电工学第二章正弦交流电路

1、(1-1)第二章第二章正弦交流电路正弦交流电路(1-2)正弦交流电路：正弦交流电路：是指含有正弦电源是指含有正弦电源（激励）（激励）而且电而且电路各部分所产生的电压和电流路各部分所产生的电压和电流（响应）（响应）都是随时间都是随时间按正弦规律变化的电路。按正弦规律变化的电路。正弦交流电的优越性：正弦交流电的优越性： 便于传输；便于传输； 便于运算；便于运算； 有利于电器设备的运行；有利于电器设备的运行； . . . . .正弦交流电由交流发电机、正弦信号发生器得到正弦交流电由交流发电机、正弦信号发生器得到i = Im sin (w wt + j j i)u = Um sin (w wt + j

2、 j u )e = Em sin (w wt + j j e )正弦量一般数学表达式为：正弦量一般数学表达式为：(1-3)第一节第一节 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念一、正弦量的三要素一、正弦量的三要素二、同频率正弦量的相位差二、同频率正弦量的相位差三、正弦量的有效值三、正弦量的有效值(1-4) i = Im sin (w wt + j j )iIm：电流幅值（最大值）电流幅值（最大值）w w： 角频率（弧度角频率（弧度/秒）秒）j j ：初相位初相位三要素三要素一、正弦量的三要素一、正弦量的三要素j j jImw wt(1-5)w w：角频率，角频率，每秒变化的弧度每秒变化的弧度

3、单位：（弧度单位：（弧度/秒）秒）rad/siTw wtTf =1 w w=2p pfT2p p=T：周期，周期， 变化一周所需的时间变化一周所需的时间 单位：单位：sf：频率，频率， 每秒变化的次数每秒变化的次数 单位：单位：Hz(1-6)* 电网频率：电网频率： 中国中国 50 Hz 美国美国 、日本、日本 60 Hz小小 常常 识识* 有线通讯频率：有线通讯频率：300 - 5000 Hz * 无线通讯频率：无线通讯频率： 30 kHz - 3104 MHz(1-7)初相位：初相位： t = 0 时的相位，或称为时的相位，或称为初相角初相角。ij jw wt通常用小于通常用小于18018

4、0O O 角度表示角度表示说明：初相位说明：初相位给出了观察正弦波的起点或参考给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。(1-8)二、相位差：二、相位差：两个两个同频率正弦量的相位角之差。同频率正弦量的相位角之差。j j2i1w wti2j j1 i 1= I m 1 sin (w(wt + j+ j1 ) ) i 2= I m 2 sin (w(wt + j+ j2 ) ) j j(w (w t + j+ j1 ) ) (w (w t + j+ j2 ) ) j j1 1j j2 2 相位差等于它们相位差等于它们的初相位之差的初相

5、位之差(1-9)两种正弦信号的相位关系两种正弦信号的相位关系同同相相位位j1 = j2相相位位滞滞后后相相位位超超前前DjDj=j=j1-j-j20i1ti2j1j2i1tj2j1i2ti1i2j1j2DjDj=j=j1-j-j20(1-10)三、正弦量的有效值三、正弦量的有效值 但是，在工程应用中常用但是，在工程应用中常用有效值有效值表示交流物理表示交流物理量的大小。常用交流电表指示的电压、电流读数，量的大小。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准相电压就是被测物理量的有效值。标准相电压220220V V，也是也是指供电电压的有效值。指供电电压的有效值。i = Im

6、sin (w wt + j j )瞬时值瞬时值最大值最大值(1-11)dtR2T0i交流交流直流直流RTI2=热效应相当热效应相当有效值概念有效值概念有效值：有效值：用大写字母表示，如用大写字母表示，如 U、I、E则有则有=T02dtT1Ii适用于周期性适用于周期性变化的量变化的量可得可得2mII=i = Im sin (w wt + j j )若：若：(1-12)问题与讨论问题与讨论 电器电器 220V最高耐压最高耐压 =300V 若购得一台耐压为若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用的电器，是否可用于于 220V 的线路上的线路上? ? 该电器最高耐压低于电源电压的最大值该电器最高耐

7、压低于电源电压的最大值，所以，所以不能用！不能用！2有效值有效值 U = 220V 最大值最大值 Um = 220V = 311V 电源电压电源电压(1-13)第二节第二节 正弦量的相量法正弦量的相量法瞬时值表达式瞬时值表达式前两种不便于运算，重点介绍相量表示法前两种不便于运算，重点介绍相量表示法波形图波形图it w w 正弦量的表示方法：正弦量的表示方法：重点重点 相量和相量图相量和相量图i = Im sin (w wt + j j )(1-14) 概念概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的旋转的有向线段有向线段在纵轴上的投影值来表示。在纵轴上的投影值来表示。

8、u = =Um sin (w(wt+j+j ) )j jj jUmw wtUmj j矢量长度矢量长度 = 矢量与横轴夹角矢量与横轴夹角 = 初相位初相位矢量以角速度矢量以角速度按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转取有向线段取有向线段(1-15)相量符号包含相量符号包含幅度幅度与与相位相位信息。信息。相量的书写方式相量的书写方式j有效值相量有效值相量Um&最大值相量最大值相量U &(1-16)例例已知：已知：求：求： i 1+ i 2正弦量计算正弦量计算i 1= I 1 m sin (w(wt + j+ j1 ) ) i 2= I 2 m sin (w(wt + j+ j2 ) ) 同频率正弦波的同

9、频率正弦波的相量画在一起，相量画在一起，构成相量图。构成相量图。j jI2&j j1II1&j j2&(1-17)注意注意 ： 1. 只有正弦量只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。才能用相量表示，非正弦量不可以。2. 只有只有同频率同频率的正弦量才能画在一张相量图上，的正弦量才能画在一张相量图上， 不同频率不行。不同频率不行。新问题新问题提出：提出： 平行四边形法则可以用于相量图运算，但不方便。平行四边形法则可以用于相量图运算，但不方便。故引入故引入相量的复数运算法。相量的复数运算法。 相量相量 复数表示法复数表示法复数运算复数运算 (1-18)相量的复数表示法相量的复数表示法将复数将复

10、数U&放到复平面上，可如下表示：放到复平面上，可如下表示：baU22+=abarctg=j jabj+1U&UU = =a + +jb = = U cos j + j + jU sin j j.(1-19)jjUe.U =j= UU.指数形式指数形式极坐标形式极坐标形式相量表示举例相量表示举例已知已知: : V3314t311.1sinA6314t141.4sin-=+=ui求：求： i 、u 的相量的相量 (1-20)解解：A30100302141.4I&=V60220602311.1U&-=-=I&2203/p p-U&1006/p p相量图相量图(1-21)U t100sin &=u？瞬

11、时值瞬时值复数复数正正 误误 判判 断断(1-22)45210I=已知：已知：)45tsin(10+=i？有效值有效值正正 误误 判判 断断(1-23) 则：则：)50t(sin100+=i已知：已知：&50100I=？最大值最大值2100I2Im=正正 误误 判判 断断(1-24)第三节第三节 单一参数的交流电路单一参数的交流电路一、电阻电路一、电阻电路 uiR根据根据欧姆定律欧姆定律 u = iRu =Ri=R Im sinw wt i =Im sinw wt =2I sinw wt 设设则则(1-25)1. 频率相同频率相同2.相位相同相位相同总结电流、电压的关系总结电流、电压的关系与直

12、流电与直流电路相同路相同U&I&相量图相量图u =Ri=R Im sinw wt i =Im sinw wt =2I sinw wt3. 有效值关系有效值关系：U =I R4. 相量关系相量关系：&U = I R&(1-26)总结功率关系总结功率关系u =Ri=R Im sinw wt 因为：因为：所以：所以：p = u i = R i 2 = u 2 / R小写，瞬时值功率小写，瞬时值功率1. p0 （耗能元件）（耗能元件）结论：结论：2. p随时间变化随时间变化uipw wtw wti= Im sinw wt (1-27)平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）P P：一个周期内的平均值：

13、一个周期内的平均值 =T0T0dtiuT1dtpT1PUIt)dtcos2 UI(1T1dttsinUI2T1T0T02=-=大写大写P = U I与直流电路相同与直流电路相同(1-28)二、电感电路二、电感电路iuL 电感元件的伏安特性电感元件的伏安特性dtdiLu =i =Im sinw wt =2I sinw wt设设dtdi则则u = L2=w wLIcosw wt2=w wLIsin（w wt+90）= Umsin（w wt+90）(1-29)总结电流、电压的关系总结电流、电压的关系1. 频率相同频率相同2. 相位相差相位相差 90 （u 领先领先 i 90 ）3. 有效值有效值U

14、= =Iw wL 感抗感抗（）XL= w wL定义：定义：U= IXL(1-30)U&I&4.相量相量A0II.=90I90UU.L&U = j XLI&j 是是90旋转因子。旋转因子。+j逆时逆时针转针转90，-j顺时针转顺时针转90(1-31)感抗（感抗（XL =L）是频率的函数，是频率的函数， 表示电感的电压、表示电感的电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。关于感抗的讨论关于感抗的讨论 = 0 时时XL = 0e+_LR直流直流E+_R= 时时XL = e+_R(1-32)总结功率关系总结功率关系p = i u = 2UI sinw wtc

15、osw wt =UIsin2w wtui储存储存能量能量P 0P 0w wtw wt结论：结论：纯电纯电感不消耗能感不消耗能量；只和电量；只和电源进行能量源进行能量交换；计算交换；计算其平均功率其平均功率为零。为零。(1-33)Q =UI=I2 XL =U2/XLQ 的单位：的单位： 乏、千乏乏、千乏( (varvar、kvarkvar) ) 无功功率无功功率Q：电感电感瞬时功率瞬时功率所能达到的所能达到的最大值最大值。用。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。以衡量电感电路中能量交换的规模。p = i u = 2UI sinw wtcosw wt =UIsin2w wt因为：因为：所以：所以：

16、(1-34)三、电容电路三、电容电路uiCdtduC i = 电容元件的伏安特性电容元件的伏安特性u =Umsinw wt =2U sinw wt设设dtdui = C 则则2= w wC Ucosw wt2=w wC Usin（w wt+90）= Imsin（w wt+90）(1-35)总结电流、电压的关系总结电流、电压的关系1. 频率相同频率相同2. 相位相差相位相差 90 （i 领先领先u90 ）XC=3. 有效值有效值 容抗容抗（）定义：定义：U= IXC1w wC(1-36)4.相量相量A0II.=&-=-=-= 90XI 90C1I 90UUCI&U&U= -j XC I& & j

17、 是是90旋转因子。旋转因子。+j逆时逆时针转针转90，-j顺时针转顺时针转90(1-37)关于容抗的讨论关于容抗的讨论容抗容抗 是频率的函数，表示电容的电压、是频率的函数，表示电容的电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。XC=w wC1E+-e+-直流直流w w = 0 时时 XC=(1-38)总结功率关系总结功率关系p = i u = -2UI sinw wtcosw wt =-UIsin2w wt结论：结论：纯电纯电容也不消耗容也不消耗能量；只和能量；只和电源进行能电源进行能量交换；计量交换；计算其平均功算其平均功率为零。率为零。充电充电p

18、放电放电放电放电P 0储存储存能量能量uiuiuiui(1-39)Q =UI=I2 XC =U2/XCQ 的单位：的单位： 乏、千乏乏、千乏( (varvar、kvarkvar) ) 无功功率无功功率Q：电容电容瞬时功率瞬时功率所能达到的所能达到的最大值最大值。用。用 以衡量电容电路中能量交换的规模。以衡量电容电路中能量交换的规模。因为：因为：所以：所以：p = i u = -2UI sinw wtcosw wt =-UIsin2w wt以电流为以电流为参考量时参考量时电容性电容性无功功率取无功功率取负负值值电感性电感性无功功率取无功功率取正正值值(1-40)在电阻电路中：在电阻电路中：正正

19、误误 判判 断断Rui =？RU=iRUI =？瞬时值瞬时值有效值有效值(1-41)正正 误误 判判 断断在电感电路中：在电感电路中：？LXui=Lui =LUI =LXIU=&LjIU=？ (1-42)根据根据KVL：u= uR + uL +uCLCuRuLuCiuR第四节第四节 RLCRLC串、并联电路及功率因数的提高串、并联电路及功率因数的提高一、一、RLC串联的正弦交流电路串联的正弦交流电路（一）、（一）、RLC串联电路串联电路则：则： U = UR+UL+UC.结构约束的相结构约束的相量形式量形式(1-43)uR =Ri=R Im sinw wt i =Im sinw wt =2I

20、sinw wt 设设则则uL = w wLImsin（w wt+90） uC= （1/w1/wC）Imsin（w wt-90）因为：因为：u= uR + uL +uC所以：所以：u= R Im sinw wt + w wLImsin（w wt+90）+ （1/w1/wC）Imsin（w wt-90）（二）、（二）、RLC串联电路电流和电压关系串联电路电流和电压关系(1-44)U= I R+ I(j XL ) + I(-j XC)=I(R+ j XLj XC).总电压与总电流总电压与总电流的相量表示式的相量表示式若设若设（参考相量）（参考相量）因为：因为： U = UR+UL+UC.LCURUL

21、UCIUR.I = I 0. UR= I R UL = I（jXL ） UC = I（- jXC ）. . .则：则：(1-45)Z：实部为实部为“电阻电阻”虚部为虚部为“电抗电抗”容抗容抗感抗感抗则则欧姆定律的欧姆定律的相量表示式相量表示式令令:Z = R+ j (XL XC ) 称为称为复数阻抗复数阻抗,单位是单位是欧姆欧姆U = I Z.总之：总之：在正弦交流电路中，只要在正弦交流电路中，只要物理量物理量用用相量相量表表示示, ,元件参数元件参数用用复数阻抗复数阻抗表示，则电路方程式的形式表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。与直流电路相似。(1-46)Z 是一个复数计算量，但并不是相

22、量，上面是一个复数计算量，但并不是相量，上面不能不能加点加点。Z 在方程式中只是一个运算工具。在方程式中只是一个运算工具。说明：说明： Z = R+ j (XL XC )结论：结论：的模为电路总电压和总电流有效值之比，的模为电路总电压和总电流有效值之比，而而的幅角则为的幅角则为总电压和总电流的相位差。总电压和总电流的相位差。j = j j = j u - j- jiIUZ = .Uj juZ =UI.Ij jiZj j(1-47)Z 和电路性质的关系和电路性质的关系 Z = R+ j (XL XC )Rj = jj = ju j ji = = arctg XLXC阻抗角阻抗角当当 XLXC 时

23、时，表示表示 u 领先领先 i 电路呈电路呈感性感性当当XL=XC 时，表示时，表示 u 、i同相同相 电路呈电路呈电阻性电阻性当当XLXC 时时，表示表示 u 落后落后 i电路呈电路呈容性容性(1-48)假设假设R、L、C已定，已定，电路性质能否确定？电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？（阻性？感性？容性？） 当当相同时，可能出现：相同时，可能出现： XL XC ，或，或 XL XC , 或或 XL =XC 。LCURULUCIUR.(1-49)（三）、（三）、RLC串联电路功率关系串联电路功率关系1. 瞬时功率瞬时功率: p = = u i = = p R + + p L + + p C

24、 2. 平均功率平均功率 P （有功功率）（有功功率） IUP)dt(T1dtT1PRRT0CLRT0=+=pppp(1-50)P = = UR I平均功率平均功率P与总电压与总电压U、总电流、总电流 I 间的关系：间的关系： 其中：其中：总电压总电压总电流总电流u 与与 i 的夹角的夹角UR=Ucosj j所以所以: P = = UR I= = U I cosj j- 功率因数功率因数 cosj j(1-51) 在在 R、L、C 串联的电路中，串联的电路中，储能元件储能元件 L、C 虽虽然不消耗能量然不消耗能量，但存在能量吞吐，但存在能量吞吐， 吞吐的规模用无吞吐的规模用无功功率来表示。其大

25、小为：功功率来表示。其大小为： 3. 无功功率无功功率 Q：Q = QL + QC = UL I +（- -UC I） = （ UL - -UC ）I= UI sinj j总电压总电压总电流总电流u 与与 i 的夹角的夹角(1-52)4. 视在功率视在功率 S： 电路中总电压与总电流有效值的乘积。电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：单位：VA、kVA注：注： SU I 可用来衡量发电机可能提供的最大功率可用来衡量发电机可能提供的最大功率.（额定电压（额定电压额定电流）额定电流）S = = U I5. 帮助记忆的三个三角形帮助记忆的三个三角形：功率三角形功率三角形电压三角形电压三角形阻抗三角

26、形阻抗三角形相似三角形相似三角形QSPUL-UCUURXL-XCRZj j(1-53)正误判断正误判断因为交流物理量除有效值外还有相位。因为交流物理量除有效值外还有相位。 ()CLCLRXXIIRUUUU-+=+=？j jCU&RU&U&LU&CLUU&+I&CLRUUUU&+=在在RLC串联电路中串联电路中LCURULUCIUR.(1-54)正误判断正误判断ZIU&=？而复数阻抗只是一个运算符号。而复数阻抗只是一个运算符号。Z 不能加不能加 “”反映的是正弦电压或电流，反映的是正弦电压或电流，I、U&(1-55)在正弦交流电路中在正弦交流电路中？ZUI =Zui =？ZUI =ZUI&=？Z

27、UI&=？(1-56)在在 RLC 串联电路中，假设串联电路中，假设=0II&？2C2L2RUUUU+=？()CLXXjRIU-+=&？()2CL2XXRIU-+=正误判断正误判断(1-57)在在RLC串联电路中假设串联电路中假设=0II&？UUUCL-=arctgj？RCL-= arctgj？RXXCL-=arctgj？RCLUUU -=arctgj(1-58)二、二、阻抗的阻抗的串联和并联串联和并联（一）、（一）、 阻抗的串联阻抗的串联XL取正，取正，XC取负取负等效等效Z1Z2ZU.I.I.U.Z= Z1+ Z2=R+ j X(1-59)（二）、（二）、 阻抗的并联阻抗的并联等效等效I.

28、U.I.U.Z1Z2ZZ1Z11Z21=+(1-60)四、功率因数的提高四、功率因数的提高COS j jI当当U、P 一定时，一定时，问题的提出：问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，日常生活中很多负载为感性的，其消耗其消耗的有功功率为：的有功功率为：P = PR = UICOS j j功率因数低带来的第一个问题是：线路电流大，线路功率因数低带来的第一个问题是：线路电流大，线路损失大。损失大。当当U、P 一定时，一定时，又又COS j jS =PCOS j j功率因数低带来的第二个问题是：需要电源的容量大。功率因数低带来的第二个问题是：需要电源的容量大。(1-61)说明：说明：由负载性质决定

29、。由负载性质决定。jcos功率因数和电路参数的关系功率因数和电路参数的关系负负载载iuRXXCL-=arctgjRjCLXX -Z(1-62)纯电阻电路纯电阻电路1COS=j纯电感电路或纯电感电路或纯电容电路纯电容电路0COS=j电动机电动机 空载空载 满载满载0.30.2COS=j0.90.7COS=j 日光灯日光灯 （RL串联电路）串联电路）0.60.5COS=j常用电路的功率因数常用电路的功率因数 按照供用电规则，高压供电的工业企业的平按照供用电规则，高压供电的工业企业的平均功率因数不低于均功率因数不低于0.950.95，其他单位不低于，其他单位不低于0.90.9。 (1-63)提高功率因数的原则：提高功率因数的原则： 必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。载上的电压和负载的有功功率不变。提高功率因数的措施提高功率因数的措施: :并联电容器并联电容器uiRLRuLuC(1-64)jRLI&CI&I&Lj并联电容值的计算并联电容值的计算设原电路的功率因数为设原电路的功率因数为 cosj j L，要求补偿到，要求补偿到co