中南大学信号与系统——离散系统的Z域分析

1、信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-221第第 6 章章信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-222本本 章章 要要 求求熟练掌握离散时间信号和系统的熟练掌握离散时间信号和系统的z z域域分析方法：信号变换及其收敛域、反变分析方法：信号变换及其收敛域、反变换及其系统响应的求解方法。换及其系统响应的求解方法。 返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-223本本 章章 内内 容容引引 言言z z变换变换z z变换的性质变换的性质逆逆z z变换变换z z域分析域分析

2、信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-224引引 言言在连续时间系统的分析中，曾以较多的篇幅讨在连续时间系统的分析中，曾以较多的篇幅讨论了采用变换域的分析方法。在这些分析方法中，论了采用变换域的分析方法。在这些分析方法中，不仅大大简化了运算，而且还具有其物理涵义，如不仅大大简化了运算，而且还具有其物理涵义，如傅氏变换傅氏变换就是把连续时间信号变换成频域的函数，就是把连续时间信号变换成频域的函数，从而比较清晰地表征了连续时间信号的频率特性；从而比较清晰地表征了连续时间信号的频率特性；拉氏变换拉氏变换就是把连续时间信号变换成复频域（就是把连续时间信号变换成

3、复频域（s 域）域）的函数，因而扩大了信号的变换范围。的函数，因而扩大了信号的变换范围。信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-225在连续时间系统中，这两种变换都可以把微分在连续时间系统中，这两种变换都可以把微分方程的运算变换成代数方程的运算，从而使运算简方程的运算变换成代数方程的运算，从而使运算简化。同样，在离散时间系统中的化。同样，在离散时间系统中的时域分析时域分析是用差分是用差分方程来描述，可归结为方程来描述，可归结为差分方程差分方程的建立和求解；对的建立和求解；对应于连续信号的应于连续信号的傅里叶变换傅里叶变换（频域），离散信号的（频域），离散

4、信号的频域变换也称频域变换也称傅里叶变换傅里叶变换；而对应于连续信号的；而对应于连续信号的 s 域变换域变换，离散信号也采用一种变换域来处理，这就，离散信号也采用一种变换域来处理，这就是是 z 域，也就是域，也就是 z z 变换变换。本章着重分析最常用的。本章着重分析最常用的 z z 变换及其分析方法。变换及其分析方法。返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-226z z 变换变换从拉普拉斯变换到从拉普拉斯变换到z z变换变换 z z变换的收敛域变换的收敛域 常用序列的常用序列的z z变换变换返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z

5、 z域分析 上一页上一页2022-5-227当当 ， 上式为上式为傅里叶变换傅里叶变换 从拉普拉斯变换到从拉普拉斯变换到 z 变换变换 kksktkfttftf一个取样信号可以表示为一个取样信号可以表示为: : 虽然虽然 仅在取样瞬间才有函数值，但仍可以把它作为仅在取样瞬间才有函数值，但仍可以把它作为一个连续信号来处理，故取其拉氏变换为一个连续信号来处理，故取其拉氏变换为 tfssez 令令 （ s 为复函数，为复函数， z z 也为复函数也为复函数） jjjsreeeeez , er, ,其中：其中： js kkjekfjF sFs kskekfkt tfs kkkfktkf 信号与线性系统

6、分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-228于是前式可以写为：于是前式可以写为： kkszkfsFzF zFkf（一一对应一一对应） z z变换定义：变换定义：一个离散时间序列一个离散时间序列f(k)的的z变换为变换为z- -1的一个幂级的一个幂级数，这个级数中的每一项的系数即为离散时间数，这个级数中的每一项的系数即为离散时间序列序列f(k)相应的函数值。相应的函数值。z一般为复函数。一般为复函数。 单边时：单边时： 0kkszkfsFzF返返 回回 kksksksekfekfsFsez 令令 信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页202

7、2-5-229收敛域收敛域 z 变换的存在条件变换的存在条件一个序列一个序列f(k)的的z变换变换F(z)，由定义知是一个，由定义知是一个无穷级数，要使其有意义并以闭合形式出现，则无穷级数，要使其有意义并以闭合形式出现，则该级数必须绝对收敛，即该级数必须绝对收敛，即F(z)在在z复平面的某一区复平面的某一区域内都有域内都有 ；如果不能绝对收敛，；如果不能绝对收敛，就认为该序列就认为该序列f(k)的的z变换不存在。变换不存在。 kzkf信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2210收敛域收敛域设设f(k)是一个因果信号是一个因果信号k 0时时f(k)0，

8、即级数，即级数F(z)的幂的幂都是正的，则都是正的，则F(z)的绝对收敛区域是在中心为原点的圆内；若的绝对收敛区域是在中心为原点的圆内；若f(k)是双边信号，则级数是双边信号，则级数F(z)中既有正幂，也有负幂，那么中既有正幂，也有负幂，那么F(z)的绝对收敛区域将是一个圆环（见下各图）。的绝对收敛区域将是一个圆环（见下各图）。 jz Im zRe 0kkzkf 0kkzkfjbaj kkzkfab信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2211收敛域收敛域要注意的是：要注意的是：如果一个如果一个z变换式不是以无限级变换式不是以无限级数的形式而是以封闭形

9、式出现（若未给绝对收敛数的形式而是以封闭形式出现（若未给绝对收敛域），那么它还不能唯一地规定一个离散信号；只域），那么它还不能唯一地规定一个离散信号；只有同时给出绝对收敛域，才能唯一确定了一个信号有同时给出绝对收敛域，才能唯一确定了一个信号（见后面例子）。（见后面例子）。 返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2212常用序列的常用序列的 z 变换变换 单位序列单位序列 指数序列指数序列单位阶跃序列单位阶跃序列斜变序列斜变序列正弦信号正弦信号 返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2213单

10、位序列单位序列 0 , 1 , 1 , 0001 0zkzkzFkkkkk指数序列指数序列 201zazazazFkkk若，则若，则 bea bezzsF kak若，则若，则 1a 1zzsF（单位阶跃序列）（单位阶跃序列） 返返 回回1 11zaazzza, az 信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2214单位阶跃序列单位阶跃序列或在前式中令或在前式中令 ，有：，有： 1a 1zzsF按定义：按定义： 0001 kkk 1 1zzzk, 20111zzzksFkk即：即： 返返 回回1 1 1111zzzz,信号与线性系统分析离散时间信号与系统的

11、 z z域分析 上一页上一页2022-5-2215斜升序列斜升序列 0s , kkkzFkkkf对前面的对前面的 式二边对式二边对 z 求导，有求导，有 10zzzkkk两边乘以（两边乘以（- -z）即得所求为：）即得所求为： 201zzkzsFkk20111zkzkk返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2216令令 ，则，则 正弦信号正弦信号 Tjb 121222TzzTzjTzzTzzezzzFTjcoscoscoscos kTkjkTkkeTkjsincos而而 1 122zTzzTzzkTk,coscoscos 1 122zTzzT

12、zkTk,coscossin kTkkfkTkkfsincos21 , 返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2217与拉氏变换相似，也可由与拉氏变换相似，也可由z变换的定义推导出一些基本变换的定义推导出一些基本性质。这些性质表明了序列与性质。这些性质表明了序列与z变换之间的关系；利用这些变换之间的关系；利用这些性质，不仅可以简化由性质，不仅可以简化由f(k)求求z变换的过程，而且可以简化变换的过程，而且可以简化由由F(z)求原序列的反变换的运算。求原序列的反变换的运算。 （单边单边）z 变换的性质变换的性质 序列序列乘乘 k（z 域微分）特

13、性域微分）特性序列除序列除( (k+m) )（z 域积分）特性域积分）特性k 域反转特性域反转特性差分与求和特性差分与求和特性初值定理和终值定理初值定理和终值定理线性叠加特性线性叠加特性移位（移序）特性移位（移序）特性 z 域尺度变换特性域尺度变换特性（序列）卷积定理（序列）卷积定理返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2218线性叠加特性线性叠加特性若若 zFkf11则则 zFazFakfakfa22112211 zFkf22返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2219（单边则为（单边则

14、为 ）移位（移位（移序移序）特性）特性 zFkf 左移左移（与拉氏变换的微分特性相似）（与拉氏变换的微分特性相似） 10 , 01mkkmzkfzFzmkffzFzkf（单边（单边 ，则为，则为 ） 01 f zFz1 111fzFzkf 右移右移 zFzm例：例：求求 的的 z 变换变换 11kak , azzkak azzazzkak1111 21211ffzFzzkf 10mkkmzmkfzFzmkf返返 回回，k 0信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2220序列乘序列乘 ak（z域域尺度变换尺度变换）特性）特性 zFkf若若 azFkfak

15、则则返返 回回，（a 0）信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2221（序列序列）卷积定理）卷积定理 , , 2211zFkfzFkf若若则则 zFzFkfkf2121可见，上式可见，上式 z 变换卷积特性与拉氏变换卷积特性具有变换卷积特性与拉氏变换卷积特性具有相似的形式。相似的形式。 例：例： , 51 , 2121kkfkkfkk ?21kfkfky 2 . 051 , 5 . 02121zzkZzFzzkZzFkk kkkkykkkk5122153151322135 2 . 0325 . 0352 . 05 . 022121zzzzzzzzFz

16、FkfkfZ 求：求： 返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2222序列乘序列乘 k（z 域微分域微分）特性）特性 zFkf例：例：求单边序列求单边序列 k、k2、k3 的的 z 变换。变换。 , 1zzk 211zzzzdzdzkk 322111zzzzzdzdzkk 423311411zzzzzzzdzdzkk若若则则 , zFdzdzkfk返返 回回 zFdzdzkfknn , 信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2223若若 ，则，则 序列除（序列除（k+m）（）（z 域积分域积分）特性）

17、特性 zFkf zmmdFzmkkf1 zdFkkfkm , 0 , 0 有且当例：例：求的求的 z 变换。变换。 kkak11 azzkak azazkaakakk1 zzzkdazdaazdaazkka11121azzzazazzzlnlnlnln返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2224若若 ，则，则 k 域反转特性域反转特性 zFkf例：例：求求 的的 z 变换。变换。 1kak azzkak azaazzazkaakakk1111azazazakak1111zFkf返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析

18、上一页上一页2022-5-2225差分与求和特性差分与求和特性若若 ，则，则 zFkf zFzfzFfzz1lim , lim01初值定理和终值定理初值定理和终值定理 kfkfkfkfkfkfzFkf1 , 1 , 01 , 11zfzFzkfzFzkf zFzFzzkkfifki11若若则则返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2226例例 题题0111kkkka例：例：求求 azzkak azazkaakakkk11 zzkkdaazdaazkka2111zazzazazdazzzzlnlnlnln11azazzkazkkk1lnln11

19、101 111lim1limlim11100FzFzzzzFzififkfzzkiki由求和及终值定理可求出无限序列的闭合形式，即由求和及终值定理可求出无限序列的闭合形式，即 返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2227逆逆 z 变换变换幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法） 部分分式法部分分式法 围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）双边双边z z变换变换 返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2228幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法） 210210zfzffzkfzF

20、kk由定义由定义: : 可见其系数即为可见其系数即为f(k)，所以将，所以将F(z)的闭合的闭合形式用长除法连除就可得到形式用长除法连除就可得到f(k)。 信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2229若若 | z | 1 ，则，则只有只有 z 的负幂级数（的负幂级数（ ）才收敛，属）才收敛，属降幂排列，即降幂排列，即 例例 题题例：例：，求反变换。，求反变换。 122zzzF422221111zzzzz kkfk 11 21 若若 | z | 3 ，故展开式为负幂才收敛，故展开式为负幂才收敛 3113112211212zzzzzzzzKzzKzzKz

21、F 134 1 121211zzzzzFzdzdK 13 ,zzzzFzKzzzzFzK其中：其中： kkkkkfkkkk133111 3 z返返 回回 3112zzzzzF信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2234又称又称反演积分法反演积分法，它与拉氏反变换的留数法有相似的公，它与拉氏反变换的留数法有相似的公式：若式：若 zi 为的一个为的一个 r 阶极点，则有以下公式：阶极点，则有以下公式： 1kzzF kzzFzzdzdrkfmizzkrirri1111! 11 311 , 311212zzzzzzFzzzzzFkk

22、例：例： （二阶），（二阶）， 1z kkkzzzdzdkfzk131113z kkzzzkfkzk311322（一阶），（一阶）， kkkfkfkfk1321 返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2235双边双边 z 变换变换双边双边 z z 变换定义变换定义 收敛域收敛域 逆变换逆变换 返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2236双边双边 z 变换定义变换定义 收敛域收敛域 kkzkfzF与单边相比，下限不同，单边为双边的特例。与单边相比，下限不同，单边为双边的特例。同样，如果同样，

23、如果 有收敛域，则其存在且有意义，否则不有收敛域，则其存在且有意义，否则不存在，由前面介绍过的收敛域情况可知有下面三种：存在，由前面介绍过的收敛域情况可知有下面三种： zF 01kkzkfzF 12kkzkfzF kkkkkkzkfzkfzkfzF1012返返 回回，| z | a kakfk1，a 0 ，| z | 0 （b | z | a ， b a 0 ）信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2237例例 题题 由前面介绍的例子由前面介绍的例子 可知，要满足其级数收可知，要满足其级数收敛，必须保证每一项均小于敛，必须保证每一项均小于 1，那么：，

24、那么： 122zzzF 11 1 kjjkkazzazazazkjzazF令 1 1100azzaazzzazazazFkkkkk , 1kakfk , 1 azaz kakfk信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2238； ；逆变换逆变换 与单边的一样，只要注意不同的收敛域会有不同的结果（升与单边的一样，只要注意不同的收敛域会有不同的结果（升幂或降幂），且应加上幂或降幂），且应加上 或这样的尾巴。或这样的尾巴。 k1 k 23752zzzzF例：例：求求 分别在分别在 | z | 2 | z | 31条件下的反变换。条件下的反变换。 2312313

25、527352zzzzzzzzzzzF 2 z kkfkk231 | z | 2， 1，zzzF2113111 31 z 1，信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2239逆变换逆变换31 1231kkkfkk 2 , 31z 1231kkfkk返返 回回 | z | 1， 31 z 1， 21231131zzzzzF| z | 1， 31 z信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2240离散时间系统的离散时间系统的 z 变换分析法变换分析法与拉氏变换相对照：与拉氏变换相对照： zHEHsjHpHzEjpsp ,

26、 令令令 zHZkhsHLth11 , zFzHzYsFsHsY , s 域可以一次求出全响应，用域可以一次求出全响应，用 z z 变换分析差分方程也不变换分析差分方程也不必分别求出零状态响应和零输入响应，所有的初始条件都可以必分别求出零状态响应和零输入响应，所有的初始条件都可以根据右移定理和激励一起全部代入方程，直接求解，一次求出根据右移定理和激励一起全部代入方程，直接求解，一次求出全响应。全响应。 返返 回回信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2241例例 题题 kybykakfkfkbykyk , 11 , , 1求 azzzYbzzYzFyzYzbzY1 , 111依右移定理：依右移定理： bzKazKzbzazazzzYazazzYbz2112 , 21 babaababzzYbzKbaazzYazKbzaz22 , 21 kbbaabakykk211 信号与线性系统分析离散时间信号与系统的 z z域分析 上一页上一页2022-5-2242 kbbaabakykk211 1211kkbbaabakkkbbaabakk