试写出其边界条件PPT学习教案

1、会计学1试写出其边界条件试写出其边界条件xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx几何方几何方程程（2-8）说明：说明：（1）反映任一点的反映任一点的位移位移与该点与该点应变应变间的关间的关系，是弹性力学的基本方程之一。系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当当 u、v 已知，则已知，则 可完全确定；可完全确定；xyyx,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy 以两线段夹角以两线段夹角减小为正减小为正，增大为负增大为负。xyyx,反之，已知反之，已知 ，不能确定，不能确定 u

2、、v。第2页/共27页2. 刚体位移刚体位移物体无变形，只有刚体位移。物体无变形，只有刚体位移。 即即： ,0, 0, 0时当xyyxxvxfyuyf0201)()(0 xux0yvy0yuxvxy(a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得： )()(21xfvyfu(d)将将(d)代入代入(c)，得：，得： 0)()(21dxxdfdyydf或写成或写成： dxxdfdyydf)()(21上式中，左边仅为上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅的函数，右边仅 x 的函数，的函数，两边只能等于同一常数，即两边只能等于同一常数，即 dyydf)(1(d)积分积分(e) ，得：，得： dxxd

3、f)(2(e)其中，其中，u0、v0为积分常数。为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（方向的刚体位移），代入（d）得）得:(2-10)xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达式第3页/共27页讨论：讨论： (2-9)xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达式（1）2222yxvu,0, 000时当vu仅有仅有x方向平移。方向平移。（2）, 0,0vuu则,0, 000时当uv仅有仅有y方向平移方向平移。, 0,0uvv则（3）,0, 000时当uvxvyu则xyOPyxrrxyxyxytantan说明：说明：OPr P点沿切向绕点沿切向绕O点转动点转动 绕绕O点转过的角度（刚性

4、转动）点转过的角度（刚性转动）第4页/共27页yuxvyvxuxyyx（2-8）几何方程几何方程：(2-9)xvvyuu00刚体位移表达式刚体位移表达式：xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv小小 结结：第5页/共27页2-5 2-5 物理方程物理方程建立：建立：平面问题中应力与应变的关系平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1. 各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的学中的

5、广义虎克（广义虎克（Hooke）定律）定律。)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1（2-10）其中：其中：E 为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收缩系数为侧向收缩系数，又称泊松比。，又称泊松比。)1 (2EG第6页/共27页（1）平面应力问题的物理方程）平面应力问题的物理方程)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1由于平面应力问题由于平面应力问题中中)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-12） 注注：(1) 0z)(yxzE(2) 物理方程的另一形式物

6、理方程的另一形式)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (20zxyzz第7页/共27页（2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题由于平面应变问题中中)1(12yxxExyxyE)1 (2（2-13） 注注：)1(12xyyE由式（由式（2-13）第三式，得）第三式，得)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1)(yxz0zxyzz平面应变问题中平面应变问题中0z，但，但0z)(yxz第8页/共27页（3）两类平面问题物理方程的）两类平面问题物理方程的转换：转换：)1(12yxxExyxyE)1 (2（2-13） )1

7、(12xyyE)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2 （2-12）(1)平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：1(2)平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：21E12)1 ()21 (EEE第9页/共27页2.平面问题的基本方程：平面问题的基本方程：（1）平衡方程：）平衡方程：（2-2）（2）几何方程）几何方程：yuxvyvxuxyyx（2-8）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-12）平面应力问题平面应力问题)1(12yxxExyxyE)1 (2

8、（2-10）)1(12xyyE平面应变问题平面应变问题00yyxyxyxxfyxfyx第10页/共27页2-6 2-6 边界条件边界条件1. 弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：）几何方程：yuxvyvxuxyyx（2-8）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-12）未知量数：未知量数：vuxyyxxyyx,8个个方程数：方程数：8个个结结 论：论：在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解个方程可解。00yyxyxyxxfyxfyx第11页/共27页2. 边界条

9、件及其分类边界条件及其分类边界条件：边界条件：建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。间的关系。xyOqPuSSuSSS是是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节。建立的重要环节。边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界SuS（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界 三类边界三类边界（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us 、 vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：vu,vvuuss

10、（2-14） 说说 明：明：,0时当 vu称为固定位移边界。称为固定位移边界。第12页/共27页xyOqPuSSuSSS（2）应力边界条件）应力边界条件给定面力分量给定面力分量 边界边界 应力边界应力边界xyOdxdydsPABXNYNNyxxyxy由前面斜面的应力分析，得由前面斜面的应力分析，得xyyylmfyxxxmlf式中取：式中取：sxyxysyysxx,得到：得到：（2-15）式中：式中：l、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如：轴的方向余弦。如： 垂直垂直 x 轴的边界：轴的边界：. 1, 0ml垂直垂直 y 轴的边界：轴的边界：. 0, 1mlYXsxy

11、sx,XYsyssy,xfyfysxysyxsxysxflmfml)()()()(xxfp yyfp 第13页/共27页（3）混合边界条件）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：一为应力边界条件。如：图图(a)：0Ysxy 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：0sx0 uus0 vvs 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件第14页/共27页例例1 如图所示，试

12、写出其边界条件如图所示，试写出其边界条件。xyahhq第15页/共27页例例1 如图所示，试写出其边界条件如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2), ax 0, 1mlYlmXmlsxysysxysx)()()()(0, 0sxysx(3), hy1, 0mlqsxysysxysx0) 1(0) 1(00, 0sxysy(4), hy1, 0ml00) 1(0) 1(0sxysysxysx0,sxysyq说说 明明： x = 0 的边界条件，是有矛的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：盾的。由此只能求出结果：. 0, 0vu0, 0YXq

13、YX , 00, 0YX第16页/共27页例例2 如图所示，试写出其边界条件如图所示，试写出其边界条件。ABCxyhp(x)p0lN第17页/共27页例例2 如图所示，试写出其边界条件如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpYX代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有0)sin(cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy00yxy(2)BC段（段（x = l）：）：0, 1ml0|, 0|lxlxvu0, 0lxlxxvyu(3)AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(

14、xNlcos),cos(yNm)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyxN第18页/共27页例例3 图示水坝，试写出其边界条件图示水坝，试写出其边界条件。第19页/共27页例例3 图示水坝，试写出其边界条件图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：sin,cosmlsinyY cosyX 由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右侧面：右侧面：sin,cosmltanyxtanyx 0YX0cossinxyyx0sincosxyx第20页/共27页例例4 图示竖柱，试写出

15、其边界条件图示竖柱，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：0, 1mlqY0XYlmXmlsxysysxysx)()()()(2hxqsxysysxysx)(1)(00)(0)(1qsxysx)(0)(上侧面：上侧面：)0(y1, 0ml0Y1qX 0)(0)(1)(1)(0sxysysxysxqqsxysy)(0)(右侧面：右侧面：0, 1mlqY0X2hx qsxysysxysx)(1)(00)(0)(1qsxysx)(0)(第21页/共27页例例5图示竖柱，试写出其边界条件图示竖柱，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：0, 1ml0Y0X2hx0)(0)(sxysx右侧面：右侧面：0, 1ml

16、qY0X2hx0)(sxqsxy)(上侧面：上侧面：1, 0ml0yqY0Xqsy)(0)(sxy第22页/共27页例例6图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应力存在。力存在。解解： 平面应力问题平面应力问题0YXAB 边界：边界：111sin,cosml由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(0cossin0sincos1111xyyxyx（1）AC 边界：边界：12122sincoscosml代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有0co

17、ssin0sincos1111xyyxyx（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 点处无应力作用点处无应力作用在在 AC、AB 边界上无面力作用，即边界上无面力作用，即第23页/共27页例例7图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例例8第24页/共27页例例7图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。0YXsin)90cos(lYlmXmlsxysysxysx)()()()(cos)180cos(m上侧：上侧：0cos)(sin)(0cos)(sin)(sysxysxysx下侧：下侧：,