复变函数第6讲

1、1例1 设一平面流速场的复势为f(z)=az(a0为实常数), 试求该场的速度, 流函数和势函数.2流线等势线Oxy3例例2 由场论的观点, 流速场中散度div v 0的点, 统称为源点源点(有时称使div v 0 的点为源源点点, 而使div v 0的点为洞洞). 试求由单个源点所形成的定常流速场的复势, 并画出流动图象.解解 不妨设流速场v内只有一个位于坐标原点的源点, 而其他各点无源无旋, 在无穷远处保持静止状态. 由该场的对称性容易看出, 场内某一点z0处的流速具有形式v=g(r)r0,其中r=|z|, r0是指向点z的向径上的单位向量, 可用复数表示为 , g(r)是一待定函数.|z

2、z4由于流体的不可压缩性, 流体在任一以原点为中心的圆环域r1|z|r2内不可能积蓄, 所以流过圆周|z|=r1与|z|=r2的流量应相等, 故流过圆周的流量为000| | |d( )d2|(|)zrzrNsg rsz gzvrrr因此, 它是一个与r无关的常数, 称为源点的强源点的强度度. 由此得(|)2|Ngzz5而流速可表示为1(2.4.7)2| |2NzNvzzz显然, 它符合在无穷远处保持静止状态的要求. 由(2.4.6)式可知, 复势函数f(z)的导数为1( )( )2Nfzv zz则( )Ln(2.4.8)2Nf zzc其中c=c1+ic2为复常数.6该场的流动图像如图2.4和2

3、.5所示(实线表示流线, 虚线表示等势线.( )Ln(2.4.8)2Nf zzcc=c1+ic2为复常数. 将实部与虚部分开, 就分别得到势函数和流函数为12( , )ln|,2( , )Arg2Nx yxcNx yzc7图2.4xyO(N0)9第三章 复变函数的积分1 复变函数积分的概念101. 积分的定义 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线. 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 则将C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 设曲线C的两个端点为A与B, 如果将A到B的方向作为C的正方向, 则从B到A的方向就是C的负方向, 并记作C-. 常将两个端点中一个作为起

4、点, 另一个作为终点, 则正方向规定为起点至终点的方向. 而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时, 邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方.11定义 设函数w=f(z)定义在区域D内, C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 把曲线C任意分成n个弧段, 设分点为A=z0,z1,.,zk-1,zk,.,zn=BAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO12在每个弧段zk-1,zk(k=1,2,.,n)上任意取一点zk, 并作和式) 1 . 1 . 3()(limd)(,)(,.max,)()(1111111-nkkknCnknkkkkkkknkk

5、knkkkknzfzzfCzfSnszzszzzzfzzfSzzz记作的积分沿曲线则称其为有唯一极限如趋于零无限增加且当的长度记这里13容易看出, 当C是x轴上的区间axb, 而f(z)=u(x)时, 这个积分定义就是一元实函数定积分的定义.d)(,) 1 . 1 . 3()(limd)(1CnkkknCzzfCzfzzf作则沿此闭曲线的积分记为闭曲线如果z142,积分存在的条件及计算法 设光滑曲线C由参数方程z=z(t)=x(t)+iy(t), atb(3.1.2)给出, 正方向为参数增加的方向, 参数a及b对应于起点A及终点B, 并且z(t)0, atb.如果f(z)=u(x,y)+iv(

6、x,y)在D内处处连续, 则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数. 设zk=xk+ihk, 由于Dzk= zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=Dxk+iDyk,所以,15),(),(),(),()(,(),()(1111kkkkkknknkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuyixivuzfhxhxhxhxhxhxz-16由于u,v都是连续函数, 根据线积分的存在定理, 我们知道当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 不论对C的分法如何, 点(xk,hk)的取法如何, 上式右端的两个和式的极限都是存在的.

7、 因此有)3 . 1 . 3(.ddd)(-CCCudyvdxiyvxuzzf17)4 . 1 . 3(d)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)(.d)()ii.d)(,)() i-babattytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfzzfzzfCzfCCC线积分来计算函数的可以通过两个二元实变是一定存在的积分是光滑曲线时是连续函数而当18上式右端可以写成)5 . 1 . 3(.d)()(d)(.d)()(d)()()(),()(),(bababattztzfzzfttztzftty itxtytxivtytxuC所以)6 . 1 . 3(.d)

8、(d)(d)(d)(21nCCCCzzfzzfzzfzzf如果C是由C1,C2,.,Cn等光滑曲线首尾连接而成, 则我们定义19例1 计算 , 其中C为原点到点3+4i的直线段.解直线的方程可写作x=3t, y=4t, 0t1,或z=3t+i4t, 0t1.在C上, z=(3+4i)t, dz=(3+4i)dt. 于是Czzd2102102)43(21d)43(d)43(dittittizzC20例2 计算 , 其中C为以z0为中心, r为半径的正向圆周, n为整数.-Cnzzz10)(dz0rqz-z0=reiqzOxy21解 C的方程可写作z=z0+reiq, 0q2, dz=ireiqd

9、q-. 0, 0, 0,2)(d. 0)sin(cos,0,2d,0dededee)(d|102020202020)1(1100nnizzzdninriniinriririrzzzrzznninninnniniCn所以结果为时当结果为时当qqqqqqqqqqq22所以这个结果以后经常要用到, 它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关. 应当记住.-. 0, 0, 0,2)(d|100nnizzzrzzn233.积分的性质MLszfzzfMzfCzfLCzzgzzfzzgzfkzzfkzzkfzzfzzfCCCCCCCCC-d| )(|d)(| )(|)(,)ivd)(d)(d)()()iii)

10、( ;d)(d)()iid)(d)() i则上满足在长度为设曲线为常数24柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则它在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:)2 . 2 . 3(. 0d)(CzzfCB25定理中的曲线C可以不是简单曲线.此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B.如果曲线C是B的边界, 函数f(z)在B内与C上解析, 即在闭区域B+C上解析, 甚至f(z)在B内解析, 在闭区域B+C上连续, 则f(z)在边界上的积分仍然有0d)(Czzf263 基本定理的推广复合闭路定理27可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况. 设函数f(z)在多连通域D内解析, C

11、为D内的任意一条简单闭曲线, 当C的内部不完全含于D时, 沿C的积分就不一定为零.假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方向)简单闭曲线, C1在C内部, 而且以C及C1为边界的区域D1全含于D. 作两条不相交的弧线AA及BB,其中A,B在C上, AB在C1上这样构成两条全在D内的简单闭曲线AEBBEAAE及AAFBBFA.28DCC1AABBD1FEEF0d)(0d)(BFABFAAAAEAEBBzzfzzf29将上面两等式相加, 得)2 . 3 . 3(d)(d)() 1 . 3 . 3(0d)(d)(0d)(d)(d)(d)(d)(d)(111-CCCCBBBBAAAACCzzfzzf

12、zzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzf或即30(3.3.1)说明, 如果将C及C1-看成一条复合闭路G, 其正向为:沿C逆时针, 沿C1-顺时针, 则0d)(Gzzf(3.3.2)说明, 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点. 这一重要事实, 称为闭路变形原理31D变形过程中不能够经过f(z)不解析的点32定理(复合闭路定理) 设C为多连通域D内的一条简单闭曲线, C1,C2,.,Cn是在C内部的简单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ., Cn为边界的区域全含于D. 如果f(z)在D内解析, 则0d)()ii;,d)(d)(i)1GzzfCCzzfzzfknkCCk均取正方向与G为由C及Ck(k=1,2,.,n)所组成的复合闭路(C按顺时针, Ck按逆时针33DCC1C2C334例如 从本章1的例2知: 当C为以z0为中心的正向圆周时, izzzzizzzC2d:,2d000-GG都有任何一条正向简单曲线的对于包含根据闭路变形原理所以35解 函数 在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的. 由于G 是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线, 因此, 它也包含这两个奇点. 在G 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2, C1