线性代数总复习及典型例题学习教案

1、线性代数线性代数(xin xn di sh)总复习及典型总复习及典型例题例题第一页，共61页。第1页/共61页第二页，共61页。二阶行列式的计算方法二阶行列式的计算方法.2112221122211211aaaaaaaa 第一节第一节 n阶行列式的定义阶行列式的定义(dngy)三阶三阶(sn ji)行列式的计算方法行列式的计算方法沙路法沙路法323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 第2页/共61页第三页，共61页。nnnn 2

2、12)1(21)1( 一些一些(yxi)常用的行列式结果：常用的行列式结果：nnnnaaaaaa000222112111122nna aa nn 2121 第3页/共61页第四页，共61页。kkkkmmmmbbbb*aaaaDMMMMMM111111110 *1111mmmmaaaaMM .1111kkkkbbbbMM第4页/共61页第五页，共61页。行列式与它的转置行列式与它的转置(zhun zh)(zhun zh)行列式行列式相等相等. . 性质性质1.1行列式的某一行（列）中所有行列式的某一行（列）中所有(suyu)元元素的素的公因子可以提到公因子可以提到(t do)行列式符号的外面行列

3、式符号的外面 性质性质1.2式为零。式为零。行列式的某一行（列）中的所有元素都行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一数乘以同一数 k ，等于用数，等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.如果行列式中有一行如果行列式中有一行(列列)为零，那么行列为零，那么行列第二节第二节 行列式的性质行列式的性质第5页/共61页第六页，共61页。对换对换(du hun)行列式的两行（列）行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号. 性质性质1.3则此行列式为零则此行列式为零.如果如果(rgu)行列式有两行（列）完全相同，行列式有两行（列）完全相同，比例比例(bl)，那么行列式为，那么行列式为零零 性质性质1.4如

4、果行列式中有两行（列）对应成如果行列式中有两行（列）对应成第6页/共61页第七页，共61页。如果行列式的某一行如果行列式的某一行(yxng)（列）的元素都是（列）的元素都是则则D等于等于(dngy)下列两个行列式之和：下列两个行列式之和：例如例如(lr)第第i 行的元素都是两数之行的元素都是两数之和和 性质性质1.5两数之和，两数之和，nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaDMMMMMM21221111211 nnnniniinaaabbbaaaDMMMMMM212111211 nnnniniinaaacccaaaMMMMMM212111211 第7页/共61页第八页，共61页。同

5、一数然后加到另一行同一数然后加到另一行(yxng)(列列)对应的元素上去，对应的元素上去，行列行列 把行列式的某一行把行列式的某一行(yxng)（列）的各元素乘以（列）的各元素乘以 性质性质1.6式不变式不变 (倍加倍加(bi ji)运算运算)计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值算得行列式的值第8页/共61页第九页，共61页。第三节第三节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开(zhn ki)数余子式的乘积数余子式的乘积(chngj)(chngj)，即，即.ijijAa

6、D 引理引理 一个一个(y )n阶行列式，如果第阶行列式，如果第i 行所有元素除行所有元素除ija外都为零，外都为零，ija与它的代与它的代那么这个行列式等于那么这个行列式等于式某行式某行(列列)元素与另一行元素与另一行(列列)对应元素的代数余子对应元素的代数余子行列式的某行行列式的某行(列列)的所有元素与其对应的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。式乘积之和等于零。式乘积之和等于零。行列行列第9页/共61页第十页，共61页。行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开(zhn ki)法则是法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计把高阶行列式

7、的计算化为低阶行列式计算的重要工具算的重要工具. ;,0,1jijiDAankkjki当当当当 ;,0,1jijiDAankjkik当当当当第10页/共61页第十一页，共61页。第二章第二章 矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)及及其运算其运算第11页/共61页第十二页，共61页。一、矩阵的概念一、矩阵的概念 由由 个个数数nm njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 称为称为m行行n列列矩阵矩阵, ,简称简称 矩阵矩阵. .nm 排成的排成的m行行n列的数表列的数表(sh bio)mnmmnnaaaaaaaaaMMM212222111211 Anm 其中其中 个数称为矩阵个数称为矩阵A

8、的元素，数的元素，数ija称为矩阵称为矩阵A的第的第i 行第行第j 列的元素列的元素(yun s). 1. 矩阵矩阵(j zhn)的基本的基本概念概念第12页/共61页第十三页，共61页。 加法加法 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 方阵的幂方阵的幂 转置矩阵转置矩阵 对称对称(duchn)及反对陈矩阵及反对陈矩阵 方阵的行列式方阵的行列式 1. 矩阵的基本矩阵的基本(jbn)运算：运算： 二、矩阵的运算二、矩阵的运算第13页/共61页第十四页，共61页。2. 矩阵的运算矩阵的运算(yn sun)规律：规律： ;1ABBA 交换律：交换律： .2CBACBA 结合律：结合

9、律：加法加法(jif)： ;:1AA 结合律结合律 :2 分配律分配律 .BABA ;AAA 数乘：数乘：第14页/共61页第十五页，共61页。 ;1BCACAB ,3ACABCBA ;CABAACB BABAAB 2（其中其中 为数）为数）; ; 乘法乘法(chngf)：方阵方阵(fn zhn)的幂运算：的幂运算：kllkAA )(（2）lklkAAA （1） 注意注意(zh y)： .kkkBAAB 第15页/共61页第十六页，共61页。 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 转置转置(zhun zh)运算：运算：第16页/共61页第十七页，共61页。由由n

10、n阶方阵阶方阵(fn(fn zhn)A zhn)A的元素按原相对位置所构成的元素按原相对位置所构成或或A.det A称为称为(chn wi)方阵方阵A的行列的行列式，记作式，记作的行列式，的行列式，3. 方阵方阵(fn zhn)的行列式及其性质的行列式及其性质AAT BAAB 方阵的行列式满足下列规律：方阵的行列式满足下列规律：（2）（3）（设（设A、B为为n阶方阵，阶方阵， 为数）为数） （1）;AAn 第17页/共61页第十八页，共61页。. .列标列标三、逆矩阵三、逆矩阵1. 基本概念基本概念对于对于n n阶方阵阶方阵A A，如果存在，如果存在(cnzi)(cnzi)一个一个n n阶方阵

11、阶方阵B B使得使得(sh de)(sh de)EBAAB 则称则称B B是是A A的逆矩阵的逆矩阵(j zhn)(j zhn)，并称矩阵，并称矩阵(j zhn)A(j zhn)A是可逆矩阵是可逆矩阵(j zhn)(j zhn)或满秩或满秩.1 A矩阵，或非奇异矩阵矩阵，或非奇异矩阵, ,记为记为说明说明 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的. .11AA 写成写成不能将不能将 注意注意第18页/共61页第十九页，共61页。各元素各元素aij aij 的代数的代数(dish)(dish)余子式余子式Aij Aij 构成如下构成如下n n阶方阵阶方阵 nnnnnn

12、AAAAAAAAAA212221212111称为称为(chn(chn wi) wi)矩阵矩阵A A的伴的伴随矩阵随矩阵. .,)(nnijaA 设有设有n阶方阵阶方阵A由行列式由行列式 中中 *A注意注意: :伴随阵伴随阵与原矩阵与原矩阵A元素位置的对应关系元素位置的对应关系.第19页/共61页第二十页，共61页。.EAAAAA 设设A为为n阶方阵，阶方阵，A*为其伴随为其伴随(bn su)矩阵，则矩阵，则2. 基本基本(jbn)定定理理,11 AAA且且.的伴随阵的伴随阵是是其中其中AA 设设A为为n阶方阵阶方阵(fn zhn)，则，则,0 AA可逆可逆或或若若(EAB 设设A、B 都是都是

13、n阶方阵，阶方阵，.1 AB则则, )EBA 第20页/共61页第二十一页，共61页。 AA且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若, 0,2 且且也可逆也可逆则则为同阶可逆矩阵为同阶可逆矩阵若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA .,1111AAAA 且且也可逆也可逆则则可逆可逆若若3. 可逆矩阵可逆矩阵(j zhn)的性质的性质 .,4AAAAT 且且也可逆也可逆则则可逆可逆若若TT1 1 .,511 AAA则有则有可逆可逆若若 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A第21页/共61页第二十二页，共61页。(1)利用定义利用定义(dngy)（一般适用于（一般适用于证明题）证

14、明题） (2)(3)待定系数法待定系数法(3)(4) 初等变换法初等变换法:步骤如下步骤如下 ;21AAA 利用公式利用公式4. 逆矩阵逆矩阵(j zhn)的计算方的计算方法法);()1(EAM构造矩阵构造矩阵1,)()2( AEEAEA对应部分即为对应部分即为右边右边后后单位矩阵单位矩阵化为化为将将施行初等行变换施行初等行变换对对M第22页/共61页第二十三页，共61页。.21tAAAA tAOAOAA21设方阵设方阵(fn zhn)分块对角矩阵分块对角矩阵(j zhn)的性质的性质则则 1. 可可逆逆，且且即即矩矩阵阵则则如如果果AAtiAi, 0, 2 , 10 .21 tAAAAoo1

15、 1 1 1 2. ktkkkAOAOAA21. 3 四、分块矩阵四、分块矩阵第23页/共61页第二十四页，共61页。 nn 0000002211特殊地，如果特殊地，如果 是对角矩阵是对角矩阵当且仅当当且仅当nn ,2211都不为零时，都不为零时， 是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且 11221111000000nn knnkkk 0000002211则则第24页/共61页第二十五页，共61页。矩阵矩阵(j zhn)(j zhn)的初等变换包括的初等变换包括3 3种：对换变换、数乘变换种：对换变换、数乘变换和倍加变换。这三种和倍加变换。这三种(sn zhn)初等变换的过程都是可逆的，初等变换的过程都

16、是可逆的，且其逆变换是同一且其逆变换是同一(tngy)类型的初等变换类型的初等变换. . .列标列标五、矩阵的初等变换与初等矩阵五、矩阵的初等变换与初等矩阵1.初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵nmrOOOE 设设A是一个是一个 非零矩阵，那么非零矩阵，那么A一定一定nm 可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最简形，再进行初等列变换化为如下标准形：简形，再进行初等列变换化为如下标准形：其中其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.第25页/共61页第二十六页，共61页。注意：初等变换不改变注意：初等变换不改变(gibi

17、n)矩阵的可逆矩阵的可逆性。性。 对于任何一个对于任何一个(y )非零矩阵非零矩阵,都可以先进行初等行都可以先进行初等行变换化变换化为行阶梯形及行最简形为行阶梯形及行最简形,再进行再进行(jnxng)初等列变换化为标准形初等列变换化为标准形.第26页/共61页第二十七页，共61页。A的右边的右边(yu bian)乘以相应的乘以相应的n阶初等矩阶初等矩阵阵.nm 设设A是一个是一个 矩阵，对矩阵，对A 施行一次施行一次初等初等(chdng)行变换，相当于在行变换，相当于在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶阶初等矩阵；对初等矩阵；对A施行施行(shxng)一次初等列变换，相当于在一次初等列变换

18、，相当于在ECCACRRRts 2121121121)()( tsCCCERRRA1112111121 CCCRRRtsn阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是存在有限可逆的充要条件是存在有限.,2121llPPPAPPP 使得使得个初等矩阵个初等矩阵第27页/共61页第二十八页，共61页。六、矩阵的秩六、矩阵的秩求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)利用定义：寻找利用定义：寻找(xnzho)矩阵中矩阵中非零子式的最高阶数非零子式的最高阶数(2)初等变换法：把矩阵用初等行变换初等变换法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩中非零行的行

19、数就是矩阵的秩第28页/共61页第二十九页，共61页。对于对于(duy)n阶方阵阶方阵A，如果，如果A的秩等于的秩等于n，则称，则称A为满秩矩阵为满秩矩阵(j zhn)，否则称为降秩矩阵，否则称为降秩矩阵(j zhn). ;)(nAR ;0 AA为可逆矩阵为可逆矩阵(j zhn).对于对于n阶方阵阶方阵A，下列命题等价：，下列命题等价：(1)A为满秩矩阵；为满秩矩阵；(2)(3)(4)第29页/共61页第三十页，共61页。第三章 线性方程组第30页/共61页第三十一页，共61页。( )nAR=( )nAR有无穷多解有无穷多解. .b bAx = =非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx ;有有

20、唯唯一一解解bAx BRAR (1)无解无解(2)并且并且(bngqi)通解中有通解中有n-r个自由未知量个自由未知量. 其中其中(qzhng) bABM ( )( )BRAR=有解有解:第31页/共61页第三十二页，共61页。非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 的具体的具体(jt)解解法：法： (1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较比较 以及以及n之间的大小关系，从而判断之间的大小关系，从而判断(pndun)方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。 BRAR、 (2)在判断有解的情况下，继续对行阶

21、梯形矩阵施在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应对应(duyng)的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多多个解，需写出通解形式。个解，需写出通解形式。第32页/共61页第三十三页，共61页。bxAnn 0 A当当m = n 时，时，n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是系数有惟一解的充分必要条件是系数(xsh)(xsh)矩阵矩阵A A的行列式的行列式第33页/共61页第三十四页，共61页。( )nAR=( )nAR齐次线性方程组齐次线性方

22、程组 一定一定(ydng)(ydng)有解：有解：0 Ax(1)(2)并且并且(bngqi)通解中有通解中有n-r个自由未知量个自由未知量. 0 Ax0 Ax只有只有(zhyu)零零解解有非零解有非零解第34页/共61页第三十五页，共61页。齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax的具体的具体(jt)解解法：法： (1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较比较 与与n之间的大小关系之间的大小关系(gun x)，从而判断方程组解，从而判断方程组解的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。 AR (2) 继续

23、对行阶梯形矩阵施行初等继续对行阶梯形矩阵施行初等(chdng)行变换，行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。式。第35页/共61页第三十六页，共61页。;0 A当当m = n 时，时，(1)齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)只有只有(zhyu)零解零解(2)齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)有非零解有非零解.0 A当当m n 时，时，即方程即方程(fngchng)个数小于未知量个数时，个数小于未知量个数时，齐次线性方程组齐次线性方

24、程组(3.2)必有非零解必有非零解. )(nmAR 第36页/共61页第三十七页，共61页。第四章第四章 向量向量(xingling)(xingling)组的线性组的线性 相关性相关性第37页/共61页第三十八页，共61页。设设n维向量维向量(xingling),s21,skkk21sskkk2211如果如果(rgu)存在一组数存在一组数使得使得(sh de)s,21则称向量则称向量是向量组是向量组的线性组合或称向的线性组合或称向s,21可由向量组可由向量组线性表示线性表示. 量量第二节第二节 向量组的线性相关向量组的线性相关性性一、线性表示一、线性表示第38页/共61页第三十九页，共61页。

25、s,21向量向量可由向量组可由向量组线性表示线性表示 .BRAR的充分必要条件是矩的充分必要条件是矩阵阵sA,21的秩等的秩等Bs,21于矩于矩阵阵的秩，即的秩，即 说明：判断某个向量是否可由某向量组线性表说明：判断某个向量是否可由某向量组线性表示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等，所以该问题最终可利用等，所以该问题最终可利用(lyng)初等行变换化增广矩初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来解决阵为阶梯形矩阵来解决. 第39页/共61页第四十页，共61页。0221

26、1sskkk,s21对于对于n维向量维向量组组如果如果(rgu)存在一组存在一组使使得得,skkk21不全为零的不全为零的数数021skkks,21s,21则称向量则称向量组组线性相关线性相关. 如果如果(rgu)上式只上式只有当有当时才成立时才成立(chngl),则称则称向量组向量组线性无关线性无关. 二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关第40页/共61页第四十一页，共61页。.)(sAR 条条件件是是线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组s ,21的秩小于的秩小于矩阵矩阵条件是它所构成的条件是它所构成的),(21s A ;)(sAR, s 即即向量个数向量个数必要必要向量

27、组线性无关的充分向量组线性无关的充分 于是判断某向量于是判断某向量(xingling)组的线性相关性，可归组的线性相关性，可归结为齐次线性方程组是否有非零解，从而取决于方程结为齐次线性方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换组系数矩阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决. 第41页/共61页第四十二页，共61页。nA,21的充分必要条件的充分必要条件(b yo tio jin)是它所构成的矩阵是它所构成的矩阵;0A的行列式等于零，即的行列式等于零，即向量向量(xingling)组线性无关的充分必组线

28、性无关的充分必,ns n,21若若 则则n 个个n 维向维向量量线性相关线性相关. 0A要条件是要条件是,ns 即向量组中向量个数大于向量维数时，即向量组中向量个数大于向量维数时，若若向量向量(xingling)组必线性相关组必线性相关. ,21sA 事实上，记事实上，记 ，因因为为snAR .,21线性相关线性相关故故s第42页/共61页第四十三页，共61页。 Bs,:21 221sAs,: (1) 向量组向量组线性相关线性相关(A)中至少中至少(zhsho)有一个向量能由其余有一个向量能由其余线性相关，则向量线性相关，则向量(xingling)的充分的充分(chngfn)必要条件是：必要条

29、件是： sA,:21线性无关，而向量组线性无关，而向量组(2)设向量组设向量组向量线性表示向量线性表示.一定可由向一定可由向量组量组(A)线性表示，且表示式是惟一的线性表示，且表示式是惟一的. 三、相关定理三、相关定理第43页/共61页第四十四页，共61页。设有向量设有向量(xingling)组组 ,s:21Arjjj,21而而是是(A)的部分的部分(b fen)向量组向量组 ,如果如果(1) rjjj,21线性无关；线性无关；(2) 对于向量组对于向量组 (A) 中的任何一个向量中的任何一个向量 ,k都有都有 kjjjr,21线性相关，则称线性相关，则称 rjjj,21为向量为向量组组(A)

30、的一个的一个(y )极大线性无关组，简称极大无关组极大线性无关组，简称极大无关组. 注意：注意：在条件在条件(1)下，下，(2)和下述条件等价：和下述条件等价： )(2对于向量组对于向量组 (A) 中的任何一个向量中的任何一个向量 ,k都可由都可由rjjj,21线性表出线性表出.第三节第三节 极大线性无关组极大线性无关组第44页/共61页第四十五页，共61页。向量组向量组 s,:21A的极大性无关组的极大性无关组所含向量所含向量(xingling)的个数，称为向量的个数，称为向量(xingling)组的秩，记为组的秩，记为 s,21Rn阶方阵阶方阵(fn zhn)A可逆的充分必要条件是可逆的充

31、分必要条件是 A的行的行(列列)向量向量(xingling)组线性无关组线性无关.向量组秩的求法：向量组秩的求法：通过求向量组构成的矩阵的秩来通过求向量组构成的矩阵的秩来求该向量组的秩及其极大线性无关组求该向量组的秩及其极大线性无关组. 第45页/共61页第四十六页，共61页。第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构(jigu)(jigu)一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构(jigu) 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(4.1)如果如果(rgu)n元齐次线性方程组（元齐次线性方程组（4.1）的系数）的系

32、数矩阵矩阵A的秩的秩 , nrAR则方程组（则方程组（4.1）的基础）的基础. rn(证明略证明略)解系一定存在，且基础解系含的解向量的个数为解系一定存在，且基础解系含的解向量的个数为 第46页/共61页第四十七页，共61页。齐次线性方程组基础齐次线性方程组基础(jch)解系的求法解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为 最简形最简形A第47页/共61页第四十八页，共61页。 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于(yuy)令令.,xxxnrr 10001

33、000121MMMM（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量 rAR rn 第48页/共61页第四十九页，共61页。,bbr 0011111MM ,bbr 0102122MM .bb,rn ,rrn ,rn 1001MM 故故, 12121111 rnrrnrrrbbbbbbxxMMMM得得为齐次线性方程组的一个为齐次线性方程组的一个(y (y )基础解系基础解系. .齐次线性方程组的通解齐次线性方程组的通解(tngji)为为1122sn rk k k 第49页/共61页第五十页，共61页。二、非齐次线性方

34、程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构(jigu)mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（4.5） 性质性质4.4导出组导出组 (4.1)的解的解. 为为(4.5)的解，则的解，则 21xx，设设21 是其是其 性质性质4.5的解，则的解，则 设设 为为(4.5)的解，的解，x x 是其导出组是其导出组 (4.1) 也是也是(4.5)的解的解. 第50页/共61页第五十一页，共61页。设设 *是非齐次方程组是非齐次方程组(4.5)的一个取定的解的一个取定的解(称为称为(chn wi)特解特解)， 是其导出组（是其导出组（4.1）

35、的通解，则方程组）的通解，则方程组 (4.5)的通解为的通解为x*说明：此定理说明：此定理(dngl)表明表明非齐次方程组的通解非齐次方程组的通解(tngji) = 齐次方程组齐次方程组的通解的通解(tngji) +非齐次方程组的特非齐次方程组的特解解 第51页/共61页第五十二页，共61页。第52页/共61页第五十三页，共61页。一、一、 向量向量(xingling)的的内积内积设有设有n 维向量维向量(xingling) ,nnyyyyxxxxMM2121 1122,Tnnx yx yx yx yxy 令令 ., yxyx的的与与为为向向量量称称内内积积,22221nxxxxxx令令 .

36、xnx或或的的维维向向量量为为称称长度长度范数范数.,0, yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交第53页/共61页第五十四页，共61页。 .,1 AAAEAAn TT正交矩阵正交矩阵为为称称则则即即阶矩阵满足阶矩阵满足如果如果 向量向量(xingling)都是单位向量都是单位向量(xingling)且两两正交且两两正交矩阵矩阵(j zhn)A为正交矩阵为正交矩阵(j zhn)的充要条件是的充要条件是 A 的列的列(行行)第54页/共61页第五十五页，共61页。求矩阵求矩阵(j zhn)特征值与特征向量特征值与特征向量的步骤：的步骤： ;det. 1EAA 的特征多项式的特征多项式计算计算 ;,0det. 221的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AEA n .xEA iii的特征向量的特征向量就是对应于就是对应于的非零解的非零解求齐次方程组求齐