化工应用数学 3第三章 三传一反基本方程

1、第三章 三传一反基本方程任课老师：程道建任课老师：程道建 副教授副教授E-mail: 第三章 三传一反基本方程 3.1 质量传递连续性方程 3.2 动量传递运动方程 3.2 热量传递能量方程 3.4 反应动力学方程三传基本方程三传基本方程三传基本方程3.1 3.1 质量传递质量传递连续性方程连续性方程连续性方程连续性方程 化工传递过程所研究的体系一般都遵循质量守恒定律。并且，质量守恒定律不仅适用于单组分流体，而且适用于多组分流体。 在流体中选取一无限小微元体，该微元体的体积为在流体中选取一无限小微元体，该微元体的体积为 , , 假定流体的假定流体的质量流率在某一方向存在微小变化质量流率在某一方

2、向存在微小变化 而在三维空间上应满足质量而在三维空间上应满足质量守恒定律，守恒定律， 即 累计质量流率 + 输出质量流率 - 输入质量流率 = 0可得到无源或无汇条件下的连续性方程 (3-1)如写成向量形式，则有 (3-2)d dydzx()d ,xuxx0yxzuuutxyz()0tu 3.1 3.1 质量传递质量传递连续性方程连续性方程 当流体为不可压缩流体时，即介质密度 为常数时，连续性方程变为更简单的形式 (3-3) 将式(3-1)展开，可以得到连续性方程的另一种表达形式 (3-4) 式中前4项正好是密度的随体导数密度的随体导数(也称质点导数)。 (3-5) 因此，采用向量的形式表示为

3、 (3-6) 式(3-6)中第一项表示流体微团的相对密度变化率相对密度变化率，第二项表示流体微团的相对体积变相对体积变化率化率。为了维持流体微团的质量守恒，流体微团的相对密度变化率必须等于负的相对体积变化率。 0u()0yxzxyzuuuuuutxyzxyzD()0Dttu1 D0Dtu 对于多组分流体体系，需对体系的每一个组分分别建立连续性方程。多组分体系的质量通量是由对流通量和分子扩散通量两部分组成。由于多组分体系往往还存在化学反应，因而还需考虑源项。多组分连续性方程的一般形式为 (3-7) 式中的分子扩散通量由 Fick 定律确定，如 方向的扩散通量为 (3-8) 在解决具体问题时，要适

4、当选择坐标，这样会简化问题的求解。连续性方程在柱坐连续性方程在柱坐标系中的一般表达式为标系中的一般表达式为 (3-9) 在球坐标系中的一般表达式为 (3-10) ()iiiijrtu xDiiikjx 11()()()0rzr uuutrrrz22111()(sin )()0sinsinrruuutrrrr思考题：连续性方程在柱坐标系和球坐标系中的推导思考题：连续性方程在柱坐标系和球坐标系中的推导3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2

5、3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程3.2 3.2 动量传递动量传递

6、运动方程运动方程 化工研究和处理的对象大多数是流体，所以对流体的认识非常重要。按照牛顿力学第二定律，流动流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的诸外力之合力流动流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的诸外力之合力，在直角坐标系中，流体运动方程为 (3-11) 式中，速度 的随体导数正好是流体质点的加速度。流体所受合力 一般可分为质量质量力力 和表面力和表面力 。 (1)质量力和表面力 作用在流体上的质量力质量力属于非接触力，只与流体本身的物质存在有关，与流体接触的环境无关(如重力、超重力、静电力)。为了方便，下面只考虑重力 。在直角坐标系中，对于 这样的微元体，流体所受质量力在三个

7、坐标方向上的分量为 (3-12) 如果 轴取水平方向， ， 。DDMtuF uFbFsFGdd d dVx y z bxbybzdd d ddd d ddd d dxyzFGx y zFGx y zFG x y z , x y0 xyGGzGg 3.2 3.2 动量传递动量传递运动方程运动方程 表面力表面力是指流体微元表面所受到的作用力(静压力、黏性力)，是由微元体与外部流体相互作用而产生的。在黏性流体中，将表面力分解成一个垂直于作用面的法向应表面力分解成一个垂直于作用面的法向应力力( (正应力正应力) )和两个平行于作用面的切向应力和两个平行于作用面的切向应力( (切应力切应力) )。 表面

8、力作用在 六面体微元上，微元体每个面将存在三个力的分量(正应力 和切应力 、 )。应力的下标中第一个字母表示应力分量作用面的法向，第二个字母表示应力本身的方向。易知，作用于流体微元的表面力包括三个正应力和六个切应力。又对偶切应力应该相等，即 (3-13) 因此，流体微元所受到的表面力可以用三个正应力和三个切应力来表述。通过对微元表面力的微分分析，可以得到作用在流体微元三个坐标方向上的表面力分别为 (3-14) d d dx y ziiijikxyyxyzzyzxxz d()d d dd()d d dd()d d dyxxxzxsxxyyyzysyyzxzzzszFx y zxyzFx y zx

9、yzFx y zxyz (2) 应力表示应力表示的运动方程 将式(3-12)和式(3-14)代入式(3-11)得应力表示的流体微分运动方程 (3-15) 以上方程中除 为已知量外，其他都是未知量，所以必须寻求其他补充关系。(3) 流体运动本构关系本构关系应力与形变速率的关系 对于一维黏性流体，本构关系符合牛顿黏性公式 (3-16) 对于三维流体，其切应力本构关系为 DDDDDDyxxxxzxxyxyyyzyyyzxzzzzzuGtxyzuGtxyzuGtxyz Gddxuy (3-17) 正应力(静压力、剪切力的分量)的本构关系为 (3-18) 上式忽略了流体的体膨胀黏性系数。()()()yx

10、xyyxyzyzzyxzzxxzuuyxuuzyuuxz 22 ()()322 ()()322 ()()3yxxzxxyyxzyyyxzzzzuuuupxxyzuuuupyxyzuuuupzxyz (4) Navier-Stokes 方程 将式(3-17)和(3-18)代入到式(3-15)中应力表示的运动方程，即得到 (3-19) 将上式写成向量形式，则有 (3-20) 对于不可压缩的牛顿流体，满足 ，因而 (3-21) 式(3-21)是由Navier和Stokes分别各自独立推导得到的，因而被称为Navier-Stokes 方程(NS方程)。 222222222222222222D1()()

11、D3D1()()D3D1()(D3yxxxxxzxyyyyyxzyyxzzzzzuuuuuuupGtxxyzxxyzuuuuuuupGtyxyzyxyzuuuuuuupGtzxyzzxy )zz 2D1()D3ptuGuu 0u2DDptuGu 有时根据具体问题，使用柱坐标系或球坐标系更加方便些。NS方程在柱坐标系中为 (3-22)222222222()112 ()1()11 ()rrrrrzrrrrrrzuuuuuupuuGtrrrzruuurur rrrrzuuuuu uupuuGtrrrzrurur rrr 2222222222()11 ()rzzzzrzzzzzuurzuuuuupuu

12、Gtrrzzuuurrrrrz NS方程在球坐标系中的形式为 (3-23)22222222()sin2222 cotsincot1()sin rrrrrrrrrruuuuuuuupuGtrrrrruuuuurrrruuuuuuuu upuGtrrrrrr 22222222222222cos sinsincot1()sinsin22cos sinsinsinrrruuuurrruuuuuu uu uupuGtrrrrrruuuurrr 由于在奈维-斯托克斯方程(3-21)式中存在着诸如 、 等迁移加速度的非线性项以及复杂的边界条件，无法在数学上求解析解。只有针对某些特殊情况才能求其解，常采用近似

13、的方法忽略问题中与保留项相比的高阶小量，使得方程得以简化求解析解。xxuuxxux 3.3 热量传递热量传递能量方程能量方程 对于某一控制体中流体所做的功和加给该流体的热量之和与流对于某一控制体中流体所做的功和加给该流体的热量之和与流体的能量增加值相等。体的能量增加值相等。对于任意选定的控制体对于任意选定的控制体 流体运动过程中能量守恒定律的数学描述流体运动过程中能量守恒定律的数学描述：流入控制流入控制体的净能体的净能量速率量速率控制体对环控制体对环境的做功速境的做功速率率控制体内的控制体内的能量累计速率能量累计速率AD环境输入环境输入的热量速的热量速率率BC 时刻时刻A点流体密度为点流体密度

14、为 ，速度，速度 ，沿，沿x，y，z三坐标轴的分量为三坐标轴的分量为 ，温度为，温度为能量方程的推导能量方程的推导对于边长为对于边长为dx，dy，dz 的控制体微元，采的控制体微元，采用欧拉法推导用欧拉法推导(x,y,z, )u(x,y,z, )zyx,u,uu单位质量流体的能量为单位质量流体的能量为 ，则单位时间内通过左侧控制，则单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的能量面流入微元控制体的能量A项项. 流入控制体净能量速率流入控制体净能量速率：x方向方向txE u dydz通过右侧控制面流出微元控制体的能量速率通过右侧控制面流出微元控制体的能量速率 utxtx(E )E udx dydzx

15、utx(E )dxdydzxT(x,y,z, )2/2tEe u 3.3 热量传递热量传递能量方程能量方程utx(E )dxdydzx同理可得其它两个方向的方程同理可得其它两个方向的方程x方向方向y方向方向z方向方向uty(E )dxdydzyutz(E )dxdydzz流入控制体的净能量速率，流入控制体的净能量速率，A项为项为uuutytxtz(E )(E )(E )dxdydzxyzut(E )dxdydz 3.3 热量传递热量传递能量方程能量方程B项.热交换对于微元控制体，热量交换主要由对流和传导引起，忽略辐射x方向方向y方向方向z方向方向dxdydzxqx dxdydzyqy dxdy

16、dzzqz dxdydzzqyqxqzyx tqkn代傅立叶定律代傅立叶定律2tdxdydzk内热源所产生热量dxdydzq 3.3 热量传递热量传递能量方程能量方程C项.外力对控制体所做功质量力做功xbxybyzbzu Fu Fu FdxdydzdxdydzbFu表面力做功xxxxyyxzzP uP uP udxdydzx dxdydzuPuPuPyzyzyyyxyx dxdydzuPuPuPzzzzyzyxzx x方向方向y方向方向z方向方向xyzP uP uP u+dxdydzxyz 3.3 热量传递热量传递能量方程能量方程0,0quD项. 能量累计速率tEdxdydz将求得的将求得的A

17、BCD四项代入方程化简得：四项代入方程化简得：2dePt-udqk 内能的增量 内热源获得的热量 热传导所获热量对外做功 耗散功 对于无内热源、不可压流体、忽略耗散项，对于无内热源、不可压流体、忽略耗散项，能量方程可简化为：能量方程可简化为：2PdtcktdvPeCtct 3.3 热量传递热量传递能量方程能量方程 对于任何选定的控制体微元来说，具有以下关系式 (3-24)(1)净流入微元的能量速率 在 方向流入和流出控制面 的能量速率差为(E为总能量) (3-25) 在 方向上，可以得到类似的结果，三个方向上的加和即得净流入微元控制体的总能量增加速率 (3-26)xd dy zd d(d )d

18、 dd d dxxxxu Eu Eu E y zu Exy zx y zxx , x yd d dyxzu Eu Eu Ex y zxyz 微元流体净流入微传给微元外力对微的总能量元的能量的热量速元流体的累积速率速率率做功速率 3.3 热量传递热量传递能量方程能量方程(2) 传给微元流体的热量速率 在这里仅考虑存在导热和热源这两种受热情况。根据傅里叶定律，单位时间内通过单位面积的在三个方向上的导热量为 (3-27) 式中， 是热导率，单位为 。 分别对 三个方向的导热率进行衡算，即可得到通过导热传给微元的热量速率 (3-28) 如果流体微元内存在化学反应或其他产生热效应的现象，即可视为存在内热

19、源。 表示热源发热率，单位为 。由此可知，内热源传给微元流体的热量速率为 (3-29)(3) 外力对微元流体的做功速率 作用于流体微元的外力包括质量力和表面力两种。前者对流体微元的做功速率为, , xyzTTTqkqkqkxyz kW/(m K) x y z 、()()() d dydzTTTkkkxxxyyzzq 3J/(ms) d dydzq x (3-30) 对于表面力做功的情况，必须对三个方向的六个控制面进行分析。首先分析与 轴垂直的一对控制面。上游控制面上表面力做功的功率为 式中负号表示应力方向与速度方向相反。在下游控制面上 略去高阶小量，整理后减去上游控制面上的做功功率，即得净功率

20、为 同理可得另外四个控制面上的做功功率，并加和得整个微元流体的做功速率 (3-31)()d d d()d d dxxyyzzx y zu Gu Gu Gx y zG ux()d dxxxyxyzxzuuuy z(+dx)(+dx)+(+dx)(+dx)(+dx)(+dx) d dyxyxxxxzzxxxyxyzxzuuuuuuy zxxxxxx ()dxd dxxxyxyzxzuuuy zx ()() ()dxd dxxxyxyzxzxyxyyyzyzxzxyzyzzzuuuuuuxyuuuy zz (4) 微分能量方程 将式(3-26)、式(3-28)、式(3-29)和式(3-31)代入衡算

21、方程(3-24)可得 (3-32) 结合方程式(3-1)，上式可简化为 (3-33) 然后以 分别与式(3-15)中的三式相乘，之后三式相加。考虑存在 (3-34) 以上三式之和为()()()()() ()() ()()dxd dyxzxxyyzzxxxyxyzxzxyxyyyzyzxzxyzyzzzu Eu Eu ETTTEkkktxyzxxyyzzqu Gu Gu Guuuxuuuuuuy zyz D()()()()DtxyzEEu Eu Eu Etxyzxyzuuu 、 、2DDDDD()DtDt2DtDtDtyxzxyzuuuKuuuu (3-35) 将式(3-33)和式(3-35)代

22、入式(3-32)，即得到如下应力表示的能量方程 (3-36) 将式(3-17)和式(3-18)代入上式中，即可得微分能量方程微分能量方程 (3-37)D()()Dt ()()yxxxzxxxyyzzxxyyyzyyzxzzzyzKu Gu Gu Guxyzuuxyzxyz D()()()Dt yxzxxxyxzyyxxzzyxyyyzzxzyzzuuuUTTTqkkkxxyyzzxxxuuuuuuyyyzzz D()()DtUqk Tpu 其中 (3-38) 由连续性方程(3-6)可知 则式(3-37)又可写成 (3-39) 上式中各项的物理意义是明确的。第一项是单位质量流体在单位时间内从内热

23、源获得单位质量流体在单位时间内从内热源获得的热量的热量；第二项是通过热传导在单位时间内传给单位质量流体的热量通过热传导在单位时间内传给单位质量流体的热量；第三项是单位单位时间内单位质量流体内能的增量时间内单位质量流体内能的增量；第四项是单位质量流体在单位时间内对外界所作的单位质量流体在单位时间内对外界所作的可逆功可逆功，第五项是单位质量流体在单位时间内由于粘性摩擦而耗损的机械功单位质量流体在单位时间内由于粘性摩擦而耗损的机械功。22222222()2()2()()()2 () ()3yyyxxzzxzuuuuuuuxyzxyyzuuzxu 1 DDtu 1DD1()()DtDtqUk Tp 根

24、据热力学中焓与内能的关系 (3-40) 对上式取随体导数得 (3-41) 将上式代入式(3-37)，从而得到用焓表示的能量微分方程焓表示的能量微分方程 (3-42)(5) 微分能量方程的特殊形式 能量方程在实际应用中会得到不同程度的简化。例如通过一系列假设，式(3-37)化为 (3-43) 上式中， ，称为热扩散系数，单位为 。pHUpVUDDD11 D()DDDDHUppttttD11 D()DDHqpk Ttt2DDTTtpkc 2m s 式(3-43)在直角坐标系中的展开形式为 (3-44) 在柱坐标系中的表达形式为 (3-45) 在球坐标系中的表达形式为 (3-46)222222()x

25、yzTTTTTTTuuutxyzxyz2222211()rzuTTTTTTTuurtrrzrrrrz22222221()sin11 (sin)sinsinruuTTTTTurtrrrrrrTTrr 传质、传热和能量传递过程均有以下形式 (3-60)上式中第一项为非定常项，第二项为对流项，第三项为扩散项，最后一项为源项。传递方程的类比传递方程的类比 ()()()St u 1 )均相反应动力学 1879年由Guldberg和Waage发表的质量作用定律为化学反应动力学研究奠定了理论基础。根据质量作用定律，对于基元反应 (3-61) 则有 (3-62) 式中的反应速率常数只与反应温度有关，且满足Ar

26、rhenius定律 (3-63) 大多数反应过程并不属于基元反应。根据基元反应分析确定一个反应过程的动力学方程，通常要用到拟平衡或拟稳态两个假设。例如，1913年Michaelis和Menten在对酶催化条件下的均相反应过程3.4反应动力学方程11ABRSkk A1 AB1 RSrk c ck c c 0exp()EkkRT (3-64) 的研究中，发现该反应符合以下反应机理 (3-65) 假设第一步可逆反应处于平衡，即 并假设第二步反应为控制步骤和考虑 ，则得到动力学方程 (3-66)上式就是著名的双M方程。EAR 132AEAEREkkk 1 AE2AEk c ck c AEE0Eccc3

27、 AE0A3 AE21Ak c crk ckkc 1925年Briggs和Haldane利用拟稳态假设，即 得到了与式(3-6)形式相同的动力学方程 (3-67)AE1 AE23AEd()0dck c ckk ct3 AE0A231A()k c crkkkc2 )气固催化动力学 建立气固催化动力学模型时，最常用的是Langmuir理想吸附机理。 (1) (1) LangmuirLangmuir吸附机理吸附机理 Langmuir吸附机理作了以下理想化假设: a. 吸附表面为均匀表面； b. 被吸附分子之间互不影响； c. 被吸附的气体分子在吸附表面为单层排列； d. 吸附速率与表面覆盖率 成反比

28、和脱附速率与覆盖速率 成正比。 基于以上描述，对于单组分吸附过程 则有 (3-68) 当吸附于脱附达到平衡时，可得平衡覆盖率 (3-69) AAadkk aaAAddA(1)rk prk，AAAAA1K pK p 对于多组分体系，平衡覆盖率为 (3-70) 对于存在解离吸附的情况，吸附和脱附方程为 (3-71) 因此得到平衡覆盖率为 (3-72) 除了Langmuir吸附模型外，有时还用到Freundlich模型和Temkin模型。 1111NiiNiiNiiiiK pK p 22aaAAddA(1) , rk prk1/2AA1/2A()1()KpKp (2) (2) 反应控制机理反应控制机理 不失一般性，考虑双分子过程 ,假设气固催化反应遵循以下反应机理 (3-73) 假定吸附与脱附处于平