单自由度系统的自由振动

1、复旦大学单自由度系统的自由振动主要内容引言引言无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动瑞利能量法瑞利能量法粘性阻尼系统的自由振动粘性阻尼系统的自由振动（重点）（重点）库仑阻尼系统的自由振动库仑阻尼系统的自由振动滞后阻尼系统的自由振动滞后阻尼系统的自由振动风力发电机自由振动实例分析风力发电机自由振动实例分析引言如果一个系统只在初始时受到外界扰动，此后并不受到其他如果一个系统只在初始时受到外界扰动，此后并不受到其他力的作用而发生的振动，称为力的作用而发生的振动，称为自由振动自由振动；弹簧弹簧- -质量系统是最简单的振动系统。由于用一个坐标质量系统是最简单的振动系统。由于用一个坐标x就可就可以表示质

2、量块在任意时刻的位置，因此，该系统被称为以表示质量块在任意时刻的位置，因此，该系统被称为单自单自由度系统由度系统。 单自由度振动系统风力发电机中的塔筒无阻尼平动系统的自由振动根据牛顿第二定律建立系统的运动微分方程根据牛顿第二定律建立系统的运动微分方程 xmkxtF 0 kxxm 达朗贝尔原理达朗贝尔原理: 外力与惯性力平衡外力与惯性力平衡无阻尼平动系统的自由振动虚位移原理虚位移原理弹簧力所做的虚功弹簧力所做的虚功 xkxWs惯性力所做的虚功惯性力所做的虚功 xxmWi 虚功之和虚功之和 0 xkxxxm 0 x0 kxxm 无阻尼平动系统的自由振动能量守恒原理能量守恒原理0UTdtd221xm

3、T221kxU 0kxxm 铅垂方向上弹簧-质量系统的运动微分方程stkmgWWxkxmst 0kxxm 当质量块在竖直方向上运动时，如果以静平衡位置为坐当质量块在竖直方向上运动时，如果以静平衡位置为坐标原点，在列质量块的运动微分方程时就不用考虑重力。标原点，在列质量块的运动微分方程时就不用考虑重力。 铅垂方向上弹簧-质量系统的运动微分方程当弹簧有变形当弹簧有变形x时，其势能的增量为时，其势能的增量为 221kxmgx 由于质量块下降了由于质量块下降了x，重力势能的减少为，重力势能的减少为mgx 静平衡位置为零势能点。则系统的最终势能为静平衡位置为零势能点。则系统的最终势能为 222121kx

4、mgxkxmgxU动能和势能表达式相同，则运动微分方程相同动能和势能表达式相同，则运动微分方程相同运动微分方程的解系统运动的运动微分方程为系统运动的运动微分方程为 0kxxm 方程的解可以假设为方程的解可以假设为 stCetx其中其中C和和s为待定常数，则有为待定常数，则有 02 kmsC02 kmsnimks2121mkn titinneCeCtx21 tAtAtxnnsincos21如果已知初始条件如果已知初始条件010 xAtx020 xAtxn txtxtxnnnsincos00方程的解方程的解 运动微分方程的解周期周期kmTn22频率频率mkTf211振动系统质量越大，弹簧刚度越小，

5、则系统固有频率越低，振动系统质量越大，弹簧刚度越小，则系统固有频率越低，周期越长。反之结论亦成立。在连续系统中，刚度、质量体周期越长。反之结论亦成立。在连续系统中，刚度、质量体现在材料方面。现在材料方面。运动微分方程的解单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，统称单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，统称为谐波函数表示，故称为简谐振动，这种系统又被称为谐振为谐波函数表示，故称为简谐振动，这种系统又被称为谐振子。子。自由振动的角频率即系统的自然频率，仅由系统本身的参数自由振动的角频率即系统的自然频率，仅由系统本身的参数所确定，而与外界激励、初始条件等均无关。这说明自由振所确定，

6、而与外界激励、初始条件等均无关。这说明自由振动显示了系统内在的特性。动显示了系统内在的特性。无阻尼自由振动的周期即线性系统自由振动的周期也仅由其无阻尼自由振动的周期即线性系统自由振动的周期也仅由其本身的参数决定，而与初始条件及振幅的大小无关。这种现本身的参数决定，而与初始条件及振幅的大小无关。这种现象称为谐振子振动的象称为谐振子振动的“等时性等时性”。自由振动的幅值和初相角由初始条件所确定。自由振动的幅值和初相角由初始条件所确定。单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动，这意味着系统单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动，这意味着系统一旦受到初始激励就将按振幅始终振动下去，这显然是一种一旦受到初

7、始激励就将按振幅始终振动下去，这显然是一种理想情况。理想情况。思考与练习无阻尼扭转系统的自由振动如果刚体绕着某一特定的参考轴摆动时，对应着弹性元件如果刚体绕着某一特定的参考轴摆动时，对应着弹性元件的扭转变形，则将这种运动称为的扭转变形，则将这种运动称为扭振扭振。此时，刚体的位移要。此时，刚体的位移要用角坐标描述。用角坐标描述。 运动微分方程运动微分方程 0tkJ 无阻尼扭转系统的自由振动扭转系统的固有角频率为扭转系统的固有角频率为 210Jktn周期和频率分别为周期和频率分别为2102tnkJ21021Jkftn无阻尼扭转系统的自由振动常见的扭转系统包括：汽轮机、水轮机常见的扭转系统包括：汽轮

8、机、水轮机例任何悬挂于不经过质心的旋转轴的刚体在其自身重力作用下任何悬挂于不经过质心的旋转轴的刚体在其自身重力作用下都会绕旋转轴摆动，这样的物理系统称为复摆。求复摆微幅都会绕旋转轴摆动，这样的物理系统称为复摆。求复摆微幅摆动的固有频率。摆动的固有频率。 0sin0WdJ 00WdJ 210210JmgdJWdn复摆可以使锤的撞击中心位于锤头，而旋转中心在手柄上。此可以使锤的撞击中心位于锤头，而旋转中心在手柄上。此时作用于锤头的冲击力不会在手柄上引起任何反向作用力。时作用于锤头的冲击力不会在手柄上引起任何反向作用力。打棒球时，如果能使球棒的撞击中心与求接触，而手可看打棒球时，如果能使球棒的撞击中

9、心与求接触，而手可看作是球棒的旋转中心，那么击球手将不会收到球棒垂直方向作是球棒的旋转中心，那么击球手将不会收到球棒垂直方向上的反作用力。另一方面，如果击球的部位靠近近端或手握上的反作用力。另一方面，如果击球的部位靠近近端或手握的部位，击球手就会由于受到球棒垂直方向上的反作用力而的部位，击球手就会由于受到球棒垂直方向上的反作用力而感到疼痛。感到疼痛。复摆在材料的冲击实验中，要在试件上开一个合适的槽口，并在材料的冲击实验中，要在试件上开一个合适的槽口，并固定在机械的底座上，从一个标准高度处释放冲击摆，当其固定在机械的底座上，从一个标准高度处释放冲击摆，当其通过最低位置时，撞击试样的自由端。如果摆

10、的撞击中心在通过最低位置时，撞击试样的自由端。如果摆的撞击中心在冲击刃口的附件，就可以减小摆的弯曲变形。此时，摆的悬冲击刃口的附件，就可以减小摆的弯曲变形。此时，摆的悬挂点不会受到任何冲击反作用力。挂点不会受到任何冲击反作用力。当汽车前轮受到一个冲击而产生颠簸时，如果它的撞击中当汽车前轮受到一个冲击而产生颠簸时，如果它的撞击中心在后轴附近，乘员就基本上不会感觉到。所以设计时希望心在后轴附近，乘员就基本上不会感觉到。所以设计时希望车身的振动中心在某一个轴上时，撞击中心要在另一个轴上。车身的振动中心在某一个轴上时，撞击中心要在另一个轴上。瑞利能量法 对于单自由度系统，可以利用能量方法得到其运动微分

11、方对于单自由度系统，可以利用能量方法得到其运动微分方程。对无阻尼的振动系统而言，能量守恒定律也可以这样表程。对无阻尼的振动系统而言，能量守恒定律也可以这样表示示 2211UTUTmaxmaxUT例讨论图示弹簧讨论图示弹簧- -质量系统中弹簧质量质量系统中弹簧质量对固有频率的影响。对固有频率的影响。 微段动能为微段动能为 221lxydylmdTss22022321212121xmxmlxydylmxmTslys系统总动能为系统总动能为 系统总势能为系统总势能为 221kxU 假设系统的自由振动是简谐的，即假设系统的自由振动是简谐的，即 tXtxncos说明：速度为线性分布！说明：速度为线性分布

12、！例maxmaxUT213snmmk动能和势能的最大值分别为动能和势能的最大值分别为22max321nsXmmT2max21kXU思考与练习讨论水塔塔身的质量对水塔横向振动固有频率的影响。讨论水塔塔身的质量对水塔横向振动固有频率的影响。 粘性阻尼平动系统的自由振动运动微分方程为运动微分方程为0kxxcxm 假设解的形式为假设解的形式为 stCetx特征方程特征方程02kcsms特征方程的根为特征方程的根为mkmcmcs22, 122方程通解为方程通解为 tmkmcmctmkmcmceCeCtx22222221nmc2 ttnneCeCtx121122粘性阻尼平动系统的自由振动欠阻尼情形欠阻尼情

13、形 1 txxtxetxnnnntn2200201sin11cos运用欧拉公式运用欧拉公式sincosiei阻尼振动的频率阻尼振动的频率nd21小阻尼小阻尼粘性阻尼平动系统的自由振动临界阻尼情形临界阻尼情形 1过阻尼情形过阻尼情形 tnnexxxtx0001 ttnneCeCtx12112212120201nnxxC12120202nnxxC粘性阻尼平动系统的自由振动欠阻尼情形欠阻尼情形 1 txxtxetxnnnntn2200201sin11cos欠阻尼是唯一一种能够引起振动的情形。欠阻尼是唯一一种能够引起振动的情形。（重点掌握）（重点掌握）思考与练习应用应用matlab或或excel软件绘

14、制自由振动曲线软件绘制自由振动曲线 txxtxetxnnnntn2200201sin11cos已知已知10, 0,01. 0,1000 xxn思考与练习 txxtxetxnnnntn2200201sin11cospart1对照公式对照公式part2part3思考与练习粘性阻尼平动系统的自由振动临界阻尼情形临界阻尼情形 1过阻尼情形过阻尼情形 1粘性阻尼平动系统的自由振动特征根随阻尼系数或阻尼比的变化规律可在特征根随阻尼系数或阻尼比的变化规律可在复平面复平面中讨论。中讨论。 粘性阻尼平动系统的自由振动临界阻尼系数是使系统作非周期运动的最小阻尼。因此，质临界阻尼系数是使系统作非周期运动的最小阻尼。

15、因此，质量块将以最短的时间回到静止平衡位置。在许多实际应用中都量块将以最短的时间回到静止平衡位置。在许多实际应用中都利用了临界阻尼的这一性质。利用了临界阻尼的这一性质。例如大型火炮的枪膛具有临界阻尼，这样火炮受反冲力后，例如大型火炮的枪膛具有临界阻尼，这样火炮受反冲力后，会以最短的时间回到初始位置而不致引起振动。如果枪膛的阻会以最短的时间回到初始位置而不致引起振动。如果枪膛的阻尼大于临界阻尼，那么就会拖延第二次开火的时间尼大于临界阻尼，那么就会拖延第二次开火的时间。 粘性阻尼平动系统的自由振动单自由度有阻尼系统的自由振动响应也可以在相平面或状单自由度有阻尼系统的自由振动响应也可以在相平面或状态

16、空间表示出来。态空间表示出来。 对数衰减系数 定义为任意两个相邻的振幅之比的自然对数定义为任意两个相邻的振幅之比的自然对数 02001021coscos21teXteXxxdtdtnndtt12dndnneeexxtt1121对数衰减系数为对数衰减系数为mcxxIndnndn2212122221小阻尼情况，可近似为小阻尼情况，可近似为 1,2对数衰减系数 222对于小阻尼情况，可近似为对于小阻尼情况，可近似为2mcd221221,2同理可求得同理可求得对数衰减系数 阻尼比也可通过测量相差任意整数个周期的两个位移来求得，阻尼比也可通过测量相差任意整数个周期的两个位移来求得，则则 14332211

17、1mmmxxxxxxxxxx相差相差1个周期的任意两相邻振幅满足个周期的任意两相邻振幅满足dnexxjj1dndnmmmeexx1111In1mxxm思考与练习 如何应用如何应用simulink软件，计算对数衰减系数；软件，计算对数衰减系数；粘性阻尼消耗的能量 一个有粘性阻尼的系统，能量随时间的变化率等于力的速度一个有粘性阻尼的系统，能量随时间的变化率等于力的速度的乘积。的乘积。 22dtdxccFdtdW系统在一个周期中消耗的能量为系统在一个周期中消耗的能量为 22022220cosXcttdcXdtdtdxcWddddtd当给粘性阻尼器并联上一个刚度为当给粘性阻尼器并联上一个刚度为k的弹簧

18、后，上式仍然的弹簧后，上式仍然成立。成立。（习题证明）（习题证明）粘性阻尼消耗的能量 一个系统的能量可以用最大势能或最大动能来表示。就小阻一个系统的能量可以用最大势能或最大动能来表示。就小阻尼而言，这两个值近似相等。由此可得尼而言，这两个值近似相等。由此可得阻尼比容阻尼比容 tconsmcXmXcWWdddtan4222221222损耗因子损耗因子定义为弧度所消耗的能量与系统总能量的比定义为弧度所消耗的能量与系统总能量的比 WWWW22说明库伦阻尼和滞后阻尼系统的自由振动（库伦阻尼和滞后阻尼系统的自由振动（不作要求不作要求）库仑阻尼系统的自由振动在许多机械系统中，为了简单和方便，经常采用库仑阻

19、尼模在许多机械系统中，为了简单和方便，经常采用库仑阻尼模型。两个相互接触的物体有相对滑动时，它们之间会产生摩型。两个相互接触的物体有相对滑动时，它们之间会产生摩擦力，在振动结构中也是这样。库仑干模型定律表明，对于擦力，在振动结构中也是这样。库仑干模型定律表明，对于两个相互接触的物体，为使它们之间产生相对滑动所需的力，两个相互接触的物体，为使它们之间产生相对滑动所需的力，与作用在接触面上的正压力成正比，因此摩擦力可写为与作用在接触面上的正压力成正比，因此摩擦力可写为mgWNF库仑阻尼系统的自由振动情况情况1 当当x是正的，且是正的，且dx/dt也是正的；或者当也是正的；或者当x是负的，但是负的，

20、但dx/dt是正的。应用牛顿第二定律可得运动微分方程为是正的。应用牛顿第二定律可得运动微分方程为Nkxxm Nkxxm 这是一个二阶非齐次常微分方程。它的通解形式为这是一个二阶非齐次常微分方程。它的通解形式为 kNtAtAtxnnsincos21库仑阻尼系统的自由振动情形情形2 当当x是正的，但是正的，但dx/dt是负的；或者当是负的；或者当x是负的，且是负的，且dx/dt也是负的。应用牛顿第二定律可得运动微分方程为也是负的。应用牛顿第二定律可得运动微分方程为Nkxxm Nkxxm 这是一个二阶非齐次常微分方程。它的通解形式为这是一个二阶非齐次常微分方程。它的通解形式为 kNtAtAtxnns

21、incos43库仑阻尼系统的自由振动可以用一个非线性的微分方程来表示可以用一个非线性的微分方程来表示 0sgnkxxmgxm 为了求出解析解，假设初始条件为为了求出解析解，假设初始条件为 0000 xxx这说明，系统在初始时刻，即这说明，系统在初始时刻，即t=0时刻，速度为零，位移为时刻，速度为零，位移为x0。因为在因为在t=0时刻时刻x=x0。所以质量块是从右向左运动。所以质量块是从右向左运动。0,403AkNxA方程可变为方程可变为 kNtkNxtxncos0nt库仑阻尼系统的自由振动粘性阻尼系统的运动微分方程是线性的，而库伦阻尼系统粘性阻尼系统的运动微分方程是线性的，而库伦阻尼系统的运动

22、微分方程是非线性的。的运动微分方程是非线性的。粘性阻尼增加会使系统的固有频率减小；而库伦阻尼增加，粘性阻尼增加会使系统的固有频率减小；而库伦阻尼增加，系统的固有频率却不发生变化。系统的固有频率却不发生变化。有粘性阻尼的系统，在过阻尼情形下运动是非周期的；而有粘性阻尼的系统，在过阻尼情形下运动是非周期的；而库伦阻尼系统的运动则是周期的。库伦阻尼系统的运动则是周期的。即使只有一个极小的振幅，粘性阻尼或滞后阻尼系统的振即使只有一个极小的振幅，粘性阻尼或滞后阻尼系统的振动在理论上将永远运动下去；但有库伦阻尼的系统，运动一动在理论上将永远运动下去；但有库伦阻尼的系统，运动一段时间后肯定会停止下来。段时间

23、后肯定会停止下来。有粘性阻尼的系统，振幅随时间按指数规律减小，而有库有粘性阻尼的系统，振幅随时间按指数规律减小，而有库伦阻尼的系统，振幅是按线性规律减小的。伦阻尼的系统，振幅是按线性规律减小的。例具有库伦阻尼的弹簧具有库伦阻尼的弹簧- -质量系统的自由振动响应质量系统的自由振动响应 5 . 0,/200,10, 00,5 . 00mNkkgmxmx系统运动微分方程为系统运动微分方程为 0sgnkxxmgxm 例 21212221121,sgn,xxfxmkxgxxxfxx令令 积分器积分器例滞后阻尼系统的自由振动对于弹簧和粘性阻尼器并联的系统，引起位移对于弹簧和粘性阻尼器并联的系统，引起位移x

24、(t)所需的力所需的力F为为 xckxF对于简谐运动来说，有对于简谐运动来说，有 tXtxsin滞后阻尼系统的自由振动 2222sincossinxXckxtXXckxtcXtkXtF该曲线所围成的面积代表了阻尼器在一个周期内消耗的能该曲线所围成的面积代表了阻尼器在一个周期内消耗的能量，其大小为量，其大小为220coscossinXcdttXtcXtkXFdxW滞后阻尼系统的自由振动试验发现，在一个周期中，由内部摩擦力消耗的能量近似与试验发现，在一个周期中，由内部摩擦力消耗的能量近似与振幅的平方成正比，但与频率无关。假定阻尼系数振幅的平方成正比，但与频率无关。假定阻尼系数c与频率与频率成反比，

25、即成反比，即 hc h称为滞后阻尼系数，则称为滞后阻尼系数，则 2hXW力力F为为 xcikiXeckXeFtiti弹簧与滞后阻尼器并联时，则力与位移的关系可表达为弹簧与滞后阻尼器并联时，则力与位移的关系可表达为 xihkFikkhikihk11滞后阻尼系统的自由振动系统的无量纲阻尼系统的无量纲阻尼 kh一个周期中系统所消耗的能量可以表示为一个周期中系统所消耗的能量可以表示为 2XkW例根据试验结果，估计滞后阻尼常数和对数衰减系数根据试验结果，估计滞后阻尼常数和对数衰减系数一个加载卸载循环内的能量耗散等于滞后回线所围的面积一个加载卸载循环内的能量耗散等于滞后回线所围的面积 mNhXW5 . 2

26、2例由于最大变形为由于最大变形为0.008m，并且力，并且力-变形的斜率变形的斜率k=50000N/m，则滞后阻尼系数为则滞后阻尼系数为78125. 0248679. 0248679. 05000095.1243395.12433008. 05 . 222khXWh单自由度振动在风电中的应用 塔架高度不断增加的同时，为了降低制造成本，目前主要塔架高度不断增加的同时，为了降低制造成本，目前主要采用轻型锥筒结构的柔性塔架，固有频率甚至低于工作中采用轻型锥筒结构的柔性塔架，固有频率甚至低于工作中产生的激振频率，而且锥筒塔架具有很小的阻尼，因此结产生的激振频率，而且锥筒塔架具有很小的阻尼，因此结构共振问题突出；构共振问题突出； 塔筒结构设计，需要考虑的因素包括频率、焊缝强度、薄塔筒结构设计，需要考虑的因素包括频率、焊缝强度、薄壁屈曲、螺栓强度、门洞与顶部法兰结构强度等，壁屈曲、螺栓强度、门洞与顶部法兰结构强度等，频率校频率校核核是最重要的内容之一。是最重要的内容之一。塔筒振动测试塔筒频率的分析与校核在在GL2010分析认证中，