第5章-频域分析法

1、2021/3/231第5章 频域分析法 本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法,是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。 5.1 频率特性2021/3/232（5.1）（5.2） u(t)和y(t)虽然频率相同,但幅值和相位不同,并且随着输入信号的角频率的改变,两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。2021/3/233 设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式（5.3）（5.4）（5.5）（5.6）2021/3/234（5.7）（5.8）（5.9）2021/3/235（5.10）（5.11）来统一表示,即2

2、021/3/236 G(j)还可以用直角坐标形式来表示: 的实部,它也是的函数,称为实频特性; 的虚部,同样也是的函数,称为虚频特性。2021/3/237 5.1.1 幅相频率特性(奈氏图) 5.1.2 对数频率特性(伯德图) 在工程上,常常将 分别表示在两个图上,且由于这两个图在刻度上的特点,被称作对数幅频特性图和对数相频特性图。2021/3/238 (1)对数幅频特性 (2)对数相频特性 5.1.3 对数幅相频率特性(尼柯尔斯图) 5.2 频率特性的极坐标图 （Nyquist图） 5.2.1 基本概念2021/3/239 如图5.1(a)中G(j)曲线所示。由这条曲线形成的图像就是频率特性

3、的极坐标图,又称为G(j)的幅相频率特性。 如果G(j1)以直角坐标形式表示,即 因此,习惯上把图5.1(b)的G(j)曲线也叫做G(j)的极坐标图。2021/3/2310图5.1 频率特性G(j)的图示法（a）G(j)的极坐标图示法;（b）G(j)的直角坐标图示法2021/3/2311 5.2.2 典型环节频率特性的极坐标图 (1)比例环节 所以比例环节的频率特性为:（5.13）2021/3/2312图5.2 比例环节频率特性极坐标图2021/3/2313图5.3 积分环节频率特性极坐标图2021/3/2314 (2)积分环节 积分环节的频率特性为: (3)微分环节 微分环节的频率特性为:（

4、5.14）（5.15）2021/3/2315图5.4 微分环节频率特性极坐标图2021/3/2316 (4)一阶惯性环节 一阶惯性环节的频率特性为: (5)二阶振荡环节 二阶振荡环节的频率特性为（5.16）（5.17）2021/3/2317图5.5 惯性环节频率特性极坐标图2021/3/2318 相应的幅频特性和相频特性为: 据上述表达式可以绘得二阶振荡环节频率特性的极坐标图如图5.6所示。（5.18）2021/3/2319 图5.6的曲线簇表明,二阶振荡环节的频率特性和阻尼比有关,大时,幅值M()变化小;小时,M()变化大。此外,对于不同的值的特性曲线都有一个最大幅值Mr存在,这个Mr被称为

5、谐振峰值,对应的频率r称为谐振频率。2021/3/2320图5.6 二阶振荡环节频率特性极坐标图2021/3/2321 (6)延迟环节 其频率特性为: 相应的幅频特性和相频特性为:（5.19）2021/3/2322图5.7 延迟环节频率特性极坐标图2021/3/2323 5.2.3 系统的开环频率特性极坐标图 已知反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s),将G(s)H(s)中的s用j来代替,便可求得开环频率特性G(j)H(j),在绘制开环幅相频率特性曲线时,可将G(j) H(j)写成直角坐标形式:2021/3/2324 或写成极坐标形式: 给出不同的,计算出相应的R()、I()或者M()和

6、 ,即可得出极坐标图中相应的点,当从0变化时,即可求得系统的开环幅相频率特性图(奈奎斯持图,简称奈氏图),图中的特性曲线简称为奈氏曲线。2021/3/2325 根据开环系统传递函数中积分环节的数目v的不同(v0,1,2),控制系统可以分为0型系统、型系统、型系统、型系统等。 （1）0型系统的开环奈氏曲线 其频率特性为:（5.20）2021/3/2326 (2)型系统的开环奈氏曲线（5.21）2021/3/2327 其频率特性为:（5.22）（5.23）2021/3/2328图5.10 型系统的奈氏图2021/3/2329 (3)型系统的开环奈氏曲线 其频率特性为:（5.24）（5.25）202

7、1/3/2330 (4)总结 1)奈氏曲线的低频段（5.26）2021/3/2331图5.11 型系统的奈氏图2021/3/2332 2)奈氏曲线的高频段（5.27）（5.28）2021/3/2333 3)奈氏曲线与实轴和虚轴的交点 4)奈氏曲线的中频段（5.29）（5.30）2021/3/2334图5.12(a)奈氏曲线高频段的形状; (b)奈氏曲线低频段的形状2021/3/2335图5.13 中频段特性形状的多种变化2021/3/2336 例如,设型系统的开环频率特性为: 若型系统的开环频率特性为:2021/3/23372021/3/2338 5.3 奈奎斯特稳定判据及稳定裕 度 5.3.

8、1 奈奎斯特稳定性判据的基本原 理 奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环奈氏曲线,判断闭环系统稳定性的一个判别准则,简称奈氏判据。2021/3/2339 (1)特征函数F(S)1+G(s)H(s)和F平面（5.35）（5.31）（5.32）（5.33）（5.34）2021/3/2340图5.15 从S平面到F平面的映射关系(保角变换)（a）S平面;（b）F 平面2021/3/2341 （2）幅角原理和公式NP Z 矢量F(s)的幅角是 矢量F(s)的幅角改变量为（5.37）（5.36）（5.38）2021/3/2342 式(5.38)表明,当S平面上的变点s沿符合前述条件的封闭曲线C按顺时针方向

9、绕行一圈时,F平面上对应的封闭曲线C 将按顺时针方向包围原点(Z-P)次。这一重要性质可概括为如下的公式（5.39）2021/3/2343 式(5.39)也可改写成 上式表明,当已知特征函数F(s)的极点也即已知开环传递函数G(s)H(s)的极点在S平面上被封闭曲线C包围的个数P及已知矢量F(s)在F平面上包围坐标原点的次数N,即可求得特征函数F(s)的零点(也即闭环传递函数的极点)在S平面被封闭曲线C包围的个数。式(5.40)是奈氏判据的重要理论基础。（5.40）2021/3/2344图5.16 F平面上F(s)端点形成的封闭曲线(a)N2; (b)N0 ; (c)N02021/3/2345

10、 (3)奈氏轨迹及其映射 为了使特征函数F(s)在S平面上的零点、极点分布及在F平面上的映射情况与控制系统稳定性分析联系起来,必须适当选择S平面上的封闭曲线C。显然Z值应等于零。 包围整个右半S平面的封闭曲线如图5.17所示,它是由整个虚轴和半径为的右半圆组成。变点S按顺时针方向移动一圈,这样的封闭曲线称为奈奎斯特轨迹。2021/3/2346图5.17 S平面的奈奎斯特轨迹2021/3/2347图5.18 F平面的奈奎斯特曲线 F ( j)曲线2021/3/2348 对于图5.17 S平面上半径为的右半圆,映射到F平面上的特征函数F(s)为: 上述判别闭环系统稳定性的方法可以进一步简化。由于特

11、征函数F(s)定义为:（5.41）（5.42）（5.43）2021/3/2349图5.19 GH平面的奈氏曲线2021/3/2350 式5.43表明,F平面上的曲线F ( j)如果整个地向左平移1个单位,便可得到GH平面上的G ( j)H ( j)曲线,这就是系统的奈氏曲线图,如图5.19所示。 前面已经说明,为了使闭环系统稳定,特征函数F(s)1+G(s) H (s)的零点都应位于s平面的左半部分,也就是说,式(5.40)中的Z应等于零,因此式(5.40)应改变为:2021/3/2351 式5.44是奈奎斯特稳定性判据的基本出发点。 5.3.2 奈奎斯特稳定性判据 (1)奈奎斯特稳定性判据1

12、 应用奈奎斯特稳定性判据判别闭环系统稳定性的一般步骤如下:（5.44）2021/3/2352 绘制开环频率特性G (j) H (j)的奈氏图,作图时可先绘出对应于从0+的一段曲线,然后以实轴为对称轴,画出对应于-0的另外一半。 计算奈氏曲线G (j) H (j)对点(-1,j0)的包围次数N。 由给定的开环传递函数G(s) H(s)确定位于s平面右半部分的开环极点数P。 应用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性。2021/3/2353 (2)奈奎斯特稳定性判据2 位于无限小半圆上的变点s可表示为（5.45）（5.46）（5.47）2021/3/2354图5.23 绕过位于原点上的极点的奈氏轨迹(a

13、)修改后的奈氏轨迹; (b)无限小半圆的放大图2021/3/2355 现对不同类型的系统(型系统、型系统 )分别讨论如下:2021/3/2356图5.24 型系统的奈氏曲线2021/3/2357 2)型系统 型系统的v2,与上述分析类似,不同的是这时的奈氏曲线的增补段,是从 按顺时针方向到 的无限大半径的圆弧,如图5.25所示。2021/3/2358图5.25 型系统的奈氏曲线2021/3/2359 (3)系统开环传递函数的极点都在S平面左半部分的稳定性判别 这种情况下,系统是称为开环稳定的,又称为最小相位系统,即P 0。 图5.28描述了开环稳定(即最小相位系统)的0型、型和型系统的奈氏曲线

14、图。2021/3/2360图5.28 简化奈氏图作图与稳定性判别示例(a)0型系统;(b)型系统;(c)型系统2021/3/2361 (4)利用奈氏判据确定稳定系统可变参数的取值范围 如果系统中有某一个参数(或某几个参数)可以在一定范围内取值,其取值范围可以根据奈氏判据的要求来选择,即为了使闭环系统稳定,可以根据奈氏曲线通过(-1,j0)点的这一条件来选定参数。2021/3/2362图5.29 闭环控制系统2021/3/2363 例7 设有如图5.29的闭环控制系统,为使闭环系统稳定,试用奈氏判据求出比例控制器的Kp的取值范围(Kp0),设受控对象的传递函数为:2021/3/2364 解 系统

15、的开环传递函数为: 开环频率特性为: 实频特性和虚频特性为:2021/3/2365 假设奈氏曲线G (j) H(j)曲线通过(-1,j0)点,则得到临界稳定的情况,如图5.30所示,这时: 解上面两式,可得2021/3/2366图5.30 例7的奈氏曲线2021/3/2367 (5)系统具有迟延环节的稳定性分析 对于具有迟延环节的控制系统,其开环传递函数包含有迟延环节的传递函数e-s,因此开环传递函数一般由下式描述:2021/3/2368 为不含迟延环节的传递函数。系统的开环频率特性可表示为:（5.48）2021/3/2369 5.3.3 频域法分析系统的相对稳定性（5.51）（5.52）20

16、21/3/2370 根据奈氏判据已知,如果系统的开环传递函数没有极点在右半S平面上,则闭环系统稳定的充分必要条件是系统的开环幅相频率特性G (j) H (j)不包围 (-1,j0)点。 稳定裕量通常用下面定义的相位裕量和增益裕量来度量。2021/3/23712021/3/2372 （1）相位裕量(PhaseMagin常简写为PM) 设一稳定系统的奈氏曲线G (j) H(j)曲线与负实轴相交于G点,与单位圆相交于C点,如图5.34所示。C点处的频率c称为增益穿越频率,又称为剪切频率。c处的相角 与-180(负实轴)的相角差称为相位裕量PM,即2021/3/2373图5.34 稳定系统的奈氏曲线2

17、021/3/2374图5.35 不稳定系统的奈氏曲线2021/3/2375 （2）增益裕量(GainMargin常简写为GM) 当奈氏曲线与负实轴相交于G点时,如图5.34所示,G点的频率g称为相位穿越频率,又称为相位交界频率。这时g处的相角 幅值为|G(jg) H(jg)|。定义|G(jg) H(jg)| 的倒数为增益裕量GM,并用Kg表示,即:（5.53）2021/3/2376 5.4 频率特性的对数坐标图（Bode图） 5.4.1 基本概念 频率特性的对数坐标图是频率特性的另一种重要图示方式。 频率特性对数坐标图是将开环幅相频率特性G(j) H(j)写成（5.54）2021/3/2377

18、 将幅频特性M()取以10为底的对数,并乘以20得L(),单位为分贝(dB),即（5.56）（5.57）2021/3/2378图5.36 对数频率特性图(伯德图)(a)对数幅频特性;(b)对数相频特性2021/3/2379 在对数相频特性图中,以 为纵坐标,以为横坐标,横坐标也是以对数分度,纵坐标用等刻度分度。这样,与对数幅频特性一样,也形成一个半对数坐标系。如图5.36(b)所示,将对数幅频特性 L() -和对数相频特性 -合称为对数频率特性图,又称为伯德图(Bode图)。2021/3/2380图5.37 半对数坐标2021/3/2381图5.37 半对数坐标2021/3/2382 每个10

19、倍频程中,与lg的对应关系如表5.1所列。2021/3/2383 对数幅频特性的“斜率”是指频率改变倍频或十倍频时L()分贝数的改变量,单位是dBoctave (分贝/倍频)或dBdec (分贝/十倍频),一般dBoctave较少采用,常用的是dBdec。图5.37中纵坐标L()= 20lgM(),称为增益。M()每变化10倍,L()就变化20分贝（dB）。“斜率”的概念在具体绘制伯德图时很有用。 2021/3/2384 使用对数频率特性表示法的第2个优点是可以大大简化绘制系统频率特性的工作。 5.4.2 典型环节频率特性的伯德图 (1)比例环节(K) 比例环节的伯德图如图5.38所示。（5.

20、58）2021/3/2385图5.38 比例环节的伯德图2021/3/2386 （2）积分环节 和微分环节(s)（5.59）（5.60）2021/3/2387图5.39 积分环节(1/s)和微分环节(s)的伯德图2021/3/2388 (3)一阶惯性环节 和比例微分环节(1+Ts) 一阶惯性环节的对数幅频特性和相频特性分别为: 1)当T1时(低频时),则由式(5.61)可得:（5.61）2021/3/2389 2)当T1时(高频时),则由式(5.61)可得: 当T1时,式(5.62)可进一步近似为: 在2/T,即T2处,精确值为:（5.62）（5.63）2021/3/2390图5.40 惯性环

21、节 的伯德图2021/3/2391 比例微分环节(1+Ts)的对数幅频特性和相频特性为:（5.64）2021/3/2392图5.41 一阶惯性环节的对数幅额特性曲线采用渐 近线时的误差值2021/3/2393图5.42 比例微分环节(1+Ts)的伯德图2021/3/2394 二阶振荡环节的对数幅频特性和相频特性为: 当n时,(低频段),由式(5.65)可得: 当n时,(高频段),由式(5.65)可得:（5.65）2021/3/2395 从图5.44可以看出,渐近线的误差在=n附近为最大,并且值越小,误差越大。当0时,误差将趋近于无穷大。2021/3/2396图5.44 二阶振荡环节幅频特性的误

22、差曲线2021/3/2397 其幅频和相频特性为: 5.4.3 系统开环伯德图的绘制 例9 设系统的开环传递函数为: 试绘制开环对数频率特性图(伯德图)。（5.66）2021/3/2398 解 从系统的开环传递函数 G(s) H(s)可知,系统由比例环节(4)、积分环节 惯性环节 比例微分环节(0.5s+1)和二阶振荡环节 等5个典型环节所组成,除比例环节和积分环节无转角频率外,其余3个典型环节的转角频率依大小排列分别为1=0.5,2=2,3=8。因此,可将开环频率特性按以下次序排列来绘制伯德图。2021/3/23992021/3/23100 将开环传递函数分成5个典型环节相乘后,可得开环对数

23、幅频特性和相频特性分别为:2021/3/23101 上式中,二阶振荡环节的参数为=0.2,n8 各环节及开环系统的伯德图均表示在图5.46的半对数坐标系上。 将L1()L5()叠加,即可求得开环对数幅频特性曲线,如图5.46(a)所示的实线L()。2021/3/23102图5.46 例9的伯德图2021/3/23103图5.46 例9的伯德图2021/3/23104 绘制开环对数相频特性曲线时,先作出各环节的相频特性曲线 然后进行代数相加,如图5.46(b)所示 的 。 如果要求得到精确的对数幅频特性,可在各转角频率处根据图5.41和图5.44加以修正。2021/3/23105 由上述例题可见

24、,串联环节的对数幅频特性也可以直接绘出。从典型环节的对数幅频特性可见,在低频段,惯性、振荡和比例微分等环节的低频渐近线,均为零分贝线。因此,对数幅频特性L()的低频段主要取决于比例环节和积分环节(理想微分环节一般很少出现)。而在1处,积分环节2021/3/23106 为过零点,因此在1处,对数幅频特性的高度仅取决于比例环节。即L()|=1= 20lgK,此时的斜率,则主要取决于积分环节的多少,每多一个积分环节,则斜率便降低-20dBdec。若有V个积分环节,则在1处的斜率便为-20VdBdec。在确定 了低频段以后,往后若遇到一阶惯性环节,2021/3/23107 经交接频率,L()的斜率便降

25、低-20dBdec;遇到二阶振荡环节,过交接频率,则斜率便降低-40dBdec;若遇到比例微分环节,过交接频率,则斜率增加+20dBdec。这样,掌握了以上规律,就可以直接画出串联环节的总的渐近对数幅频特性。其步骤是:2021/3/23108 分析系统是由哪些典型环节串联组成的,将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。即各典型环节传递函数的常数项为1。 根据比例环节的K值,计算20lgK。 在半对数坐标纸上,找到横坐标为1、纵坐标为 的点,过该点作斜率为-20VdBdec的斜线,其中V为积分环节的数目。2021/3/23109 计算各典型环节的转角频率,将各转角频率按由低到高的顺序进行排列,并

26、按下列原则依次改变L()的斜率: 若过一阶惯性环节的转角频率,斜率减去20dBdec; 若过比例微分环节的转角频率,斜率增加20dBdec; 若过二阶振荡环节的转角频率,斜率减去40dBdec。 如果需要,可对渐近线进行修正,以获得较精确的对数幅频特性曲线。2021/3/23110 5.4.4 最小相位系统和非最小相位系统 如果系统的开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点,则称为最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统,称为最小相位系统。例如,具有下列开环传递函数的系统是最小相位系统:2021/3/23111 开环传递函数在右半S平面上有一个(或多个)极点和零点,称为非最小相位传递函数。

27、例如,具有下列开环传递函数的系统为非最小相位系统:2021/3/23112 显然,最小相位系统的相角变化为最小。 自动控制系统中迟延环节是最常见的非最小相位传递函数。 5.5 用开环频率特性分析系统的 性能 5.5.1 系统开环对数频率特性与闭环 稳定性的关系 (1)用伯德图确定稳定裕量2021/3/23113图5.48 稳定系统的伯德图2021/3/23114图5.49 不稳定系统的伯德图2021/3/23115 在伯德图中,增益裕量通常用分贝数来表示,即: 对于稳定系统, (见图5.34),所以 为负,由式(5.68)可知,增益裕量 是正的,我们称增益裕量是正的,用 来表示。（5.68）2

28、021/3/23116 对于不稳定系统,在伯德图上表示相位裕量和增益裕量Kg(dB),可用上述同样的方法参照图5.35的奈氏图来对应确定,如图5.49所示。 增益裕量和相位裕量通常作为设计控制系统的频域性能指标。2021/3/23117 实践表明,当GM和PM在下列范围内取值时,控制系统一般可以得到较为满意的动态性能。 (2)伯德定理简介 线性最小相位系统的幅频特性是一一对应的。2021/3/23118 在某一频率(例如剪切频率c)上的相位移,主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率;离该频率越远,斜率对相位移的影响越小。 5.5.2 系统开环对数频率特性与闭环 稳态误差的关系 对于一定的输入

29、信号,控制系统的稳态误差与系统的类型及开环放大系数K有关。 (1)0型系统2021/3/23119图5.50 使幅频渐近线以-20dBdec斜率通过剪切 点的例子2021/3/23120 其对数幅频特性为 从图中可以看出,0型系统的对数幅频特性在低频段有如下特征: 低频段渐近线斜率为0(dBdec),高度为20lgKP;（5.69）2021/3/23121图5.51 0型系统的对数幅频特性2021/3/23122 如果已知幅频特性曲线低频段的高度,就可由式(5.69)求出位置误差系数KP,从而可求出系统的稳态误差ess。 (2)型系统 其对数幅频特性为:（5.70）2021/3/23123图5

30、.52 型系统的对数幅频特性2021/3/23124 型系统的对数幅频特性曲线在低频段有以下特征: 渐近线斜率为-20(dBdec); 渐近线(或其延长线)与0(dB)线(即轴)的交点为KV,由此可以求出系统的稳态速度误差系数KV,从而进一步可求出系统的稳态误差ess;2021/3/23125 渐近线(或其延长线),在1时的幅值为20lgKV,由此也可以求得速度误差系数KV,从而可求出稳态误差ess。 (3)型系统 其对数幅频特性为:（5.71）2021/3/23126图5.53 型系统的对数幅频特性2021/3/23127由此可以求出系统的稳态加速度误差系数Ka,从而可以求出系统的稳态误差e

31、ss。渐近线(或其延长线)在1时的幅值为20lgKa,由此也可以求出系统的稳态加速度误差系数Ka及稳态误差ess。5.5.3 开环对数频率特性与系统时域性 能之间的关系2021/3/23128图5.54 对数幅频特性曲线的3个频段的划分2021/3/23129 (1)伯德图的对数幅频特性曲线中频段(剪切频率c附近的频段)与系统动态性能的关系 所谓中频段宽度h定义为 设一系统的开环频率特性为:（5.72）（5.73）2021/3/231302021/3/23131 图5.56给出了典型二阶系统的结构图,对数幅频特性图和时域的阶跃响应曲线。由图5.56 (a)可知,二阶系统的开环传递函数为:（5.

32、74）（5.75）2021/3/23132 (2)频域性能指标相位裕量与时域性能指标超调量P和调整时间ts的定量关系 1)相位裕量(c)与超调量P之间的定量关系。2021/3/23133图5.57 二阶系统开环对数幅频特性2021/3/23134（5.76）（5.77）（5.78）（5.79）2021/3/23135图5.58 二阶系统相位裕量和阻尼比的关系2021/3/23136 (3)相位裕量(c)与调整时间ts之间的定量关系 调整时间ts的近似表达式为:（5.80）（5.81）2021/3/231372021/3/23138 将式(5.82)的函数关系绘成曲线,如图5.60所示。 (4)高阶系统（5.82）（5.83）（5.84）2021/3/23139 将式(5.83)和(5.84)表示的关系,绘成曲线,如图5.61所示。可以看出,超调