机械工程控制基础(第三章 系统的时间响应分析)Rev12

1、第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析机械工程控制基础机械工程控制基础Email：Tel:讲：陈林林主讲：陈林林聊城大学机械与汽车工程学院聊城大学机械与汽车工程学院第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析目录一、时间响应及组成一、时间响应及组成二、典型输入信号二、典型输入信号三、三、一阶系统一阶系统 五、高阶系统五、高阶系统四、二阶系统四、二阶系统 六、系统误差分析与计算六、系统误差分析与计算七、七、 函数在时间响应中的作用函数在时间响应中的作用九、设计实例：数控直线运动工作台位置控制系统九、设计实例：数控直线运动工作台位置控制系统八、利用八、利

2、用MATLABMATLAB分析时间响应分析时间响应第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 典型输入信号便于进行时间响应分析。典型输入信号便于进行时间响应分析。任何高阶系任何高阶系统均可化为零阶、一阶、二阶系统等的组合统均可化为零阶、一阶、二阶系统等的组合；任何输入任何输入产生的时间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响产生的时间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响应而求得应而求得。因为这是正确进行时间响应分析的基础。所谓系统因为这是正确进行时间响应分析的基础。所谓系统的时间响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与的时间响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们其组成

3、，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程入作用下的动态历程。本章主要内容本章主要内容 第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 1. 1.熟悉时间响应的组成及类型熟悉时间响应的组成及类型 2.2.熟练掌握一阶系统脉冲、阶跃响应函数的求解熟练掌握一阶系统脉冲、阶跃响应函数的求解 3.3.熟练掌握二阶系统脉冲、阶跃响应函数的求解熟练掌握二阶系统脉冲、阶跃响应函数的求解 4.4.熟悉控制系统时域性能指标的定义熟悉控制系统时域性能指标的定义 5.5.了解高阶系统定性分析的方法了解高阶系统定性分析的方法 6.6.明确误差和偏差的概念，掌握

4、求取系统稳态偏明确误差和偏差的概念，掌握求取系统稳态偏差的方法差的方法本章教学要求本章教学要求 第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 为了分析系统的性能，首先要建立其数为了分析系统的性能，首先要建立其数学模型，然后可用各种不同的方法对其进行学模型，然后可用各种不同的方法对其进行分析研究。对于分析研究。对于线性定常系统线性定常系统，常用的工程，常用的工程方法有方法有时域分析法时域分析法，根轨迹法根轨迹法和和频率响应法频率响应法。本章仅讨论控制系统的时域分析。本章仅讨论控制系统的时域分析。 时域分析法是一种直接分析法时域分析法是一种直接分析法，是在时是在时间域内研究控制系统性能的方法

5、，间域内研究控制系统性能的方法，它是根据它是根据所描述系统的微分方程或传递函数得到系统所描述系统的微分方程或传递函数得到系统的时间响应（求出系统的输出量随时间的变的时间响应（求出系统的输出量随时间的变化规律），然后根据化规律），然后根据响应表达式响应表达式和和响应曲线响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。分析系统的动态性能和稳态性能。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析一、时间响应及其组成一、时间响应及其组成1 1、时间响应时间响应 定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在的表现形式，在数

6、学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。时间响应能完全反映系统本一定初始条件下的解。时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。 时间响应：时间响应：提供了系统输出量随时间变化的全部信息；提供了系统输出量随时间变化的全部信息；是一种在时域中直观、准确的分析的方法；是一种在时域中直观、准确的分析的方法；是系统时域分析的关键，为评价系统提供了依据。是系统时域分析的关键，为评价系统提供了依据。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统

7、输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点优点：直观、简便：直观、简便 2 2、时域分析的、时域分析的目的目的 3 3、时间响应分析、时间响应分析步骤步骤(1)(1)建立控制系统的数学模型；建立控制系统的数学模型； (2)(2)求解描述系统的数学模型求解描述系统的数学模型( (微分方程等）；微分方程等）；(3)(3)获取系统对输入信号的响应曲线和函数；获取系统对输入信号的响应曲线和函数；(4)(4)确定控制系统的性质和特征。确定控制系统的性质和特征。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析其中，求解数学模型是时域分析的关键。在

8、此基其中，求解数学模型是时域分析的关键。在此基础上础上, ,可对系统进行深入的研究可对系统进行深入的研究: : 找出系统响应的共同规律找出系统响应的共同规律 研究参数变化对系统性能的影响研究参数变化对系统性能的影响 如何改进系统，提高其控制品质等如何改进系统，提高其控制品质等4、时间响应分析的、时间响应分析的内容内容(1)(1)系统的稳定性系统的稳定性 不稳定的系统是不能工作的，所以必须对控不稳定的系统是不能工作的，所以必须对控制系统的稳定性进行判断并且研究影响稳定性的制系统的稳定性进行判断并且研究影响稳定性的因素。因素。 指标指标: :收敛、振荡次数收敛、振荡次数N N等。等。第三章第三章

9、系统的时间响应分析系统的时间响应分析(2)(2)系统的动态特性系统的动态特性 系统的动态特性是指系统从一个稳定状态变系统的动态特性是指系统从一个稳定状态变化到另一个稳定状态的过渡过程中输出与输入间化到另一个稳定状态的过渡过程中输出与输入间的关系。系统的动态特性，可以通过系统的暂态的关系。系统的动态特性，可以通过系统的暂态响应来评价。响应来评价。 指标指标: :超调量超调量MpMp、调节、调节( (过渡过渡) )时间时间t ts s等。等。(3)(3)系统的稳态特性系统的稳态特性 系统的稳态性能就是系统进入稳定状态后所系统的稳态性能就是系统进入稳定状态后所表现出的特性，主要靠系统的稳态响应来评价

10、。表现出的特性，主要靠系统的稳态响应来评价。 指标指标: :稳态误差稳态误差e essss等。等。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析a a 收敛收敛b b 振荡次数振荡次数N Nn稳定性指标稳定性指标c c 延迟时间延迟时间t td dn动态性指标动态性指标d d 上升时间上升时间t tr re e 峰值时间峰值时间t tp pf f 调节时间调节时间t ts sg g 超调量超调量M Mp pn稳态性指标稳态性指标h h 稳态误差稳态误差e essss快快稳稳准准第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析5、时间响应的、时间响应的性能指标性能指标（参阅第六章）（参阅第

11、六章） 控制系统特性的优劣，是通过性能指标来评价的。控制系统特性的优劣，是通过性能指标来评价的。 控制系统的时域性能指标通常是按系统的控制系统的时域性能指标通常是按系统的单位阶跃单位阶跃响应响应的某些特征量来定义的。的某些特征量来定义的。 由于多数控制系统的动态过程都具有振荡特性。因由于多数控制系统的动态过程都具有振荡特性。因此，我们选择具有衰减振荡过程的阶跃响应为典型代表，此，我们选择具有衰减振荡过程的阶跃响应为典型代表，来定义控制系统的性能指标，并用这些指标来描述控制来定义控制系统的性能指标，并用这些指标来描述控制系统的工作品质。系统的工作品质。 它们的定义如下：它们的定义如下：第三章第三

12、章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 稳定性指标：稳定性指标：收敛是指系统从一个状态运动到另一个状态，在其动态响应过程中，振荡逐渐减弱并稳在某一状态。反之则称为发散。振荡次数N是指在ts内输出量h（t）进入稳态前，穿越稳态值h（）次数的一半，反映了控制系统的阻尼特性 。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 动态性指标：动态性指标： 延迟时间是单位阶跃响应第一次达到其稳态值h（） 的50所需的时间。是响应从稳态值的10上升到90所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到稳态值所需的时间。响应超过稳态值h（）到达第一个峰值所需的时间。响应到达并停留在稳态值的允许误差范

13、围内（ 5%或2% ）所需的最小时间。h（tp）( )( )100%( )pPh thMhMp第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 稳态性指标：稳态性指标：期望值与稳态值之差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。1( )sseh 期望值与稳态值之差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。1( )sseh 第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析4 4、典型示例分析、典型示例分析 tFtkytym cos 动力学方程为：动力学方程为： tFtkytym cos )( xfqypyy第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 tFtkytym cos tytyty

14、210 qypyy)( xfqypyy tFtkytym cos 0tkytym )( xfqypyy 0tkytym 第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 tBtAtynn cossin1 ir2, 1xCxCeyx sincos210 qypyy 0tkytym 02kmrnmkmkir 02, 102qprr为系统的无阻为系统的无阻尼固有频率尼固有频率第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 tFtkytym cos i0, 0)(,/)(, 0,/, 0bxPmFxPmkqpnl )( xfqypyysin)(cos)()2()1(xxRxxRexybbx xx

15、PxxPexfnlx sin)(cos)()()(),()2()1(xRxRbb imkir/2, 10 tRtRty sincos)()2()1(2第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 tkFty cos11220,11)2(2)1(RkFR 0, 0)(,/)(, 0,/, 0bxPmFxPmkqpnl imkir/2, 10 tRtRty sincos)()2()1(2n 第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 tkFtBtAtytytynn cos11cossin221 21cossinsin1nnnnFytAtBttk 000ty tyyty设时， 2100

16、1FyBk则 0nyA( (初始条件初始条件) )第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析得得 nyA 0 2110 kFyB tkFtkFtytytynnnn cos11cos11cos)0(sin)0(22其解可分解为：其解可分解为：第一、二项：初始条件（初始状态）引起第一、二项：初始条件（初始状态）引起自由响应（振动）自由响应（振动），第，第三项：作用力引起的自由响应，其振动频率均为三项：作用力引起的自由响应，其振动频率均为Wn，幅值受到，幅值受到F的影响。第四项：作用力引起的的影响。第四项：作用力引起的强迫响应强迫响应，其振动频率为作用力，其振动频率为作用力频率频率W。第三章

17、第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 22011sin0 coscoscos11nnnnyFFy ttytttkk初始条件引起初始条件引起的自由响应的自由响应输入引起的强迫响应输入引起的强迫响应自由响应自由响应（强迫响应）（强迫响应）输入引起的输入引起的自由响应自由响应系统初始状态为零，仅系统初始状态为零，仅由输入引起的响应由输入引起的响应（零状态响应）（零状态响应）分析：分析：对应特解对应特解对应通解对应通解( (零输入响应零输入响应) )系统输入为零时，初系统输入为零时，初始状态引起的响应始状态引起的响应第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析按响应的来源分为按响应的来源

18、分为：初始状态（条件）为零时，系统输入引起初始状态（条件）为零时，系统输入引起的响应；在控制工程中，如无特殊说明，所讲的响应往往是的响应；在控制工程中，如无特殊说明，所讲的响应往往是零状态响应。零状态响应。 系统输入为零时，初始状态引起的响应。系统输入为零时，初始状态引起的响应。按振动频率与作用频率的关系分为按振动频率与作用频率的关系分为：振动频率与作用频率无关；振动频率与作用频率无关；振动频率与作用频率相同。振动频率与作用频率相同。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 若若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，则对于线性系统，根据系

19、统的线性特性，其输出总响则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。控制系统的时间响应控制系统的时间响应零状态响应零输入响应仅有激励（输入）而初始状态为零的响应仅有初始状态而激 励为零时的响应第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析式中式中: : 为方程的特征根为方程的特征根 1110.nnnna ytayta y ta y tx t 1211iinns ts tiiiiy tA eA eB t(1,2,., )is in一般情况下一般情况下, ,设系统动力学方程为设系统动力学方程为: :方程的解的

20、一般形式为方程的解的一般形式为: :自由响应强迫响应零输入响应零状态响应5 5、一般情况、一般情况 第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析结论结论: : 1. 1.系统的阶次系统的阶次n n和和s si i取决于系统的固有特性（结构、取决于系统的固有特性（结构、参数），与系统的输入和初态无关；参数），与系统的输入和初态无关； 2. 2.由由y(ty(t)=L)=L-1-1Y(s)=LY(s)=L-1-1G(s)X(s)G(s)X(s)所求得的输出是所求得的输出是系统的零状态响应系统的零状态响应, ,因为在定义系统的传递函数时，已因为在定义系统的传递函数时，已经指明系统的初态为零；经

21、指明系统的初态为零； 3. 3.对于线性定常系统，若对于线性定常系统，若 引起的输出为引起的输出为 ， 则则 引起的输出为引起的输出为 。 y t x t x t y t第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析6 6、瞬态响应和稳态响应、瞬态响应和稳态响应 研究表明，系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡。研究表明，系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡。系统特征根对自由响应的影响系统特征根对自由响应的影响第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析系统特征根对自由响应的影响系统特征根对自由响应的影响第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析由上可知：由上可知：

22、若所有的特征根均具有负实部时若所有的特征根均具有负实部时, ,系统系统的自由响应项收敛于的自由响应项收敛于0;0;( (系统稳定系统稳定) )此时此时, ,自由响应称为瞬态响应自由响应称为瞬态响应. . 强迫响应强迫响应称称为稳态响应。为稳态响应。ReIm s若存在特征根的实部为若存在特征根的实部为正正, ,则系统的自由响应项则系统的自由响应项发散发散;( (系统不稳定系统不稳定) )Im sRe若存在特征根的实部为零若存在特征根的实部为零, ,其余的实部其余的实部为负为负, ,系统的自由响应项等幅振荡系统的自由响应项等幅振荡.( (系统临界稳定系统临界稳定) )Im sRe第三章第三章 系统

23、的时间响应分析系统的时间响应分析 若所有的若所有的ResiResi0t-无穷时，自由响应趋于无穷时，自由响应趋于0 0（也就是系统的极点都在（也就是系统的极点都在左半平面），左半平面），系统稳定，自由响应称为瞬态响应系统稳定，自由响应称为瞬态响应，稳态响应稳态响应一般就是指强迫响应一般就是指强迫响应；反之，若有一个；反之，若有一个ResiResi00，则自由响应，则自由响应逐渐增大，当逐渐增大，当t-t-无穷时无穷时, ,自由响应趋于无穷，自由响应不称自由响应趋于无穷，自由响应不称为瞬态响应。为瞬态响应。总结：总结： 特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况，虚特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况

24、，虚部绝对值越大，则自由响应项的振荡越剧烈。部绝对值越大，则自由响应项的振荡越剧烈。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析二、典型输入信号二、典型输入信号 控制系统性能的评价分为控制系统性能的评价分为动态性能指标动态性能指标和和稳态性稳态性能指标能指标两大类，为了求解系统的时间响应必须了解系两大类，为了求解系统的时间响应必须了解系统输入信号（即外作用）的解析表达式（也就是统输入信号（即外作用）的解析表达式（也就是确定确定性信号性信号），然而，在一般情况下，控制系统的外加输），然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定，因此需要选择若入信号具有随机性而无法预先

25、确定，因此需要选择若干确定性信号作为典型输入信号。干确定性信号作为典型输入信号。 何谓确定性信号呢？何谓确定性信号呢？就是其变量和自变量之间的就是其变量和自变量之间的关系能够用某一确定性函数描述的信号。关系能够用某一确定性函数描述的信号。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析1 1、定义定义: : 在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型典型输入信号输入信号。2 2、作用作

26、用: : 在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但由在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但由于在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输于在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以，只要入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以，只要知道系统对典型输入信号的响应，再利用关系式：知道系统对典型输入信号的响应，再利用关系式：)(22)(11)()()(siosioXsXsGXsX第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析)(22)(11)()()(siosioXsXsGXsX就能求出系统对任何输入的响应。就能求出系统对任何输入的响应。3 3、选为

27、典型输入的必备条件选为典型输入的必备条件q 易于在现场或实验室实现；易于在现场或实验室实现；q 能基本代表实际输入作用的性能；能基本代表实际输入作用的性能；q 可考验系统，又不破坏系统正常运行；可考验系统，又不破坏系统正常运行；q 数学表达式简单，便于理论计算。数学表达式简单，便于理论计算。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析4 4、常用的典型输入信号、常用的典型输入信号AsinAsin t t 正弦信号正弦信号 1 1 ( (t t) )，t t=0 =0 单位脉冲信号单位脉冲信号 单位加速度信号单位加速度信号 t t， t t 0 0 单位速度单位速度( (斜坡斜坡) )信信

28、号号 u(u(t t) )，t t 0 0 单位阶跃信号单位阶跃信号 复数域表达式复数域表达式 时域表达式时域表达式 名名 称称 s121s31s22sA0,212tt第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析( )r tA0t图图 阶跃信号阶跃信号 ( () )阶跃信号阶跃信号000ttAtr )( 如果系统的输入信号是突变的量，则应取阶跃如果系统的输入信号是突变的量，则应取阶跃信号为宜。信号为宜。A A 为阶跃幅值为阶跃幅值 A=1A=1称单位阶跃函数称单位阶跃函数第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析( () )斜坡信号斜坡信号 0 00ttAttr )(图图 单位斜

29、坡函数单位斜坡函数At( )r tt0 如果系统的输入信号是随时间线性增长的函数，则如果系统的输入信号是随时间线性增长的函数，则应选斜坡信号，以符合系统的实际工作情况。应选斜坡信号，以符合系统的实际工作情况。A A为斜率，为斜率， A=1A=1称单位斜坡函数称单位斜坡函数第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析( () )等加速度信号（抛物线信号）等加速度信号（抛物线信号）0 00 )(ttAttr221( )r t0t22At图图 等加速度信号（抛物线信号）等加速度信号（抛物线信号）第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析( () )脉冲信号脉冲信号 1 ( ) tr t

30、tt000,图图 脉冲信号脉冲信号1 1)(t0( )r tt(b)(b)t( )r t01(a)(a) 如果系统的输入信号是一个瞬时冲击的函数，如果系统的输入信号是一个瞬时冲击的函数，则显然选脉冲函数最为合适。则显然选脉冲函数最为合适。)0(1lim)0(0)(0tttt且第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析( () )正弦信号正弦信号0 00tttAtr sin)(图图 正弦信号正弦信号第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 能反映系统在工作过程中的大部分实际情况。能反映系统在工作过程中的大部分实际情况。如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃如：若实际系统的

31、输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。速度信号。5 5、典型输入信号的选择原则、典型输入信号的选择原则 注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。会改变。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析三、一阶系统三、一阶系统1 1、 一阶系统（惯性环节）一阶系统（惯性环节） ( )( )( )ooidx tTx tx tdtT时间常数 微分方程：称为一阶系统的，它表达了一阶系统本身的

32、与外界作用无关的固有特性，故也称为一阶系统的特征参数。 可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。其对应的物理系统有一个储能元件和一个耗能元件。其对应的物理系统有一个储能元件和一个耗能元件。系统的数学模型只有一个特征参数，即系统的时间常系统的数学模型只有一个特征参数，即系统的时间常数数T T。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 2 2、一阶系统的、一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应11)(TssG极点（特征根）：极点（特征根）：-1/-1/T T对应的传递函数为：对应的传递函数为： 输入信号输入信号 是理想的单位脉冲函数是理想的单位脉冲

33、函数 时，系时，系统输出统输出 称为单位脉冲响应函数或简称为单位脉称为单位脉冲响应函数或简称为单位脉冲响应，记为冲响应，记为 。( )ix t( ) t( )ox t( )w t第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 由于单位脉冲函数的拉普拉斯变换等于由于单位脉冲函数的拉普拉斯变换等于1 1，所，所以一阶系统单位脉冲响应的拉普拉斯变换为：以一阶系统单位脉冲响应的拉普拉斯变换为： 1( )( )( )( )1oiWsXsG s XsG sTs经拉普拉斯反变换，得：经拉普拉斯反变换，得： 1111( )( ),01tTow txtLG sLetTsT11111111attTL esaT

34、LLeTTssTT 因为需要记忆所以( (只包含瞬态分量只包含瞬态分量) )( ) ( )1iX sLt（3.3.1） w(t)只有瞬态项，而只有瞬态项，而B(t)为零。由式为零。由式(3.3.1)可得表可得表3.3.1第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析其响应曲线为：其响应曲线为： t 0 T 2T 4T 0 01T21T10.368T210.368T10.135T210.135T10.018T210.018T( )w t( )w t表3.3.1 从图中可以看出：当从图中可以看出：当tt时，时，x xo o（t t）0 0，即，即在后面的在后面的“稳定性分析稳定性分析”中我们将

35、看到满足这个条件的系统是稳定中我们将看到满足这个条件的系统是稳定的。的。lim( )0otx t第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 图图3.3.13.3.1表明，一阶系统的单位脉冲响应函数是一表明，一阶系统的单位脉冲响应函数是一个单调下降的指数曲线。个单调下降的指数曲线。将指数曲衰减到初值的将指数曲衰减到初值的2%2%之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为4 4T T。称称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为此时间为过渡过程时间或调整时间，记为t ts s。 显然，显然，系统的时间常数系统的时间常数T T愈小愈小, ,过渡过程的持续时过渡过

36、程的持续时间间愈短愈短, ,系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。 脉冲响应形式类似于零输入响应。脉冲响应形式类似于零输入响应。 理想的脉冲信号不可能得到，实际应用中常以具有一理想的脉冲信号不可能得到，实际应用中常以具有一定的脉冲宽度和有限的幅度的脉冲来代替理想的脉冲信号定的脉冲宽度和有限的幅度的脉冲来代替理想的脉冲信号, 脉冲宽度脉冲宽度与系统的时间常数与系统的时间常数T比，一般为比，一般为:0.1hT第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 一阶系统单位脉冲响应的特点一阶系统单位脉冲响应的特点q 瞬态响应瞬态响应：(1/(1/T T )e )e t

37、 t / /T T ；稳态响应稳态响应：0 0；q x xo o(0)=1/(0)=1/T T, ,随时间的推移，随时间的推移，x xo o( (t t) )指数衰减；指数衰减；q 系统的时间常数系统的时间常数T T愈小愈小, ,过渡过程的持续时间愈过渡过程的持续时间愈短短, ,系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。20( )1otdx tdtT q 第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析3 3、一阶系统的、一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃响应TsssTssXsGsXio111111)()()(输入信号为单位阶跃函数时，即输入信号为单位阶跃函数时，即

38、1( )( ), ( )ix tu tL u ts响应函数的响应函数的LaplaceLaplace变换式为：变换式为：其时间响应函数其时间响应函数 记为记为 为：为：( )ouxt1/( )( )1(0)t TouoxtLXset 稳态分量稳态分量暂态分量暂态分量1atL esa 注：需要记住（3.3.2） 第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 t 0 0 T 0.632 2T 0.865 4T 0.982 1 0由式（由式（3.3.2）可得表）可得表3.3.2和图和图3.3.2 表3.3.2( )ouxt( )ouxt1T210.368T210.135T210.018T第三章第

39、三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析如图如图3.3.23.3.2所示，式（所示，式（3.3.23.3.2）表）表示的一阶系统的单位阶跃响应是示的一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲线，稳态值一条单调上升指数曲线，稳态值为为 。曲线有两个重要的特。曲线有两个重要的特征点：征点：其对应的时间其对应的时间t t= =T T 时，系时，系统的响应统的响应 达到了稳态值的达到了稳态值的63.2%63.2%；( )oux( )ouxt第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析其对应的其对应的t=0时，时， 的切的切线斜率（响应速度）等于线斜率（响应速度）等于1/T。指数曲线的斜率指数曲

40、线的斜率，即速率，即速率 是是随时间随时间t的增大而单调减小的，当的增大而单调减小的，当t为为 时，其响应速度为零；时，其响应速度为零；当当 时，响应已达到稳态值的时，响应已达到稳态值的98%以上，过渡过程时间以上，过渡过程时间 时间常数时间常数T 反映了固有特性反映了固有特性，其值，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。响应也就愈快。( )ouxt( )ouxt4tTs4tT第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 一阶系统单位阶跃响应的特点一阶系统单位阶跃响应的特点q 响应分为两部分响应分为两部分 瞬态响应瞬态响应：Tte表示系统输出量从初

41、态到终态的变化过程表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态（动态/ /过渡过程）过渡过程） 稳态响应稳态响应：1 1表示表示t t时，系统的输出状态时，系统的输出状态q x xo o(0) = 0(0) = 0，随时间的推移，随时间的推移， x xo o( (t t) ) 指数增指数增大，且无振荡。大，且无振荡。 x xo o( ( ) = 1) = 1，无稳态误差；，无稳态误差；第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析q x xo o( (T T) = 1 - e) = 1 - e-1 -1 = 0.632= 0.632，即经过时间，即经过时间T T，系统，系统 响应达到其稳态输

42、出值的响应达到其稳态输出值的63.2%63.2%，从而可以通过实，从而可以通过实 验测量惯性环节的时间常数验测量惯性环节的时间常数T T ；工程上常用这个；工程上常用这个 特征来判断实验曲线是不是一阶系统的响应曲线。特征来判断实验曲线是不是一阶系统的响应曲线。1000( )11|tTttdx tedtTTq 在在t=0t=0时，曲线的斜率最大。时，曲线的斜率最大。反映了信号加入瞬间，系统对输入的反应速度。反映了信号加入瞬间，系统对输入的反应速度。斜率代表了变化的快慢第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析q 时间常数时间常数T T 反映了系统响应的快慢。时间常数反映了系统响应的快慢。

43、时间常数T T是是 决定系统动态特性的参数。决定系统动态特性的参数。T T的大小表明了一阶系的大小表明了一阶系 统惯性的大小。统惯性的大小。T T越大，系统惯性越大，越大，系统惯性越大，t ts s也越大，也越大， 系统输出响应变化得慢；反之亦然。系统输出响应变化得慢；反之亦然。q 将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：即即ln1-ln1-x xo o( (t t)与时间与时间t t 成线性关系。成线性关系。该性质可用于判别系统是否为惯性环节，该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。以及测量惯性环节的时间常数。)(1txeoTt)(1ln1

44、txtTot tln1-ln1-x xo o( (t t)0 0第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析一阶系统响应的典型值一阶系统响应的典型值 时间 t响应 xo (t)T0.6322T0.8653T0.954T0.9825T0.99q 一阶系统瞬态响应的主要部分是在动态过程一阶系统瞬态响应的主要部分是在动态过程 初始阶段内完成的。初始阶段内完成的。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析Tts4Tts3q 理论上，只有在理论上，只有在tt时动态过程才能结束。实时动态过程才能结束。实 际上，当输出响应进入到一定的误差范围（际上，当输出响应进入到一定的误差范围（2%2% 或

45、或5%5%）后，就可以认为动态过程已经结束。通）后，就可以认为动态过程已经结束。通 常，用调节时间常，用调节时间t ts s来描述动态过程的长短。来描述动态过程的长短。 t ts s 就是一阶系统的动态性能指标。就是一阶系统的动态性能指标。 若取若取2%2%的误差范围，则：的误差范围，则： 若取若取5%5%的误差范围，则的误差范围，则: :通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%95%98%98%时，认为系统响应过程基本结束。从而时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为惯性环节的过渡过程时间为3T3T4T4T。第三章第三章 系统的

46、时间响应分析系统的时间响应分析4 4、一阶系统的、一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡响应一阶系统单位斜坡响应的拉普拉斯变换为： 经拉普拉斯反变换，得：其响应曲线为：t t0 0 x xo oT TT Tx xi i(t(t)=t)=tx xo o(t(t) )输入输出可以看出：可以看出：即使在 ，达到稳定状态，输出与输入之间仍有差值。 t1( ),0tTox ttTTet 2o22111( )( )( )11iTTXsG s XsTssssTs第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 可见，一阶系统能跟踪斜坡输入，但存在一恒定的跟踪可见，一阶系统能跟踪斜坡输入，但存在一恒定的跟踪误差，这

47、一点在误差，这一点在 “ “稳态误差分析稳态误差分析”中将作进一步分析。中将作进一步分析。t t0 0 x xo oT TT Tx xi i(t(t)=t)=tx xo o(t(t) )输入输出 oioitt由图可见：t时， x (t)-x(t)=Tdx (t)dx(t)dtdt第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 一阶系统单位速度响应的特点一阶系统单位速度响应的特点q 瞬态响应瞬态响应：T T e e t t / /T T ；稳态响应稳态响应：t t T T；q 经过足够长的时间经过足够长的时间( (稳态时，如稳态时，如t t 4 4T T) )，输，输 出增长速率近似与输入相

48、同，此时输出为：出增长速率近似与输入相同，此时输出为： t t T T，即输出相对于输入滞后时间，即输出相对于输入滞后时间T T； q 系统响应误差为：系统响应误差为： TeeTtxtxteTtoi)()1 ()()()(第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析5 5、线性定常系统时间响应的、线性定常系统时间响应的性质性质 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同 组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系 统的动态特性。统的动态特性。 比较一阶系统的阶跃、斜坡、脉冲输入与响应比较一阶系统的阶跃、斜坡、脉冲

49、输入与响应 函数，可知线性定常系统的一个重要特性：函数，可知线性定常系统的一个重要特性： 线性定常系统对输入信号导数（积分）的响应，线性定常系统对输入信号导数（积分）的响应，等于系统对该输入信号响应的导数（积分）。等于系统对该输入信号响应的导数（积分）。 第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 根据这一特性，可较方便地求出较复杂输入信根据这一特性，可较方便地求出较复杂输入信 号的响应。号的响应。单位斜坡函数单位斜坡函数x(t)=t)(ty)(K tTTtTe/响应响应求求导导单位阶跃函数单位阶跃函数x(t)=1单位脉冲函数单位脉冲函数(t)=1求求导导)1 ()(/TteKty响应

50、响应TteTKty/)(响应响应求求导导求求导导第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 可以证明，该结论可以推广到任何阶次的线性可以证明，该结论可以推广到任何阶次的线性定常系统。即对于线性定常系统定常系统。即对于线性定常系统 如果如果 则则 这是线性定常系统的一个重要特性。这使得我这是线性定常系统的一个重要特性。这使得我们在研究线性定常系统的时间响应时，不必对每种们在研究线性定常系统的时间响应时，不必对每种输入信号形式进行分析，而只取其中一种典型形式输入信号形式进行分析，而只取其中一种典型形式进行分析，通常我们研究进行分析，通常我们研究单位阶跃响应单位阶跃响应。12( )( )ii

51、dxtxtdt12( )( )oodxtxtdt第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析6 6、不同时间常数下的响应情况、不同时间常数下的响应情况 任何输入下任何输入下,T,T越大越大, ,系统惯性越大系统惯性越大, ,系统输出响应系统输出响应变化越缓慢变化越缓慢。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 =2%,t=2%,ts s=4T, =4T, =5%,t=5%,ts s=3T=3T，调整时间反映系统，调整时间反映系统响应的快速性，响应的快速性，T T越大，系统的惯性越大，调整时间越大，系统的惯性越大，调整时间t ts s越长，响应越慢。越长，响应越慢。 一阶系统的性

52、能指标：一阶系统的性能指标：Ts,Ts,它是一阶系统在阶跃它是一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的输入作用下，达到稳态值的(1-(1-) )所需的时间所需的时间( (为为容许误差容许误差) )。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析( )G s实验法求一阶系统的传递函数实验法求一阶系统的传递函数输入输入单位阶跃信号单位阶跃信号，并测出它的响应曲线，及稳态，并测出它的响应曲线，及稳态 ；从响应曲线上找出从响应曲线上找出0.632 （即特征点（即特征点A）所对应的时间所对应的时间t, 或或t=0点的切线斜率点的切线斜率;参考式（参考式（3.3.1）求出）求出 ，或者，由单位阶跃响应，

53、或者，由单位阶跃响应 ，根，根据关系据关系 ；求得；求得 ；由由 求得求得 。( )oux( )oux( )ouxt( )( )ouw txt ( )w t( )w t( ) ( )G sL w t( )G s1234( (时间常数时间常数T)T)时间常数时间常数T T的倒数的倒数 1,0tTw tetT时间常数时间常数T T与外界无关的固有特性与外界无关的固有特性第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析四、二阶系统四、二阶系统 凡是可用凡是可用二阶微分方程二阶微分方程描述的系统称为二阶描述的系统称为二阶系统。其典型形式是系统。其典型形式是振荡环节振荡环节。 二阶系统是控制系统中应用

54、最广泛、最具代二阶系统是控制系统中应用最广泛、最具代表性的系统。在控制工程中，二阶系统的应用极表性的系统。在控制工程中，二阶系统的应用极为普遍。为普遍。 不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此，二阶系统的分析方法系统的特性来表征。因此，二阶系统的分析方法也是分析高阶系统的基础。也是分析高阶系统的基础。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析二阶系统及其数学模型二阶系统及其数学模型二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应动态性分析动态性分析稳态性分析稳态性分析二阶系统的基本性质及结论二阶系统的基本性质及结论二阶系统分析步骤：二阶系

55、统分析步骤：第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析uiu0LRC 222111212(1/1/,)2oinUssUsLCsRCsRCLCsLCsLCRCTLCLC Ui(S)Uo(S)I (S)-Uo(S)1Cs1LS R+Xi(s)Xo(s)2222nnnss第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析1 1、二阶系统传递函数的标准形式、二阶系统传递函数的标准形式 设所研究的二阶系统的微分方程为：设所研究的二阶系统的微分方程为：2012( )( )( )( )oooid x tdx taax tx tdtdt对应的传递函数为：对应的传递函数为：201( )1( )( )1o

56、iXsG sX sa sa s研究二阶系统时研究二阶系统时, ,一般采用如下传递函数：一般采用如下传递函数：阻尼比阻尼比( (或无阻尼系数或无阻尼系数) )式中：式中：01/na01/2aa无阻尼固有频率无阻尼固有频率 ( (或自然频率或自然频率) )一般形式一般形式222( )( )( )2oninnXsG sXsss标准形式标准形式第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析222221( )221nnnG sssT sTs另：其中，其中，T T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期；为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期； n n1/T1/T。若令二阶系统若令二阶系统传递函数的分母多项

57、式为零传递函数的分母多项式为零，则有：，则有：二阶系统的二阶系统的特征方程特征方程0222nnss该特征方程的两个根该特征方程的两个根( (系统的闭环极点系统的闭环极点) )为：为：22221,224412nnnnns 第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 显然，显然，二阶系统的时间响应取决于二阶系统的时间响应取决于 和和 n n这两个这两个特性参数特性参数。 对于不同结构的二阶系统，对于不同结构的二阶系统， 和和 n n的物理含意不的物理含意不同。同。 随着随着 的取值不同的取值不同, ,二阶系统的特征根也会不同：二阶系统的特征根也会不同：21n0s平面n1s2s欠阻尼欠阻尼j

58、21,2(1)011nnsj 当时有一对具有负实部的共轭复有一对具有负实部的共轭复根，称根，称“欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统”，即，即振荡环节振荡环节。第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析21,21nnndsjj 特点：系统时域响应含有衰减的复指数振荡项特点：系统时域响应含有衰减的复指数振荡项tjttjdndneee)(其中，其中，21nd称为有称为有阻尼固有频率阻尼固有频率。21n0s平面n1s2s欠阻尼欠阻尼j第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析1,2(2)0nsj 当时有一对共轭虚根，有一对共轭虚根，称称“无阻尼二阶系统无阻尼二阶系统”。n0s平面1s2sn无

59、阻尼无阻尼j系统时域响应含有复指数振荡项：系统时域响应含有复指数振荡项：tjne有一对相等的负实数根，有一对相等的负实数根，称称“临界阻尼二阶系统临界阻尼二阶系统”。1,2(3)1ns 当时0s平面n1s2s临界阻尼临界阻尼j第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析“临界阻尼系统临界阻尼系统”包含两类瞬态衰减分量：包含两类瞬态衰减分量：ttnntee,21,2(4)11nnsj 当时有一对不相等的负实数根，有一对不相等的负实数根，称称“过阻尼二阶系统过阻尼二阶系统”。系统包含两。系统包含两类瞬态衰减分量：类瞬态衰减分量：s平面j01s2s过阻尼过阻尼tnn1exp2第三章第三章 系统

60、的时间响应分析系统的时间响应分析(6)1 当时称为称为“负阻尼二阶系统负阻尼二阶系统”，有一对不相等的有一对不相等的正正实数根，实数根，极点极点实部大于零实部大于零，响应发散，系统不，响应发散，系统不稳定。稳定。21,2(5)101nnsj 当时有一对具有正实部的共轭复有一对具有正实部的共轭复根，称根，称“负阻尼二阶系统负阻尼二阶系统” 。21n0s平面n1s2sj负阻尼负阻尼s平面j01s2s负阻尼负阻尼第三章第三章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析过阻尼二阶系统：过阻尼二阶系统：传递函数可分解为两个一阶传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相乘惯性环节相加或相乘, ,因此可视为两个一阶