15-3绕定轴转动刚体的轴承动反力(重庆大学理论力学课件)

1、15-3 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力一、研究对象：绕定轴转动的任意刚体。一、研究对象：绕定轴转动的任意刚体。二、受力分析二、受力分析 主动力、约束力和虚加的惯性力。主动力、约束力和虚加的惯性力。 三、惯性力系简化三、惯性力系简化 一般惯性力系组成一空间力系，一般惯性力系组成一空间力系，将惯性力系向将惯性力系向O点简化，得一力和点简化，得一力和一力偶矩。一力偶矩。绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力 三、惯性力系简化三、惯性力系简化 一般惯性力系组成一空间力系，一般惯性力系组成一空间力系，将惯性力系向

2、将惯性力系向O点简化，得一力和一力偶矩。点简化，得一力和一力偶矩。IIRiCIIOOiFFmaMMF 这个力等于惯性力系的主矢量，这个力等于惯性力系的主矢量，这个力偶的矩等于惯性力系对这个力偶的矩等于惯性力系对O点的主矩。即点的主矩。即由于定轴转动刚体内各点的加速度皆与转轴垂直，因而由于定轴转动刚体内各点的加速度皆与转轴垂直，因而FI垂直于转轴。垂直于转轴。 为了求惯性力系对为了求惯性力系对O点的主矩，将点的主矩，将速度和加速度写成矢量积的形式速度和加速度写成矢量积的形式()IOiiiiMFrma iiiarv iivr()()iiiiiirmrrmv ()()()IOiiiiiiiMFrmr

3、rmv kki = j, ki = j, kj = -i, kj = -i, kk = 0k = 0()ivx jyi2ivxiy j irxjyi()()()( )IOiiiiiiiMFrmrrmva kki = j, ki = j, kj = -i, kj = -i, kk = 0k = 0OIFi质量对质量对称面称面iair,xziyziJm xzJm yz222)(iiizrmyxmJ式中式中为刚体对为刚体对z轴的转动惯量；轴的转动惯量；为刚体对为刚体对z轴的两个轴的两个离心转动惯量离心转动惯量或或惯性积惯性积。22IOxzyzyzxzZMJJiJJjJk根据力矩关系定理，根据力矩关系

4、定理，得惯性力系对各坐标得惯性力系对各坐标轴的主矩分别为轴的主矩分别为2IIxOxzyzxMMJJ2IIyOyzxzyMMJJIIzOZzMMJ 22IOxzyzyzxzZMJJiJJjJk惯性力系对固结于刚体并垂直于惯性力系对固结于刚体并垂直于转轴的转轴的x、y两轴的惯性力矩分别为两轴的惯性力矩分别为yzmJxzmJiyzixz22IOxzyzyzxzZMJJiJJjJk四、平衡方程四、平衡方程为了转动刚体支座反力，将此主动力为了转动刚体支座反力，将此主动力系也向系也向O点简化，如图所示点简化，如图所示由前五个方程解得轴承反力：由前五个方程解得轴承反力：由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内

5、，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内，沿沿z轴的反力与惯性力无关。轴的反力与惯性力无关。 由式可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内，由式可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内，沿沿z轴的反力与惯性力无关。与轴的反力与惯性力无关。与z轴垂直的轴承反力由两部轴垂直的轴承反力由两部分组成：分组成： （1）有主动力引起的静反力；）有主动力引起的静反力； （2）由惯性力引起的附加动反力。）由惯性力引起的附加动反力。 即轴承附加动反力等于零的条件是：即轴承附加动反力等于零的条件是： 惯性力系的主矢量等于零，惯性力系惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于对于x轴和轴和y轴的矩等于零。轴的矩等

6、于零。轴承附加动反力等于零的条件是：轴承附加动反力等于零的条件是： 惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于x x轴和轴和y y轴的矩等于零。轴的矩等于零。由前面的推导，应有由前面的推导，应有 II22II0,0 0,0 xCxyCyxxzyzyyzxzFmaFmaMJJMJJ要使惯性力系的主矢等于零，必须要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。，即转轴通过质心。要使主矩等于零，必须有要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即刚体对转轴，即刚体对转轴z的惯性的惯性积等于零。积等于零。五、讨论五、讨论1、静反力：由主动力引起，与运动无关。、

7、静反力：由主动力引起，与运动无关。2、动反力：、动反力：起因：起因： 质心质心C不在转轴上不在转轴上危害性：将要产生动反力。危害性：将要产生动反力。消除附加动反力的方法；消除附加动反力的方法；对于高速转动部件的机器或机械，附加动反力将可能会很大，应设法减小或消除，以免产生弯曲、断裂等不良后果。F1mNBBmDcxF2A12IIFFNxm2m1DFNBFA12IIFFNcB（1 1）动反力）动反力: :在工程实际中，由于高速转子绕定轴转动在工程实际中，由于高速转子绕定轴转动时产生的作用于轴承上的附加力，称为动反力，动反力时产生的作用于轴承上的附加力，称为动反力，动反力往往很大，以至使机器零件破坏

8、或引起振动。往往很大，以至使机器零件破坏或引起振动。（2）产生原因：）产生原因： 质心质心C不在转轴上时：不在转轴上时：如图所示：两质量相等的如图所示：两质量相等的小球小球m1和和m2，绕铅垂直轴，绕铅垂直轴匀速转动，如果两球的中心连线与转轴相垂直，且质心匀速转动，如果两球的中心连线与转轴相垂直，且质心C在在轴线上，则轴线上，则：II21F FF F绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力 六、动平衡的概念六、动平衡的概念1、定义：如一刚体，在主动力、约束力及附加惯性力的、定义：如一刚体，在主动力、约束力及附加惯性力的作用下处于

9、平衡，则称之为动平衡状态。作用下处于平衡，则称之为动平衡状态。七、惯性主轴七、惯性主轴2、条件：惯性力系为平衡力系。、条件：惯性力系为平衡力系。3、对转轴的要求：、对转轴的要求： 转轴要过质心（转轴要过质心（xc= yc =0）；）； Jyz= Jxz =0 (即转轴为惯性主轴即转轴为惯性主轴)惯性主轴与中心惯性主轴： (1) 惯性主轴： 即：如果刚体对通过点O的z轴的惯性积：0 xzyzJJ则z轴称为该点的惯性主轴。（2）中心惯性主轴： 过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。 故避免出现轴承动反力的条件是： 刚体的转轴应取刚体的中心惯性主轴。刚体的转轴应取刚体的中心惯性主轴。 0,0 xzyzJ

10、J 的轴上述结论也可叙述为： 刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动反力的条件是： 转轴通过刚体的质心，且转轴通过刚体的质心，且刚体对转轴的惯性积等于零刚体对转轴的惯性积等于零，即即 转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。 4静平衡与动平衡： 静平衡静平衡：如果转动刚体的转轴通过刚体的质心，刚体除受重力外，没有受到其它主动力作用，刚体可以在任意位置平衡的现象称为静平衡； 动平衡动平衡：如果转动轴是中心惯性主轴，刚体绕 定轴转动时，不出现轴承动附加反力的现象称为动 平衡。 静平衡：静平衡： （a) (b)、 (d)动平衡：动平衡： ( a) 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过

11、来，动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。静平衡的刚体，不一定是动平衡的。例例5 质量不计的刚轴以角速度质量不计的刚轴以角速度 匀速转动，其上固结着匀速转动，其上固结着两个质量均为两个质量均为m的小球的小球A和和B。指出在图示各种情况下，。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？ 例例: :如图所示的飞轮，质量为如图所示的飞轮，质量为m=200m=200kg，其质心，其质心C C至至转轴的距离转轴的距离e=0.05cm，飞轮安装在转轴的中点。若飞，飞轮安装在转轴的中点。若飞轮以匀转速轮以匀转速n n=6000=600

12、0r/ /min绕其轴转动，试求飞轮质心绕其轴转动，试求飞轮质心C C运动到最低位置时轴承反力。运动到最低位置时轴承反力。解：以飞轮和转轴所组成解：以飞轮和转轴所组成的质点系为研究对象，的质点系为研究对象，作用于其上的力有：作用于其上的力有：重力重力mg和轴承反力和轴承反力FA、FB。解：作用于其上的力有：重力解：作用于其上的力有：重力mg和轴承反力和轴承反力FA、FBR RI Imew2 2。又又RI的方向随质心位置而异，的方向随质心位置而异，当质心当质心C运动到如图所示的运动到如图所示的最低位置时，最低位置时，RI铅垂向下。铅垂向下。 因飞轮转速不变，附加于飞轮上的惯性力系向轴心因飞轮转速

13、不变，附加于飞轮上的惯性力系向轴心O简化后所得的主矩应为零，故简化结果为合力简化后所得的主矩应为零，故简化结果为合力R RI I，且，且因飞轮位于转轴的中点，故由平衡方程得因飞轮位于转轴的中点，故由平衡方程得由此可见，轴承反力为两项之和由此可见，轴承反力为两项之和: :前者为飞轮自重引起的静反力，为飞轮自重引起的静反力，后者为飞轮作偏心运动时所为飞轮作偏心运动时所 引起的附加动反力。引起的附加动反力。本例中，附加动反力约为静反力的本例中，附加动反力约为静反力的2020倍倍F FA AF FB B（mgmew2）/2m=200kg，e=0.05cm，n=6000r/min2002009.89.8

14、0.00050.0005(6000(6000p/30)/30)2 2/2/298098019720197202070020700N 动反力有时会造成很大危害。动反力有时会造成很大危害。 在设计中虽力图使质心位于转轴上，但由于设计、制在设计中虽力图使质心位于转轴上，但由于设计、制造和安装时很难完全避免的误差，必然会导致转动物造和安装时很难完全避免的误差，必然会导致转动物体的质心偏离转轴。体的质心偏离转轴。因此，高速转动物体的动反力可以达因此，高速转动物体的动反力可以达到很大的值。到很大的值。所以，必须用实验方法对高所以，必须用实验方法对高速转动的物体加以平衡校正，速转动的物体加以平衡校正，务必使

15、它在转动时的动反力务必使它在转动时的动反力被限制在容许的范围之内。被限制在容许的范围之内。加平衡质量加平衡质量 根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。方程的方法，称为动静法。 应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，

16、二矩式，三矩式等等。的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。方便得多。 达朗贝尔原理的应用达朗贝尔原理的应用 选取研究对象选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要点：虚加惯性力。虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。

17、列动静方程。列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。求解求知量。 注注 的方向及转向如已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。OMI , IFOOCJMmaFII , 例例1 质量为质量为m1和和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为绕在半径为r1和和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴轴O的转动惯量为的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角求鼓轮的角加速度。加速度。取系统

18、为研究对象取系统为研究对象解：解：用达朗伯原理求解用达朗伯原理求解虚加惯性力和惯性力偶：虚加惯性力和惯性力偶：JJMamFamFOOI222I111I , 由动静法：1122I1 1I2 2I( )0 , 0OOMm grm grF rF rMF列补充方程： 代入上式得：2211 , raragJrmrmrmrm2222112211JJMamFamFOOI222I111I , 11221 1 122 20m grm grm a rm a rJ 汽车连同货物的总质量是汽车连同货物的总质量是m ，其质心，其质心 C 离前后轮的离前后轮的水平距离分别是水平距离分别是 b 和和 c ，离地面的高度是，

19、离地面的高度是 h 。当汽车以。当汽车以加速度加速度a沿水平道路行驶时，求地面给沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反前、后轮的铅直反力力。轮子的质量不计。轮子的质量不计。例例5ABCcbhFIaFBmgFNAFNB 取汽车连同货物为研究对象。汽车实际受到的外力有：重力 mg ，地面对前、后轮的铅直反力 FNA ， FNB 以及水平摩擦力 FB (注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计)。解：解：因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心 C 上的一个力 F * = Ma 。于是可写出汽车的动态平衡方程汽车的动态平衡方程由式(1)和(2)解得ABCcbhFIaFBmgFN

20、AFNBF I = Ma 例例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为均为均质物体，各重为P1和和P2，半径均为半径均为R，绳子不可伸长，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角其质量不计，斜面倾角 ，如在鼓轮上作用一常力偶矩，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：试求：(1)鼓轮的角加速度？鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？绳子的拉力？ (3)轴承轴承O处的支反力？处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？（不计滚动摩擦）？解：用达朗贝尔原理求解解：用达朗贝尔原理求解取轮O为研究对

21、象，虚加惯性力偶OOORgPJM22I21列出动静方程：(3) 0 sin0(2) 0cos0(1) 0 , 0)(T2TITFP , FFF , FFMMRFMyyxxOFAARgPMagPF21IA1I21 , 取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MIA如图示。IF列出动静方程：1ITITIS1( )0 sin0 (4)0 , sin0 (5)CAxMPRFRFRMFF FFPF运动学关系：OAOAARRa 22I12OPMRgTIT2T 0 (1)cos0 (2)sin 0 (3)xyF RMMFF FPF211IIA1 , 2AAPPFaMRgg取轮O为研究对象，取轮A为研究对象，

22、运动学关系： ，OAOAARRa 将MI，FI，MIA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：12212(sin) (3 )OMPRgPP R22I12OPMRgTIT2T 0 (1)cos0 (2)sin 0 (3)xyF RMMFF FPF211IIA1 , 2AAPPFaMRgg1ITITIS1( )0 sin0 (4)0 , sin0 (5)CAxMPRFRFRMFF FFPF12T21(3sin )(3 )PMP RFPP R代入(2)、(3)、(5)式，得：。 )3()sin(, sin)3()sin3( , cos)3()sin3(1221S212211221RPPRPM

23、P FPRPPRPMPFRPPRPMPFyxTIT2T 0 (1)cos0 (2)sin 0 (3)xyF RMMFF FPF1ITITIS1sin0 (4)sin0 (5)APRFRFRMF FFP 均质圆盘质量为mA，半径为r。细长杆长l=2r，质量为m。杆端A点与轮心为光滑铰接，如图所示。如在A处加一水平拉力F，使轮沿水平面滚动。问F力多大能使杆的B端刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？ 例例10 细杆细杆刚离地面时仍为平动平动，而地面约束力为零，设其加速度为a。以杆为研究对象，杆承受的力并加上惯性力如图所示，其中F*IC =maC=ma 。ga3FIC30

24、解：解：按动静法列出方程为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。由方程 ，得地面摩擦力解得FIAFICIFIA 整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中rarmMmaFAAA2II21 ,由方程 得ga3再以整个系统为研究对象，由方程 ，得由此，地面摩擦系数FIAFICIFIA 设匀质转子重 P，质心 C 到转轴的距离是 e，转子以匀角速度 绕水平轴转动， AO = a ，OB = b (图 a)。假定转转轴与转子的对称平面垂直轴与转子的对称平面垂直，求当质心 C 转到最低位置时轴承所受的压力。 b a e z C O B A例例6解解: 轴轴 Oz 是转子在点是转子在点 O 的主轴之一。可见惯性力对点

25、的主轴之一。可见惯性力对点 O 的的主矩在垂直于主矩在垂直于 Oz的平面上两轴的投影的平面上两轴的投影 M ICx 和和 MICy 恒等于零。恒等于零。方向沿 OC。当质心 C 转到最低位置时，轴上实际所受的力如图 b所示。 b a e z C O B A b a e z C O B A( b ) PF BFA又又 = 0，这样这样 MICz 也等于零。因此转子的惯性力合成为作用也等于零。因此转子的惯性力合成为作用于点于点O 的一个力的一个力 F IC ，大小等于，大小等于根据动静法写平衡方程由式 (1) 和 (2) 解得两轴承所受的力分别和 FA ，FB 的大小相等而方向相反。 b a e z C O B A( b ) PF BFA解：刚体作平面运动，惯性力系向质心简化，解：刚体作平面运动，惯性力系向质心简化， 例例 习题习题12-29：均质杆：均质杆AB长为长为l，质量为，质量为m，2/12IxCxcIyCycICCFmamxFmamyMJmlsin2clxcos2cly其中其中 自铅直位置开始自铅直位置开始A端沿墙壁向下滑动，端沿墙壁向下滑