力有下面的关系式：xzzxzyyzxyyx微元体的质量和加速度的乘积等于作用在微元体上的外力之和，可以得到以应力表示的运动方程。体积力：dxdydzm，单位质量流体上体积力在坐标轴方向的分量为X、Y、Z。将作用在X方向的所有法向力及切向力相加，得：dydxdzzdzxdxdzdyydyydydzdxxdxxGzxzxzxzxyxyxyxyxxxxxxxxxx222222简化上式可得：dxdydzzyxGzxyxxxx同理，可得出：；dxdydzzyxGzyyyxyydxdydzzyxGzzyzxzz将上三式及体积力的表达公式带入式Fdtdumma中，简化可得：XzyxDtDuzxyxx

4、xx体积力项XzyxDtDuzxyxxxZzyxDtDuzzyzxzz 上面推出的三个式子就是以应力表示的黏性流体的运动方程，它们对任何黏性流体，任何运动状态都是适用的但是，这组方程不封闭，即未知量和方程数不相等，就还需进一步考虑应力和应变率之间的关系，补足方程。广义牛顿定理 为了使上面所推的方程组封闭，就需要补充新的方程，可以考虑流体的应力和应变率（变形率）之间的关系式即本构方程。牛顿流体做一维运动时，其应力和应变率之间有如下关系：dyduxyx 为了导出剪切应力、法向应力和应变率之间关系，我们做出如下假定：静止时应力各向同性；流体中一点的应力仅仅与瞬时变形率有关；应力与应变有线性关系；流体

5、为不可压缩。当流体作一维运动时剪切应力与剪切变形率的关系为：.2yxyxyuxuxyxy21.yuzuzyyz21.zuxuxzzx21.根据剪切应力与剪切速率的关系及上三式可以将牛顿定律推广到一般情况，即：xuyuyxyxxyxuzuzxzxxzyuzuzyzyyz上三式即为一般情况下剪切应力与剪切变形率的关系式。法向应力与应变率的关系如下：xupxxx2yupyyy2zupzzz2剪切应力与剪切变形率的关系式以及法向应力与应变率的关系式即为牛顿流体的本构方程。黏性流体的运动方程-奈维-斯托克斯方程将本构方程带入黏性流体的运动方程中，考虑加速度表达式，引用不可压缩流体的连续性方程，可得：Xz

6、uyuxuxpzuuyuuxuutuDtDuxxxxzxyxxxx222222ZzuyuxuzpzuuyuuxuutuDtDuzzzzzzyzxzz222222YzuyuxuypzuuyuuxuutuDtDuyyyzzyyyxyy222222上述方程即为奈维-斯托克斯方程，简称N-S方程，是牛顿第二定律在黏性流体运动时的具体表达式。左端为流体微元运动的加速度与质量的乘积，右端为作用于其上的体积力与表面力。3.1.2 运动方程的定解条件 要确定某一特定情况下运动的速度、压力的变化规律，我们需要对方程给出初始条件和边界条件，即方程的定解条件。初始条件 流动是非定常，则必须要给出初始条件，对不可压缩

7、流动，要求给定:zyxftzyxux,10zyxftzyxuy,20zyxftzyxp,10zyxftzyxuz,30 式中，f1、 f2、 f3、 f4都是t0时刻的已知函数边界条件 边界条件决定所求函数在流动边界上的值，不同的问题，其边界条件也不相同，分为三种：1. 流体/固体壁面：在静止的固体表面上，流体的速度为零，即：u=0，是无滑移条件，运动的连续性条件。当壁面运动时，流体速度与壁面速度相等。2. 非固定相界面：指两种互不相溶的液体或汽液相。速度应满足如下条件：切向分速度连续；法向分速度为零；应力分量连续。3.1.3 黏性流体运动的性质黏性流体运动的基本性质有三种：运动的有旋性；涡旋

8、的扩散性；机械能的耗散性3.1.4 N-S运动方程的求解 黏性运动方程组中有四个未知数，三个速度分量ux、uy、uz及压力p，它们是一些独立变量x、y、z、t以及p、g等的函数。由于这组方程中包含有未知数的乘积，因此方程为非线性的。在数学上只能在特定情况下求解，下面分别介绍：1. 精确解 忽略变位加速度的非线性项而求得的线性解，常见的流动类型有库特流、管流、驻点流和旋转流等。 归纳出的利用奈维-斯托克斯方程解决问题的步骤如下：1、选择适当的坐标系；2、作出合理简化；3、删去N-S方程中的可以忽略的项；4-给出合理边界条件；5、求解方程；6、所求结果与实验或者观测值进行比较。2. 近似解 为解决

9、更多的工程实际问题，发展了许多近似解法，如：摄动法、润滑近似、准定常近似等，其中，对N-S方程最为重要的近似处理是依照雷诺数的大小，分成低雷诺数流（Re1）近似和高雷诺数（Re1）近似。3. 数值解 目前，随着高速数字电子计算机的广泛应用，流体力学中的一个重要分支-计算流体力学（CFD）日益发展。应用最广泛的数值解法为有限差分和有限元法。3.2 低雷诺数流理论N-S方程近似 3.1节建立了黏性不可压缩流体的运动方程，分析了求解途径，无论哪一种求解方法，首先应该考虑雷诺数的大小，因为雷诺数代表运动中粘性力和惯性力的相对大小，决定着流动的基本特征。 雷诺数很小（Re1）的情况称为Stokes流，壁

10、面附件的惯性力可以忽略。3.2.1 Stokes流基本方程组运动的雷诺数很小时，惯性项可以忽略，亦即没有体积力时，非线性项为0，Stokes流方程组可以由N-S方程组变化而来，如下所示：0/DtDu222222zuyuxuxpxxx222222zuyuxuzpzzz222222zuyuxuypyyy不可压缩流体连续性方程可写为：0zuyuxuzyx 将Stokes流方程组分别对x、y、z求导，然后相加，根据不可压缩流体连续性方程，可得：0222222222222222222222222222zuyuxuzyxzuyuxuzzuyuxuyzuyuxuxzpypxpzyxzzzyyyxxx则由上式

11、可得到：0222222zpypxp此方程称为拉普拉斯方程。写成向量形式：02 p 上式表明，低雷诺数运动时的压力场满足势流方程，压力是势函数。 对于二维流动，引进流函数，将Stokes流方程组前两项分别对y和x求导，相减，消去压力项，可得到：2222222222222222222222220yxyxyxyxxyxxxyyyxy上式可推得：022222yx写成向量形式：0422上式表明，流函数是双调和函数。3.2.2 绕球运动，Stokes解 流体绕过圆球的流动是空间问题，是轴对称流动因而只要确定流体在一个轴对称平面内的流动过程，问题就可得到解决。 如下图所示，选用球坐标系，由于流体是轴对称流动

12、，对于角是对称的，来流方向沿=0轴，则0, 0u，连续性方程变为：0sinsin1122ururrrr引入流函数：rrurursin1,sin12流函数在球面坐标系下所满足的方程可写为：0sin1sin2222rr应满足的边界条件：r=a，ur=0；在球面上：u=0在远处，速度应等于来流速度，即：sincos,UuUurr所以，r时，流函数为：22sin21rU根据上述条件可以推得流函数（r，）所满足的方程的解有如下形式：2sin)(rf将上式带入流函数方程，得到： 022222222rfrdrdrdrd由上方程可知，这是一个线性齐次四阶常微分方程，我们取 nCrrf代入上式，可求得n=-1,

13、1,2,4,于是，函数f (r)就变为： 42DrCrBrrArf 为了使方程22sin21rU得到满足，D必须为零，C必须为U212sin)(rf 42DrCrBrrArf由以及上述所推，流函数变为：和22sin21,rUBrrAr由上式可知，对平面=/2是对称的。由上式可以推倒前面所述的两个流函数速度分量，分别为：sinsin1cos22sin1332rBrAUrrurBrAUrur由前面所述边界条件，可以得到：aUBaUA43,413因此流函数为：32221231sin21rararU那么速度分布也可求得，分别为：sin41431cos2123133raraUuraraUur3.2.3

14、Oseen流动近似 在远离球体的流场，流体速度与来流速度已相差不大，将N-S方程中的惯性项作近似处理，保留惯性项的主要部分，获得全流场一致成立的解。Oseen阻力公式：Re1631Re24Re8316DCaUF3.2.4 颗粒横向漂移 层流圆管流动时，中性悬浮的小球会缓慢地横向漂移，由于惯性效应所致的横向力所引起的。 Ho与Leal对二维流动中流体惯性产生的圆球所受横向力进行研究，结果表明，横向力 与之比随位置变化，如下图所示，图中实线为简单剪切流，横向力指向平衡位置s=0.5；图中虚线为二维泊谡流，平衡位置则为s=0.2和s=0.8LF22kaum3.3 高雷诺数流理论（层流边界层理论）N-

15、S方程近似 普朗特提出一个重大假定：在高雷诺数下，黏性影响仅限于固体壁附件的薄层中，即边界层中，在边界层以外，流体可以看成是理想的，阻力问题则与此边界层有关。边界层理论是黏性流体力学中一个极为重要的分支，本节阐述平面，曲面上边界层发展的基本现象，建立边界层方程及其计算。3.3.1 高雷诺数下平板绕流边界层 流体绕物体流动时，由于黏性，与静止表明接触的流体无滑移，运动速度为零，在高雷诺数下这种黏性影响仅限于很薄的一层，即边界层。流体沿壁面的流动可以划分为两个区域：紧贴壁面的边界层，在边界层内，必须用黏性流体运动方程来描述运动，运动是有旋的；边界层以外的无界区域，通常称为外流，可用理想流体概念，作

16、为无旋运动处理。 取“平板”作为例子，来讨论边界层。远离平板前缘的上游，来流速度均匀，流体一经与固体表面接触，速度变为零，沿表面外法线速度逐渐增加至垂直距离处，流速接近来流速度，此称为边界层厚度。在板的前缘边界层厚度为零，离开前缘，边界层开始形成并发展。 随着边界层厚度的增加，经过一段距离后，运动状态由层流变为湍流，进一步形成充分发展的湍流区。 对于平板上边界层，从层流向湍流的过渡发生在： 式中，x为离开前缘距离。 如果雷诺数中特征长度取边界层厚度，即 ，则临界值约为4000。 边界层的厚度与雷诺数的平方根成反比： 对平板做详细计算，可得到其系数为：65103102RevxUvURellRe1

17、llRe0 . 53.3.2 曲面上的边界层，分离现象 对沿平面的流动，边界层以外，流动是均匀的，沿流动方向无速度也无压力的变化。但是如果通道截面积发生变化，则外流的速度和压力沿流动方向均会发生变化，就引起了边界层分离这一现象。 如图所示，为绕过弯曲表面的边界层，其具有压力梯度的边界层，在A点以前，流动质点不断加速，即： ，在A点以后减速，即： ，因此，流体趋向A点时，压力减低， ，通过A点之后，压力增加，即： 。一般来说沿流动方向压力升高时，边界层增长较无压力时快，沿流动方向压力降低时，边界层增长较慢。0dxdux0dxdux0dxdp0dxdp 边界层分离：分离过程如下图所示，虚线表示绕过

18、曲面时的边界层厚度，从图中可以看出，紧靠壁面处出现速度为零的区域，在3处有 ，在它的下游4处，壁面附件的流体运动反向， 为负值，外缘依然向前流动，故在4点处出现拐点，除了壁面，4点处速度也为0。分离点定义为：紧靠边壁的边界层中前进和回流之间的极限，即图中3点处：0yuxyux00yxyu 图中虚线345是分离边界层的边缘，它是不稳定的，任何微小扰动都可造成其破裂，发展成涡旋。逆压梯度及壁面附件的黏性摩擦是引起边界层分离的两个必要因素，而能否发生分离，取决于压力梯度与剪切应力梯度相比是否足够大，二者之比为：当 约为1012时，将会发生分离，一些典型分离现象见于下图dxdUv23.3.3 边界层方

19、程及其求解 前面讲述了边界层理论，本节主要讨论边界层的解法，即建立边界层中流体运动的微分方程。 边界层方程：边界层方程式雷诺数趋于无穷时黏性流体运动方程的极限形式，普朗特利用边界层很薄的特征，忽略N-S方程中的高阶小量，导出了边界层微分方程。（1）量级比较： 假定边界层是沿x轴方向的直线边界，流体沿边界流动形成边界层，其厚度为。忽略体积力时，粘性流体运动方程有如下形式：22221yuxuvxpyuuxuutuxxxyxxx22221yuxuvypyuuxuutuyyyyyxy0yuxuyx连续性方程： 上述方程中，变量y限制在边界层之内，y的数值与同一量级，即y，在壁上，ux=0；在边界层外缘

20、ux具有U的量级，此处U是流动特征速度（来流速度），当y由零变到时，ux由零变到U，可以得到： ，在边界层内就有：同理，可以得到： ，由连续性方程可得： ，所以： ，即：由于 ，故得：在壁面上uy=0，根据边界层内uy的量级，可得：Uyux222Uyux222lUxuxlUxuxyuxuyxyuxuyxlUyuyyyydyyuu0lUdylUuyy0lUyulUxulUxuyyy;223222 比较黏性流体运动方程中各项的量级，因为 很小，这一项可以忽略，那么黏性流体运动方程的第一个方程就变为： 在边界层内，黏性力与惯性力有相同的量级，因而二者之比： 应当为1的量级，即： 由此得出：22xux

21、221yuvyPyuuxuutuxxyxxxlU2lU22U22222Re:llvUlvlUUvlU1Re2lRe1l 在分析第二个方程，很多项都是小量，可以忽略，故第二个方程简化为：（2）边界层方程：经过量级比较，黏性流体运动方程只留下两个，有两个未知数ux和uy，假定压力已经预先确定，那么非定常情况下边界层方程组为：定常运动的边界层方程写为：0yp0122yuxuyuvxpyuuxuutuyxxxyxxx0122yuxuyuvdxdpyuuxuuyxxxyxx（3）边界条件：边界层方程的边界条件如下： 在物体表面上：y=0，ux=uy=0 在边界层外缘：y=，ux=U 在一定边界条件下，应

22、用适当的方法解边界层方程，得出ux (x, y)、uy (x, y)和p (x, y)，在按牛顿摩擦定律，就可得出边壁上的剪切应力及摩擦阻力。3.4 湍流运动的基本方程与经典湍流理论 理解湍流包括两个方面：意识湍流起源，即湍流是怎样发生的，二是湍流发生后的规律，尤其注重湍流状态下的阻力定律、速度分布、湍流引起的混合、分散及其对传热、传质和化学反应的影响。3.4.1 层流稳定性与湍流起源 层流向湍流的转变被认为是层流不稳定的结果，并在这基础上形成了最初的流动稳定性理论。但是，我们要知道的是，层流状态失稳并不一定是湍流情况的发生。 不稳定性的发展与速度分布类型有密切关系，下图给出了几种速度分布类型

23、，对于不同的流动现象，将在不同的临界Re数时发生状态转变。不同的流场有不同的临界值，比如：对于射流、圆射流Red300为层流，平面射流Red=3050；固定床层流存在于Re10，等。 湍流开始发生在壁面附近的很小区域内，然后迅速扩散到整个管截面，形成一小段湍流区，称为湍流塞。当一个湍流塞的前边界与另一个湍流塞的后边界相接时，两者合并，出现更长的湍流塞，湍流维持的时间占总时间的分数称为间歇因子， =1就相当于连续的湍流，=0是连续的层流。 流动状态的稳定性，除依赖于雷诺数外，还需要考虑压力梯度，表面粗糙度等。 压力梯度：速度分布图上有拐点是流动不稳定的必要充分条件。据此可以估计压力梯度对稳定性的

24、影响，因为，有无拐点就相当于存在何种压力梯度，一般来说，顺压梯度使流动稳定，逆压梯度则增大了流动的不稳定性。 离心力影响：离心力会阻碍质点的径向运动，促进流动的稳定。 壁面加热和冷却：热量从壁面向流过表面的气流传递会促使流动不稳定，类似于流动方向压力增大的情况，反之，壁面被冷却则使流动稳定，类似于流动方向压力减小的情况。 抽吸：抽吸会影响稳定性，由于流体抽吸减低边界层厚度，抽吸产生的层流速度分布较无吸入时的分布有较高的稳定极限。 表面粗糙度：粗糙度对状态的转变有重要的实际意义，一般来说，粗糙峰将促使转变提前。3.4.3 湍流运动的基本方程，雷诺方程 对于湍流现象，统计方法和时均化法是解决问题的

25、两种基本途径。 湍流运动时，空间上给定点上的瞬时速度随时间不断变化，我们无法得知每一时刻的速度，但是可以取速度的时间平均值： 只要T足够长，可以认为它们具有相同的脉动概率分布时均值提供研究速度空间变化的基础。 瞬时速度可以用时均速度和脉动速度之和表示： 同样压力： 不可压缩流体的时均连续方程为： 将瞬时速度和瞬时压力表达式带入上式可得：TudtTu01xxxuuuppp0zuyuxuzyx0zuzuyuyuxuxuzzyyxx 上式的左端各项之和为0，所以其时均值也为0，脉动值的时均值为零，故上式可以写为： 由不可压缩流体的连续方程减去上式，可得时均连续方程： 上式表明，湍流运动时的时均速度分

26、量和脉动速度分量都满足不可压缩流体的连续性方程。雷诺方程 将瞬时速度和瞬时压力表达式带入N-S方程，进行时均化运算，并利用时均连续方程，可得：0zuyuxuzyx0zuyuxuzyxXzuuyuuxuuxpzuuyuuxuuzxyxxxxzxyxx2 2Yzuuxuuyuuypzuuyuuxuuzyyxyyyzyyyx2 2Zyuuxuuzuuzpzuuyuuxuuyzzxzzzzzyzx2 2 上式即为雷诺方程，与N-S方程比较，上式右边括号里多出了9项，这些项有应力的量纲，称为雷诺应力。雷诺方程与时均连续方程描述了湍流时均运动，但是这一组方程不封闭，为了求解，必须补充缺少的方程，这就是湍流

27、理论所需要解决的问题。动量传递与湍流附加应力：由于脉动的存在，流场中不断有流体微团互换位置，造成了动量的传递，相当于一种作用力，作用于单位截面的就是应力。这不同于层流中气体分子动量交换所产生的黏性力，因而被称为湍流附加应力。3.4.4 湍流唯象理论（半经验理论） 描述湍流时均运动的雷诺方程是不封闭的，对湍流运动也应补充适当的方程，使方程组封闭，才能解决湍流问题，但是，由于湍流现象极为复杂，尽管在今20年中湍流研究有了很大发展，但尚未获得完全的成功。仿照牛顿定律，使附加应力和局部时均速度梯度相联系，是最早也是较为成功的方法，因为经过这样处理所得结果中包含需要由实验测定的常数，故称为半经验理论。涡

28、黏性假设：其中，M为涡流粘度。平行平板间剪切流中涡流粘度与位置的关系见右图。yuxMtxy)(3.4.5 充分发展的湍流运动的简化模型 主要对湍流场中涡旋演变过程作简化分析，阐述主要概念：湍流多尺度性，能量传递与能量耗散以及不同涡旋的作用。涡旋拉伸：湍流是有旋运动，流体微团的旋转，假设微团绕x轴旋转微团除了绕x轴旋转外，还在x方向存在线变形率，则微团会受到拉伸作用。 一个方向上的拉伸可使得另两个方向上的尺度减小，速度增加，从而又使具有旋度的流体微团在这些方向上伸长,形率与旋转之间的相互作用，除涡旋拉伸之外，还可以是涡线倾斜，如下图所示，微团绕y轴旋转，同时存在剪切变形率，使原来在y方向的涡线倾

29、斜，发生方向改变。 从涡旋的拉伸和涡线的倾斜可知，湍流瞬时值必定是三维的。 能量级串：能量依次向较小尺度涡旋传递形成能量梯级，黏性对涡量的扩散与拉伸对涡旋的增强相互平衡，得到最小漩涡。粘度越低，最小漩涡尺寸越小。下左图为“湍流能量级串”。 大雷诺数湍流：如下右图所示，为管内湍流的局部瞬时流型，大涡旋位于管中心轴附近，小涡旋位于固体壁附近，表明不同大小的涡旋叠加于主流上。湍动能的主要部分来自大尺度以及中等尺度的脉动，微小尺度脉动只含有较小部分的动能，而涡量的大部分则存在于较小尺度的脉动中。 在空间固定点上，在短的时间间隔内仅能出现小尺度脉动所决定的小的速度变化，大涡旋对脉动速度有重要意义，而小涡

30、旋对给定点上的加速度将起主要作用。 能量耗散：由大尺度运动的量来确定能量耗散的数量级 能量耗散： 涡流黏度： 脉动速度：脉动速度与涡旋尺度的关系 ： kikixuxuvLU32Re,LUvUlmMM3103131,lUlUuu3.4.6 湍流统计特性 为什么对湍流做概率描述？如右两图所示：（1）信号高度无序，呈现各种尺度结构；（2）信号细节不可预测；（3）某些信号是可以重复的。由上可知，统计性是可以重复的，表明了湍流做概率描述。 湍流速度分量的概率密度函数如下： 22221xxxauuxxeuf各向同性湍流理论：均匀湍流：湍流脉动统计特性与流场中位置无关。各向同性湍流：湍流脉动统计特性与方向无

31、关：湍流脉动统计特性：湍流强度：湍流尺度：微分尺度。速度相关系数：2 2 2 2 uuuuzyx0zxzyyxuuuuuu2 iiuu BjAiBjAiBjAiBjAiABjiuuuuuuuuR2 2 , 相关函数定义：不同时间或空间上某些脉动物理最乘积的平均值，代表不同时间或空间上某些脉动物理量之间的相关程度。例如：雷诺应力为： 常用的相关函数为：时间相关函数和空间相关函数。物理意义：描述涡旋的平均尺寸。jiuu纵向相关： 横向相关：时间相关： 两者间关系： 湍流统计理论是建立在各向同性假设基础上发展出来的理论，不适用于各向异性湍流流动，即使在均匀各向同性湍流中，也仅有特殊情况下，可以用湍流

32、理论求解出来，湍流统计理论基本上来说，并不能解决湍流问题，但涉及的物理概念和规律仍然可以应用在今后的湍流研究中。 2uuurfBrAr 2uuurfBrAn 00000000,txuttxutxuttxutfxxxxrfrfg23.5 绕流，外部流动本节前面三节主要讨论低雷诺数和高雷诺数下的绕流问题，后面3.4节论述了湍流理论3.5.1 绕平板流动，湍流边界层由固壁影响所产生的湍流称为壁湍流，不受避免限制的湍流，称为自由湍流，这两种湍流统称剪切湍流。湍流边界层可以采用内层外层多层模型处理。边界层内层：黏性底层，过渡层，对数律层。边界层外层：边界层中的其余部分包括黏性顶层。 黏性底层：厚度： ，

33、其中 为摩擦速度。在黏性底层中，只存在黏性剪切应力，于是：由于 ，因此，黏性底层中的速度分布为：对数律层：雷诺数大时，分子黏性力可以忽略，得到对数律，积分常数需要确定。其速度分布见下式。*1uv*uyux2*uwvyuuuxx*湍流区的速度分布为：过渡层：黏性底层和过渡律层之间无明显的界限，卡门认为，应该有过渡区。三个区域（见下图）的速度表达式如下：黏性底层区：过渡区：湍流区：5 . 5lg75. 5*vyuuuxyuuuyvyux*5yuuuyx*3055 . 5lg75. 5,30yuy内层统一表达式：上式在工程上应用颇广。外层速度分布：边界层中速度相对于外流的速度差与距离的关系通过量纲分

34、析导出的无量纲形式为：经过修正和实验所得：该式适用于零压梯度边界层 的边界层区域。 ! 44 . 0! 34 . 0! 24 . 04 . 011108. 04324 . 0uuuueuyuyfuuUx2*yuuUxln6 . 8*15. 0y3.5.2圆柱绕流，涡旋引发振动影响流型的基本因素用一个无量纲数表示：雷诺数低雷诺数下的绕流：Re小于等于1时，流动的主要特点是上下游对称。中等雷诺数下的绕流：雷诺数增大，上下游对称消失，Re数大于4时，在柱体后面出现两个附着涡，涡内流体不断循环，随着雷诺数增大，这对涡被拉至最大值，保持稳定，直到雷诺数增加到临界值。下图从左到右依次为低雷诺数下，中等雷诺

35、数下及大的附着涡情况下的绕流。当雷诺数大于40时，尾流变的不稳定，有非定常性，在圆柱两侧交替的发生涡旋脱落，在尾流的每一侧形成一排涡，如下左图所示，称为卡门涡街。大雷诺数下的绕流：雷诺数等于100时，柱面上的边界层逐渐形成，伴有分离现象，Re3*106时，边界层中是湍流，分离点后移，Re3*105时，尾流区较Re3*105时狭窄，进入尾流的流体已经是湍流，紧靠圆柱之后的转变过程消失。如下右图圆柱绕流的分离位置所示。3.5.3 流体阻力的理论与实践阻力产生的机理：根据流体力学，阻力是由于流体绕物体流动时引起的压差和摩擦所造成的，分别称为压差阻力和摩擦阻力。压差阻力的大小取决于尾流区的宽度，和分离

36、点的位置有关。摩擦阻力的大小与流体-固体之间的接触面积以及固体表面的粗糙度等因素有关。两种阻力的相对大小取决于物体和流动的特征：物体的形状；雷诺数大小；物体表面的粗糙度。阻力公式：阻力是由压差和剪切应力产生的，一般来说压差起主导作用，将阻力表示为压力在表面上的作用力：式中，CD称为阻力系数，A是物体在垂直于相对速度方向上的投影面积。上式还可认为是一个阻力定律：AUCDD221几何形状Re,fCD3.6 管流，内部流动本节主要分析管内流动的规律，着重介绍流型、速度分布和阻力定律。流型与速度分布给出了流场的详细描述，对于分析传热、传质和化学反应等工程问题十分必要。阻力定律是工程上计算机械能损失的基

37、础，可用于确定输送流体所需功率。层流状况下，如管道几何形状简单，可由N-S方程求得解析解；湍流情况下，则可由半经验湍流理论求得。3.6.1 圆管层流流动进口段流动进口段边界层的发展：存在着轴向速度梯度 ，到e处之后，速度分布不在变化，边界层充满了整个流动截面，建立了所谓的充分发展的流动，此后的速度分布呈抛物面型。zuz进口段的流动状态：流率较小，充分发展后的流动为层流时，管道进口的形状对以后流动的影响不大，边界层中的流动通常为层流。进口段长度：计算进口段长度Le，可参照以下两式：当Re2100时在湍流情况下由于湍流边界层的厚度比层流边界层的增长快，因此，湍流时的进口段比层流时短。当粗略计算时，

38、可取层流进口段长度为100d，湍流为50d，d为管径。进口段压降：由于进口段中的流体流动未充分发展，因而导致沿管长压降增加，可用下式计算：式中，为流动作为充分发展时的摩擦阻力系数：m为校正系数，通常取m=1.31估算压降。dedLRe055. 041)(Re4 . 1dedLmdxup221定常圆管层流运动：计算流场中的速度分布，一是从基本方程出发，进行简化求解；二是直接从牛顿运动定律（动量平衡）出发，根据具体问题，选取适当的控制体，建立方程进行求解。下面分别介绍这两种方法。简化运动方程法：对于圆管，选用柱坐标。可做如下简化：流体沿管轴运动（z轴方向），速度分量ur，u均为零。流动是定常的，所

39、有对时间的导数也为0，流动是充分发展的，加速度分量也全部为0，这样运动方程中的非线性项全部消失。流动具有轴对称性。在上述简化条件下柱坐标系运动方程成为： drdurdrdrzpz10rp0pr10上式表明，p与r、无关，只是z的函数，即p=p（z）,故可写成那么柱坐标系运动方程就称为：dzdpzpdrdurdrdrdzdpz1由于上式等式左端只是z的函数，右端只是r的函数，因此两端都等于常数时，此等式才可以成立。即：这样可有：速度分布：对上式进行积分，化简可得速度分布为：r=0时，即管中心，速度最大。通过管截面的流量为：上式称为哈根-泊谡叶方程式。Ldzdpp 常数Lpdzdpdrdurdrd

40、z11r12222144RrLpRrRLpuzLRppLpRQL88404平均速度：已知流量，除以管的截面积即可得截面平均速度：阻力公式：若以单位管长上的压降表示圆截面直管内流体层流运动时所受阻力，则由上式可得：引进摩擦阻力系数，管内层流时摩擦阻力系数的计算式：LpRRLpRAQU8822428RULpRe64周期性圆管层流运动：工程上的管内流动，通常是恒定压力梯度下的定常运动，有时为了提高传质、传热速率，采用施加脉动压力梯度的方法，以造成流体脉动。流体脉动可分为两种情况：1.脉动压力梯度的平均值接近为零，无净流量；2.脉动压力梯度具有非零平均值，有净流量。决定运动特性的主要参数是脉动压力梯度

41、的振幅k和频率w。 称为频率参数。当频率参数较小时，所得速度分布是：当频率参数较大时，所得速度分布为：上式表明，频率高时，速度和压力梯度之间具有相位差，还表明，随着与壁面间的距离（R-r）的的增加，第二项迅速消失。在较大距离下，流体可作为理想流体。vwR2wtrRvktruzcos)(4),(22rRvwwtrRvwrRwtwktruz2sin2expsin),(速度随时间的变化见下左图。不同频率下，截面上的速度分布见下右图。在较高频率下，最大速度值在管壁和管轴之间，偏离中心。随着频率的增加，最大速度增大，出现最大值的位置向壁面趋近。套管环隙中的轴向流动：套管由两种不同直径的圆管组成，是一种常

42、用的换热器，套管内的流动又是管束间轴向流动的良好模型，这种流动的特点是，流动边界与圆管不同，环隙间最大速度点的位置随半径比变化；偏心造成流量显著增加；内管即使变成一根细丝，亦将造成压降显著增加3.6.2 圆管湍流流动湍流管内流动阻力计算常用的公式：布拉修斯通过实验得到， 时，管流阻力定律：由布拉修斯阻力公式可导出速度分布七分之一次方定律：上式和管流阻力定律式适用范围相同。当雷诺数大于100000时，分别用1/8、1/9、或1/10次方代替1/7，所得速度分布更符合实验结果。100000RevUd413164. 0vUd71*74. 8vyuuux湍流一般阻力定律：此公式适用于大范围雷诺数情况，

43、当雷诺数很高时，趋近于常数。管内涡流粘度分布：根据动量、热量、质量传递间的类似，可方便的估计传热、传质速率，关键是得到涡流粘度的分布式：从上式可以由速度分布计算涡流粘度M值。粗糙管中的速度分布和阻力定律：由于粗糙几何形状的多样以及粗糙峰分布高度的不同，需要将粗糙概念理想化，认为管道内壁上的粗糙峰具有同样的形状和高度h，以毫米表示的h值称为绝对粗糙度，峰高与管半径之比，即h/R的比值称为相对粗糙度。237. 0Re221. 00032. 011dyduRyvM粗糙管实验结果：尼库拉兹对粗糙管进行了系统的测量，测量结果见下图。从图中可以得到如下结论：1.相对粗糙度并不影响层流转变为湍流的临界雷诺数

44、，不同hs/R的曲线，都在层流时的直线=64/Re上重合，临界雷诺数相同；2.过渡状态几乎与相对粗糙度无关；3.相对粗糙度越小，可以在愈大的雷诺数范围内，观察到对应于光滑管的湍流；4.相对粗糙度愈小，要在愈大的雷诺数下，阻力才不在与雷诺数有关。速度分布与阻力公式：粗糙峰高度与黏性底层厚度之比h/1，是判别粗糙管中流动情况的一个重要的无量纲参数，那么粗糙峰和摩擦速度所组成的雷诺数： hvhuh*1根据上述雷诺数的大小，可将粗糙管中的湍流运动分为三种情况：水力光滑， ；完全粗糙， ；过渡区，3.6.3 非直管、圆管中的流动，二次流现象工程上的管路系统常需改变方向，非直管或弯曲管是管路中必不可少的组

45、成部分。流体在非直管、非圆管中流动具有一个共同特点，即主流上叠加着次流。直管中的次流是二维的，而弯管中的为三维流动。次流是指垂直于主流方向的横向平面上的流动。弯曲管、分离现象：流体在弯曲管中的运动，产生了向心加速度，加速度是 ，r轨迹曲率半径于是有：由于在弯管中，流体在逆压梯度下运动，在壁面附近又受到黏性阻滞，因此出现了流动的分离现象。5*vuhs70*vuhs705*vuhsrpru12ru2弯曲管，第一类次流：如下图所示的弯管中的流动，在管壁PU、RS处的速度较中心QT点处主流的速度低，T点处压力高于U、S点处，Q点处压力低于P、R点处，TQ点之间的径向压差大于PU点和RS点处相应的径向压

46、差，因而在径向平面上出现了如图所示的次流，称为双涡旋。次流的存在改变了截面上的速度分布，径向平面上的双涡和轴向主流叠加，形成涡旋运动。层流时矩形矩形管中流量与压降的关系：速度分布方程如下：边界条件是四周壁上速度为零，由速度分布可求得体积流量和压降的关系：式中，Fp为形状因子，是截面长宽比的函数。Lpyuxuzz12222pFLpWBQ122阻力计算，水力直径：对于非圆管流动时，考虑用水力直径表示其几何特征。水力直径定义为：对于边长为B及W的矩形：对于套管环隙：非圆管中的阻力就为：hhRCAd444浸润周边截面积WBBWWBBWdh22412122122224RRRRRRdh22UdLph3.7

47、 尾流与射流绕流或管流都是流体沿固体壁的流动，还有另一类流动：流体自小孔流出（射流），流体绕过物体后的流动（尾流），具有不同速度的两股流体相遇（剪切层或混合层流动）等，此类流动不受固体壁面的约束，通常称为自由流动，见下图。射流对于周围流体具有强烈的卷吸作用，研究射流具有重要的实践意义。3.7.1自由射流流体从小孔、喷嘴或管道进入较大的空间，继续扩散流动形成射流。自由射流的发展：如下图所示，只要流出速度不很低，射流经过很短的距离，变成完全的湍流，射流经历了从发展到消失的过程。分为开始段、过渡段和基本段三个阶段。当射流中心速度为0射流终结。射流中的运动状态，依据雷诺数的大小可以是层流或湍流，对于圆射流，其特征雷诺数可用孔口雷诺数表示， ，雷诺数小于300时，射流为层流。vdUn0Re 对于平面射流，从层流转变为湍流的雷诺数约为30-50。卷吸机理：射流的重要特点是卷吸周围流体，射流自喷嘴射出，在过渡区内，高速射流造成剪切层，形成漩涡，导致了射流对周围流体的卷吸。如图所示。扰动使含有涡量的区域的边界变形（a），并进一步周期性的增厚和减薄（b），涡旋区域即将出现（c），最后形成单个涡旋（d）。两个涡旋接