南大复变函数与积分变换课件(PPT版)64_几个初等函数构成的共形映射映射

1、1第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 6.4 几个初等函数构成的映射几个初等函数构成的映射 一、幂函数一、幂函数 二、二、指数函数指数函数 三、三、综合举例综合举例 2第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 ,nzw 一、幂函数一、幂函数 ( ( 整数整数 ) ) 2 n,e ninrw 则有则有 ,e irz 令令 1. 映射特点映射特点 nzw nwz .arg,| nwrwn 即即 RnRn20 0 2n幂函数幂函数 扩大顶点在原点的角形域扩大顶点在原点的角形域( ( 或扇形域或扇形域 ) )。 特点特点 nzw 类似地，根式函数类似地，根式函数 作为幂函数的逆映

2、射，其映射作为幂函数的逆映射，其映射 nzw 特点是缩小顶点在原点的角形域特点是缩小顶点在原点的角形域( ( 或扇形域或扇形域 ) )。 0 0 n3第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 2. 保形性保形性 单值性单值性 解析性解析性 ,nzw 一、幂函数一、幂函数 ( ( 整数整数 ) ) 2 n(1) 在在 平面上处处可导，且平面上处处可导，且 ;dd1 nznzwz.0dd zw(2) 当当 时，时， 0 z在在 平面上不是双方单值的，平面上不是双方单值的， z对于对于 ,4zw 幂函数幂函数 在在 平面上除原点外是第一类保角映射。平面上除原点外是第一类保角映射。 结论结论

3、nzw z 在角形域在角形域 上，如果上，如果 ，则幂函数，则幂函数 是是 nzw 共形映射。共形映射。00 0 n2比如：比如： e1 z2i,e2iz 取取 .4241zz 则则 4第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 解解 令令 则则 ,41eizw .41ww izw41e 41ww .0Im,8|: zzzG如图，所求的象区域如图，所求的象区域 G 为：为： 24i2)(1w88 )(w244i2)(z5第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 512zz izizw 5454)()(41zz izizw 22解解 45)(z5)(1z)(2z)(w11 P157

4、 例例6.14 6第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 二、二、指数函数指数函数 zwe y4 (z)yxwxezwe vu(w)回顾回顾 有有 ,)sin(coseeeeyixxzyiyw y2 由由 z 的实部得到的实部得到 w 的模；的模；由由 z 的虚部得到的虚部得到 w 的辐角。的辐角。即即 ,|exw ,2Argkyw ),2,1,0( k xzyy,yixz 令令 7第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 1. 映射特点映射特点 zwe h)2(h 指数函数指数函数 将水平带形域变为角形域。将水平带形域变为角形域。 特点特点 zwe 二、二、指数函数指数函数

5、 zwe )2(h 1e1zw i11 i特别有特别有 hi)(z)(w)(1z)(1whz 1zhww 1单值性？单值性？ ( (?) )8第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 2. 保形性保形性 单值性单值性 解析性解析性 在在 平面上处处可导，且平面上处处可导，且 .0dde zzwz在在 平面上不是双方单值的，平面上不是双方单值的， z指数函数指数函数 在在 平面上是第一类保角映射。平面上是第一类保角映射。 结论结论 zwe z 在水平带形域在水平带形域 上，如果上，如果 则指数函数则指数函数 zwe 是共形映射。是共形映射。 hy 0,2h 二、二、指数函数指数函数 zw

6、e 取取 ,111yixz , )2(112yixz 比如：比如： .21eezz 则则 9第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 .0Re,1|: zzzG如图，所求的象区域如图，所求的象区域 G 为：为： 解解 令令 则则 ,1ziw .1eww 1eww ,1ziw 2 i2i)(1wi i)(w22 )(z10第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 2ezw izz21 122 zz 解解 2ii)(z2i)(1zi)(2z)(w)(22eizw P158 例例6.15 11第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 三、三、综合举例综合举例 (1) 预处理预

7、处理 工具工具 几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。 目标目标 使区域的边界至多由两段圆弧使区域的边界至多由两段圆弧( (或直线段或直线段) )构成。构成。 (2) 将区域映射为角形域将区域映射为角形域( ( 或者带形域或者带形域 ) ) 另一个另一个( (交交) )点点 映射为映射为 0 。 z2 主要步骤主要步骤 ( (一般一般) ) 方法方法 将区域边界的一个交点将区域边界的一个交点 映射为映射为 z1 ; 工具工具 ,11zzkw .12zzzzkw 或者或者 12第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 (4) 将上半平面映射为单位

8、圆域将上半平面映射为单位圆域 工具工具 ( ( 对于角形域对于角形域 ) ) .,nnzwzw ( ( 对于带形域对于带形域 ) ) .ezw 工具工具 ( ( 无附加条件无附加条件 ) ) .izizw ( ( 由附加条件确定由附加条件确定 ) ) .000ezzzzwi 00, z (3) 将角形域将角形域( ( 或者带形域或者带形域 ) )映射为上半平面映射为上半平面 三、三、综合举例综合举例 主要步骤主要步骤 ( (一般一般) ) 13第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 111 zzz212zz izizw 22izz 112 w2 izz 11注注 从从上半单位圆域上半

9、单位圆域到到上半平面上半平面的映射为的映射为 .2 11 zzw( (错错 ) ) ！ ！ 2zw ？ 解解 11 0)(z)(2z)(w10 11 )(1zP161 例例6.18 14第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 zz 1izizw 22解解 2 11112 zzzizz 112 wizz 112 11 0)(z11 0)(1z)(2z11 )(w15第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 23zz izizw 55 1z2z 2z1z12 11334 zzz解解 22 )(z11 )(1z11 )(2z11 )(w11 )(3z)(4zizz 222 wizz

10、 222 16第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 将将 ,0, ii 故故 .1iziziz 得得 , ik 有有 ,1izizkz k再要求将再要求将 1,1解解 共形映射将共形映射将 D 映射成单位圆域。映射成单位圆域。 例例 设区域设区域 D 由两个圆弧围成由两个圆弧围成( (如图所示如图所示) )， iziziz 1612zz 6izizw 22iizizi 6 w6 iizizi ii r61)(z)(1z)(2z11 )(w10 ,1 r其中其中 求一求一 P160 例例6.17 17第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 将将 ,00, 2故故 .21 z

11、zz得得 ,1 k有有 ,21 zzkzk再要求将再要求将 i 1, i 解解 12ziz 232zz 3e4zz izizw 44 1z2 zz12i)(2z11 )(wi)(3z)(4z)(1z1222 1)(z0i 0 i 1 w2 zzi )(2ie2 zzi )(2ieP159 例例6.16 18第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 解解 22 4)(z312ziz 233zz 3e4zz izizw 44)(1zi3)(2z11 )(wi)(3z)(4z032 1z2 z2 z6 wi )(iei )(ie32 z2 z2 z2 z319第六章 共形映射 6.4 几个初

12、等函数构成的映射 1e2zz ziz 123ziz 2 ziziiiw ee112 3311zzw 解解 22 )(z2 i2i)(1zii )(2z)(w11 )(3zP162 例例6.19 20第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 1z1z12zz 22 we1i iz2e1i iz22 22ee11ziziiiw ( (利用前例的结果利用前例的结果) ) 例例 映射将映射将 D 映射成上半平面。映射成上半平面。 设区域设区域 求一共形求一共形 ,21|21|,21|21|,0Im: zzzzD* )(1z22 )(2z)(w011 解解 )(z1 1P162 例例6.20 21第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 2zw 011 01 1z1z11112 zzz解解 )(1z)(2z)(w例例 * 设区域设区域 D 如图所示，求一共形映射将如图所示，求一共形映射将 D 映射成单位圆域。映射成单位圆域。 D11 )(z11 zzw22第六章 共形映射